湖南省常德市鼎城区蔡家岗镇中学高三数学理测试题含解析

湖南省常德市鼎城区蔡家岗镇中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数y=的值域是

（

）

A．[0,+∞）

B．（0,4]

C．[0,4）

D．（0,4）参考答案：C略2.直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是()．

A．[0，π)

B.∪

C.

D.∪参考答案：3.已知实数a，b满足2＜a＜b＜3，下列不等关系中一定成立的是（）A．a3+15b＞b3+15a B．a3+15b＜b3+15aC．b?2a＞a?2b D．b?2a＜a?2b参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】分别构造函数f（x）=x3﹣15x，g（x）=，利用导数研究其单调性，由单调性即可求得选项．【解答】解：设f（x）=x3﹣15x，则f′（x）=．当x∈（2，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．若2＜a＜b＜，则f（a）＞f（b），即a3+15b＞b3+15a；若＜a＜b＜3，则f（a）＜f（b），即a3+15b＜b3+15a．∴A，B均不一定成立．设g（x）=，则g′（x）==．令g′（x）=0，得x=log2e∈（1，2）．∴当x∈（2，3）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，∵2＜a＜b＜3，＞，即b?2a＜a?2b．故选：D．4.已知点，直线，点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是

（A）抛物线

（B）椭圆

（C）双曲线的一支

（D）直线参考答案：A5.执行如右图所示的程序框图，则输出的值是

（

）（A）10

（B）17

（C）26

（D）28参考答案：B6.下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略7.已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1)，一质点从AB的中点沿与AB夹角为的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和（入射角等于反射角），设坐标为（），若，则tan的取值范围是（）(A)（）

(B)

（）

(C)（）

(D)（）参考答案：C若由射到BC的中点上，这样依次反射最终回到，此时容易求出tan＝，因，则tan≠，排除A、B、D.8.“”是“”的（▲）A．充分非必要条件

B．必要非充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A9.函数y=xlnx在区间（0，1）上是

（

）A.单调增函数

B.在（0，）上是减函数，在（,1）上是增函数C.单调减函数

D.在（0,）上是增函数，在（,1）上是减函数参考答案：B10.等差数列{an}的前n项和是Sn，若，则

（）

A．9Ｂ．12

Ｃ．15

D．18

参考答案：答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知双曲线的方程为，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为．参考答案：1考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．解答：解：由题得：其焦点坐标为（﹣2，0），（2，0）．渐近线方程为y=±x，即y﹣x=0，所以焦点到其渐近线的距离d==1．故答案为：1．点评：本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题．12.已知函数f（x）=x2cos，数列{an}中，an=f（n）+f（n+1）（n∈N*），则数列{an}的前100项之和S100=．参考答案：10200【考点】8E：数列的求和．【分析】f（x）=x2cos，可得an=f（n）+f（n+1）=+，分别求出a4n﹣3，a4n﹣2，a4n﹣1，a4n，再利用“分组求和”方法即可得出．【解答】解：∵f（x）=x2cos，∴an=f（n）+f（n+1）=+，a4n﹣3=+（4n﹣2）2=﹣（4n﹣2）2，同理可得：a4n﹣2=﹣（4n﹣2）2，a4n﹣1=（4n）2，a4n=（4n）2．∴a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n=﹣2（4n﹣2）2+2（4n）2=8（4n﹣1）．∴数列{an}的前100项之和S100=8×（3+7+…+99）=10200．故答案为：10200．13.直线的倾斜角a满足3sina=4cosa,且它在轴上的截距为2，则直线的方程是

．参考答案：4x-3y-8=014.已知sin（θ+）=，θ∈（﹣π，﹣π），则cos（θ+π）的值为．参考答案：﹣【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的余弦函数．【分析】已知等式左边利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出sinθ+cosθ的值，所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后将cosθ+sinθ的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵sin（θ+）=（sinθ+cosθ）=，∴sinθ+cosθ=，∵sin=sin（﹣）=×﹣×=∴cos（θ+π）=cosθcosπ﹣sinθsinπ=﹣sin（cosθ+sinθ）=﹣×=﹣．故答案为：﹣15.（5分）（2015?泰州一模）函数y=的定义域为．参考答案：[2，+∞）【考点】：函数的定义域及其求法．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式．解：由2x﹣4≥0，得2x≥4，则x≥2．∴函数y=的定义域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题．16.设f（x）是R是的奇函数，且对都有f（x＋2）＝f（x），又当［0,1］时，f（x）＝x2，那么x［2011,2013］时，f（x）的解析式为＿＿＿＿＿参考答案：17.若ΔABC的三个内角所对边的长分别为，向量，，若，则∠等于

。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）在△中，角、、的对边分别为，若，且.（1）求的值；（2）若，求△的面积.参考答案：解：（1）∵,

∴

…3分

∴

…6分（2）由（1）可得

…8分在△中，由正弦定理

，

∴

,

……10分∴.

……………12分19.在数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=．（1）求数列{an}的通项an；（2）若存在n∈N*，使得an≤（n+1）λ成立，求实数λ的最小值．参考答案：【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【专题】计算题．【分析】（1）把已知等式中的n换成n﹣1，再得到一个式子，两式想减可得=，求得a2=1，累乘化简可得数列{an}的通项an．（2），由（1）可知当n≥2时，，，可证{}是递增数列，又及，可得λ≥，由此求得实数λ的最小值．【解答】解：（1）当n≥2时，由a1=1及

①可得②．两式想减可得

nan=﹣，化简可得=，∴a2=1．∴??…==×××…×==．综上可得，．…（2），由（1）可知当n≥2时，，设，…则，∴，故当n≥2时，{}是递增数列．又及，可得λ≥，所以所求实数λ的最小值为．…【点评】本题主要考查利用数列的递推关系求数列的通项公式，数列与不等式综合，数列的函数特性的应用，属于难题．20.设函数f（x）=?，其中向量=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知f（A）=2，b=1，△ABC的面积为，求的值．参考答案：【考点】HS：余弦定理的应用；GL：三角函数中的恒等变换应用；H1：三角函数的周期性及其求法；H5：正弦函数的单调性；HQ：正弦定理的应用．【分析】（1）利用向量的数量积通过二倍角公式，两角和的正弦函数化简函数的表达式，然后求f（x）的最小正周期，借助正弦函数的单调减区间求出函数的单调递减区间；（2）通过f（A）=2，利用三角形的内角，求出A的值，利用△ABC的面积为．【解答】解：（1）．∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）令．∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由，，∵0＜A＜π，∴．∴．﹣（6分），∴在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=3，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8由，∴．﹣﹣（10分）【点评】本题是中档题，通过向量数量积考查三角函数的化简求值，三角函数的单调性，正弦定理的应用三角形的面积公式的应用，考查计算能力，常考题型．21.已知椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F2，过点F2作垂直于x轴的直线交该椭圆于M、N两点，直线AM的斜率为．（1）求椭圆Γ的离心率；（2）若△AMN的外接圆在点M处的切线与椭圆交于另一点D，△F2MD的面积为，求椭圆Γ的标准方程．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意M（c，），因为A（﹣a，0），所以，，可得椭圆Γ的离心率（2）由（1）可知，a=2c，由b2=a2﹣c2=4c2﹣c2=3c2，∴椭圆方程为：，M（c，c），A（﹣2c，0），设外接圆的圆心为T（t，0），由丨TA丨=丨TM丨得（t+2c）2=（t﹣c）2+c2，解得t=﹣．求得切线方程，代入椭圆方程，求得丨MD丨，根据点到直线的距离公式及三角形面积公式，代入即可求得c的值，求得椭圆方程．【解答】解：（1）由题意M（c，），因为A（﹣a，0），所以，，e=，∴椭圆Γ的离心率为．（2）由（1）可知，a=2c，由b2=a2﹣c2=4c2﹣c2=3c2，∴椭圆方程为：，M（c，c），A（﹣2c，0），设外接圆的圆心为T（t，0），由丨TA丨=丨TM丨得（t+2c）2=（t﹣c）2+c2，解得t=﹣．kTM=，∴切线斜率k=﹣，∴∴切线方程为3x+4y﹣9c=0，代入椭圆方程消y得7x2﹣18cx+11c2=0，△=182c2﹣4×7×11c2=16c2＞0，xD=，yD=，∴丨MD丨=，F2点到CD的距离d=，由S=丨CD丨?d，得，∴c2=2，∴椭圆方程为【点评】题考查椭圆的标准方程及简单性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离公式及三角形面积公式，考查计算能力，属于中档题．22.已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=+x，m∈R令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当m=时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值；（Ⅲ）若m=﹣2，正实数x1，x2满足F（x1）+F（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2．参考答案：考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；（2）不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，应先求导数，研究函数的单调性，然后求函数的最值；（3）联系函数的F（x）的单调性，然后证明即可．注意对函数的构造．解答：解：（1）．由f′（x）＞0得1﹣x2＞0又x＞0，所以0＜x＜1．所以f（x）的单增区间为（0，1）．（2）令x+1．所以=．当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是递增函数，又因为G（1）=﹣．所以关于x的不等式G（x）≤mx﹣1不能恒成立．当m＞0时，．令G′（x）=0得x=，所以当时，G′（x）＞0；当时，G′（x）＜0．因此函数G（x）在是增函数，在是减函数．