高考数学总复习3.2.3导数与函数的综合问题市赛课公开课一等奖省名师获奖课件

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D2/343/344/345/34命题点3不等式恒成立问题【例3】

(·湖南长沙长郡中学第六次月考)已知函数f(x)＝xlnx－ax2＋a(a∈R)，其导函数为f′(x)．(1)求函数g(x)＝f′(x)＋(2a－1)x极值；(2)当x＞1时，关于x不等式f(x)＜0恒成立，求a取值范围．6/347/348/349/3410/34【方法规律】

(1)利用导数解不等式，普通可结构函数，利用已知条件确定函数单调性解不等式；(2)证实不等式f(x)＜g(x)，可结构函数F(x)＝f(x)－g(x)，利用导数求F(x)值域，得到F(x)＜0即可；(3)利用导数研究不等式恒成立问题，首先要结构函数，利用导数研究函数单调性，求出最值，进而得出对应含参不等式，从而求出参数取值范围；也可分离变量，结构函数，直接把问题转化为函数最值问题．11/3412/3413/3414/3415/3416/3417/34【方法规律】

研究方程根情况，能够经过导数研究函数单调性、最大值、最小值、改变趋势等，依据题目要求，画出函数图象走势规律，标明函数极(最)值位置，经过数形结合思想去分析问题，能够使问题求解有一个清楚、直观整体展现．18/34跟踪训练2

已知函数f(x)＝x2＋xsinx＋cosx图象与直线y＝b有两个不一样交点，求b取值范围．【解析】

f′(x)＝x(2＋cosx)，令f′(x)＝0，得x＝0.∴当x＞0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上递增．当x＜0时，f′(x)＜0，f(x)在(－∞，0)上递减．19/34∴f(x)最小值为f(0)＝1.∵函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，∴当b＞1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不一样交点．综上可知，b取值范围是(1，＋∞)．20/3421/3422/34于是，当x改变时，f′(x)，f(x)改变情况以下表：x(3，4)4(4，6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减23/34由上表可得，x＝4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所取得利润最大．24/34【方法规律】

在求实际问题中最大值或最小值时，普通先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求实际问题中最大(小)值，假如函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义可知该极值点就是最值点．25/34【解析】

由y′＝x2－39x－40＝0，得x＝－1或x＝40，因为0＜x＜40时，y′＜0；x＞40时，y′＞0.所以当x＝40时，y有最小值．【答案】

4026/3427/3428/3429/3430/3431/34即f(x)＜g(x)恒成立．(11分)所以，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)图象在函数g(x)图象下方．(12分)【温馨提醒】(1)导数法是求解函数单调性、极值、最值、参数等问题有效方法，应用导数求单调区间关键是求解不等式解集；最值问题关键在于比较极值与端点函数值大小；参数问题包括有最值恒成立问题、单调性逆向应用等，求解时注意分类讨论思想应用．(2)对于一些复杂问题，要善于将问题转化，转化成能用熟知导数研究问题.32/34►方法与技巧1．用导数方法证实不等式f(x)＞g(x)时，找到函数h(x)＝f(x)－g(x)零点是解题突破口．2．在讨论方程根个数、研究函数图象与x轴(或某直线)交点个数、不等式恒成立等问题时，经常需要求出其中参数取值范围，这类问题实质就是函数单调性与函数极(最)值应用．33/343．在实际问题中，假如函数在区间内只有一个极值点，那么只要依据实际意义判定是最大值还是最小值即可，无须再与端点函数值比较．►失误与防范