第五讲 数学史

当你走进数学系的教学楼,随处可见一张张数学家的画像,你知道他们都是谁吗？他们在数学上都有哪些贡献呢？第五讲数学史“数学是科学的语言。”————加利略世界物理学大师（一）古希腊数学（1）泰勒斯（希腊）公元前605年，开创论证几何学，成为人类历史上第一位数学家。（2）毕达哥拉斯及其学派（希腊）公元前560年,提出“万物皆数”和“1源数”思想:任何数都可以写成整数或整数的比。发现并证明毕达哥拉斯定理,为此杀100头牛庆祝。他的学生率先发现无理数，推翻了“1源数”思想。毕达哥拉斯（3）亚里士多德（希腊）公元前335年，建立逻辑学。指出：数学必须要从无须证明的公理和公设为出发点。公理：一切科学都公认的真理。公设：一门学科公认的第一真理。提出形式逻辑三定律：①矛盾律：一个命题不可能既是真的又是假的。②排中律：一个命题不是真的就是假的。③同一律：一个命题与它自身同真同假。名言：“我爱我师，我更爱真理。”（4）欧几里德（希腊）公元前300年，写成《几何原本》，开创公理化方法。成为一切科学体系的范本。“在数学上谁忽视了平面几何，就像出国留学的人忘记了自己的家乡。”（5）阿基米德（希腊）公元前267年，发明穷竭法，发现杠杆原理，浮力原理。欧几里德阿基米德（6）阿波罗尼奥斯（希腊）公元前242年，写成《圆锥曲线论》。（7）托勒密（希腊）公元前125年，写成《天文学大成》，建立三角学。总结:初等数学,即初中,高中的数学课程:经典几何,初等代数已经完全建立。（二）近代数学的建立（1）塔塔利亚（意大利）1535年，得出一般三次方程的根式解。（2）德沙格（法国）1639年，建立射影几何学。（3）笛卡尔（法国）1637年，建立解析几何学。名言：“我思故我在。”笛卡尔塔塔利亚（4）牛顿（英国）1666年,写成《流数简论》,发明微积分：①利用抽象的不等式定义极限。②利用极限定义微分和积分并得到微分与积分的关系。③利用微分或积分研究函数的性质。“微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论作怎样的估计都不会过分。”——冯·诺依曼牛顿（5）莱布尼茨（德国）1666年,写成《论组合的艺术》,建立组合数学，研究有限物体的安排问题：安排是否存在；安排有多少种；怎样做出安排，求出最优安排。1684年,独立发明微积分。1693年,发明行列式。莱布尼茨（6）伯努利（瑞士）1713年,建立概率论,研究不确定现象的数学。（7）达朗贝尔（法国）1747年,建立偏微分方程理论。达朗贝尔（8）欧拉（瑞士）1748年，写成《无限与分析引论》，微积分理论取得重大进步。创立微分几何学（用微积分研究几何问题）和图论。欧拉（9）范德蒙德（法国）1772年，建立线性代数学。（10）拉格朗日（法国）1774年，取得常微分方程理论重大突破。拉格朗日（11）蒙日（法国）1799年,建立画法几何学。（12）高斯（德国）1801年,写成《算术研究》,建立数论,研究正整数性质的数学。名言:“数学是科学的女王,数论是数学的女王。”高斯（13）柯西（法国）1814年，建立复变函数论。1821年，将分析的概念严格化。柯西（14）傅立叶（法国）1822年，建立傅立叶分析：一定区间内的可积函数都可以表示成无数个三角函数的和。傅立叶总结：①大学一、二年级的微积分（高等数学、数学分析）、线性代数（高等代数）、空间解析几何三座大山已经建立。②组合数学、数论、概率论也很重要。1789年,法兰西科学院指出:“在数学的几乎所有分支里,人们都被不可克服的困难挡住了。好像是对人类智慧的挑战。”（三）近代数学的新生（1）阿贝尔（挪威）1824年,证明一般五次或五次以上方程无根式解。阿贝尔（2）罗巴切夫斯基(俄国),鲍耶(匈牙利):1826年,建立非欧几何学,彻底解决欧几里德第五公设问题。罗巴切夫斯基鲍耶（3）伽罗瓦（法国）1829年,建立群论,彻底解决高次方程根式解问题。伽罗瓦1826年10月,伽罗华15岁读初中二年级,就经常到图书馆阅读数学专著,特别对数学大师,如勒让德的《几何原理》和拉格朗日的《代数方程的解法》、《解析函数论》、《微积分学教程》进行了认真分析和研究。1年之后伽罗华已经熟悉了欧拉、高斯、雅可比的著作。但是他严重偏科,有的教师认为他被数学的鬼魅迷住了心窍。

1828年10月,转入里夏尔的数学专业班。有一次里夏尔在课堂上讲解昨天新发表的数学论文,伽罗华在下面走神。里夏尔问:“你为什么不听课?”伽罗华说:“这些我早就知道了。”于是伽罗华走上讲台,当场推导出论文的结果,方法还比论文中的简单。里夏尔看得目瞪口呆,带头为自己的学生鼓掌。里夏尔在笔记里这样记载:“伽罗华只宜在数学的尖端领域中工作”,“他大大地超过了全体同学”。1832年5月30日,伽罗华为了一个舞女,卷入了一场他所谓的“爱情与荣誉”的决斗。31日上午身亡。历史学家们曾经争论这场决斗是一个爱情悲剧,还是政治谋杀。无论是哪一种,一位世界上最杰出的数学家在他20岁时被杀,他研究数学才只有五年。14年后的1846年,法国数学家刘维尔首先领悟到伽罗华的思想,向数学界推荐,引起巨大反响。38年后的1870年,法国数学家约当撰写《论置换与代数方程》,伽罗华的思想得到了细致深入的阐述。（4）哈密尔顿（爱尔兰）1843年，发现“四元数”。哈密尔顿哈密尔顿3岁开始跟叔叔(一个语言学专家)学习，13岁时就通晓了12种欧洲语言及大量东方语。包括爱尔兰语、英语、拉丁语、希腊语、希伯仑语、意大利语、法语、德语、阿拉伯语、梵文（古印度语）、波斯语、叙利亚语、印度语、马来语、马耳他语、孟加拉语、中文等，15岁开始对数学产生浓厚的兴趣。强大的语言能力帮助他顺利阅读各国科学著作。1828年,发表《光束理论》，创立几何光学。1843年,在对复数长期研究的基础上,提出四元数概念,在近代物理学中有重要应用。（4）布尔（英国）1847年,建立逻辑代数学(布尔代数),用代数方法研究命题。（5）黎曼（德国）1854年,建立黎曼几何。黎曼（6）魏尔斯特拉斯（德国）1856年,将分析概念算术化,成为现代分析之父。总结：①三坐大山的内容完全确定了。②产生部分研究生课程：伽罗瓦理论，黎曼几何。魏尔斯特拉斯（7）1958年,代数拓扑学家波德、米诺、科威尔同时证明：在实数域上能构造的有限维斜体(即能施行加、减、乘、除的数学体系)只有是1维(实数域),2维(复数域),4维(四元数域)及8维(八元数域)四种。索菲斯·李（四）现代数学的建立（1）索菲斯·李(挪威)1870年,索菲斯·李发现李群,并用以讨论微分方程的求积问题。李群后来成为研究理论物理的基础数学知识。（2）克莱因（德国）1872年,提出爱尔朗根纲领:用变换群统一整个几何学。1886年,来到德国东部大学城哥廷根。细节:克莱因重视板书设计,每堂课结束时,所有的重点内容都留在黑板相应的位置上。学生评价他:“就像来自远端的神。”克莱因（3）康托尔（德国）1872年,建立集合论。康托尔（4）庞加莱（法国）1881年,建立微分方程稳定性理论。1895年,写成《位置分析》,建立现代拓扑学。名言:“人生就是持续不断的斗争。”“数学家是天生的,而不是造就的。”庞加莱（5）希尔伯特（德国）1895年,来到哥廷根,创立哥廷根学派和希尔伯特精神：任何数学问题都是可以解决的。1899年,写成《几何基础》,建立第一个完备的公理系统。1900年,在巴黎国际数学家大会上提出20世纪需要解决的23个数学问题。至今仍然指引着世界数学发展的方向。希尔伯特细节1希尔伯特讲课较慢,毫不修饰,简练自然,重视问题设计。“问题的好的提法等于问题已经解决了一半。”细节2当时全世界数学专业的学生的口号是:“打起你的背包，到哥廷根去。”细节3哥廷根居民指出:“这个小城住的全是数学家。”细节41931年,美国数学家麦克莱恩评价:“哥廷根是我见过的真正顶尖的数学中心,所有的人无时无刻不在谈论数学。”（6）伏尔泰拉（意大利）1900年,建立泛函分析,研究函数的函数的数学。（7）勒贝格（法国）1902年,建立实变函数论,研究病态函数的数学。（8）诺特（德国后到美国）1921年,写成《环中的理想论》,建立现代抽象代数学。成为人类历史上最伟大的女数学家。细节：1907年,诺特在老师“不变量之王”果尔丹指导下完成博士论文,结尾是一个包含331个变量的数学公式。诺特（9）柯尔莫哥洛夫（苏联）1933年,写成《概率论基础》,建立公理化概率论。柯尔莫哥洛夫结论：现代数学的四大支柱形成：拓扑学、泛函分析、实变函数、抽象代数。（四）现代数学的繁荣（1）费希尔（英国）1920年,建立现代数理统计学。（2）哥德尔（奥地利后到美国）：1931年,证明哥德尔不完全定理,指出:真的命题不一定是可证明的。哥德尔（3）冯·诺依曼(希尔伯特助手,后到美国)1944年,建立博弈论,研究竞争的数学。参与氢弹研究。1945年,提出程序存储概念,设计成功世界第一台电子计算机。1948年,建立计算数学,发明蒙特卡罗算法,引领世界计算机程序设计新潮流。冯·诺依曼细节：美国原子能委员会主席斯特劳斯评价：“诺依曼具有一种使人望尘莫及的能力：把最困难的问题，分解成一些十分简单的小问题,所以取得了巨大的成功。”（4）外尔（希尔伯特的接班人,后到美国）哥廷根人评价:“外尔是哥廷根城里一个真正思考数学的青年。”1933年,逃到美国,任普林斯顿高等研究院数学所所长。使普林斯顿大学成为世界理论数学研究中心。1954年,外尔评价他的学生日本数学家小平邦彦和法国数学家塞尔：“他们达到了我从未梦想到的高度。在我一生的数学生涯中,从未见过这样的明星在数学的天空中灿烂升起。你们的工作使数学这棵老树重新开花。你们是怎样开始的,就怎样继续下去吧。”（5）库朗（克莱因的接班人，后到美国）1929年,任哥廷根数学研究所所长。1934年,逃到美国,①自己曾为德国在战场上出生入死,现在竟被抛弃。②美国的生活一片茫然。孩子们却在唱:“德国、德国,太阳永不落。”1942年,组建纽约应用数学小组,与军方签定研究合同。细节1美国科学研究发展局开会研究是否邀请库朗,贝尔实验室的弗赖指出:“我们必须毫无保留地把库朗看作我们的人。”并把库朗从门口迎进会场,“进来吧，伙计。”细节2库朗研究小组的200多名数学家占据了整整3个楼层。细节3战争期间,“库朗仓库”完成194项研究。涉及:原子弹、导弹、喷气式飞机、激光、情报分析等等。1947年,成立纽约数学力学研究所,后改名库朗应用数学研究所。成为世界应用数学研究中心。1958年,研究所参与计算机研究,任务是：“详细了解机器内部到底发生了什么？”（6）丹齐克（美国）1947年,建立线性规划论。（7）维纳（美国）1948年,建立控制论。（8）香农（美国）1948年,建立信息论。（9）贝尔曼（美国）1957年,建立动态规划理论。（10）洛伦兹（美国）1963年,建立混沌理论,

指出系统的微小变化可能改变整个系统。（11）扎德（美国）1965年,写成《模糊集合》,建立模糊数学。（12）托姆（美国）1969年,建立突变理论,研究自然界中不连续变化现象。（13）康威（英国）1970年,剑桥大学的约翰·康威编制了一个名为“生命”的游戏程序,也叫做细胞自动机。该程序由几条简单的规则控制,这几条简单的规则的组合就可以使细胞自动机产生无法预测的延伸、变形和停止等复杂的模式,模拟了生命活动中的生存、繁殖、竞争、灭绝等等复杂现象,因而得名“生命游戏”。生命游戏“如果一个生命,其周围的同类生命太少,会因为得不到帮助而死亡;如果太多,则会因为得不到足够的生命资源而死亡。”

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约翰·康威，英国数学家（14）蒙德尔布罗（法国）1977年,建立分形几何学。（15）世界各国100多位数学家,历时40年。1980年,证明数学史上最庞大的定理:有限单群分类定理。整个结果由500多篇论文组成,共15000页。（16）道金斯（英国）牛津大学进化论学者,1985年,构造出模仿昆虫进化的元胞自动机,在电脑屏幕上观察昆虫的变异、繁殖和互相吞噬,居然在计算机上描绘出与真实生物界惊人相似的生命演化和灭绝的过程。他的程序名叫“生物形态”,“生物形态”最后得到了许多个不相同的生物形态图案,这些生物形态与自然界的许多生物形态有着惊人的相似性。（17）托马斯·雷（美国）热带雨林专家,1990年,编写出Tierra(西班牙语意为地球)模型轰动了整个人工生命界。Tierra的不平凡之处不仅在于它第一次是由一个生物学家设计的,还在于雷第一个宣称,他的“地球”(Tierra)上的“生物”事实上就是“活的”。他说:“创造生命其实很容易”。他的模型命名为“地球”,其意就在表明,人们已经在扮演上帝,开始了第二次创世纪！1995年,美国数学家怀尔斯及其学生泰勒共同证明费马猜想(又叫费马最后定理)成立。从而使得350年未获解决的大难题终获证明。2000年,美国布兰代斯大学的赫德·利普森和乔丹·波拉克等人研究出了一种可进化的人工生命——进化机器人。2006年,美国数学家汉密尔顿,俄国数学家佩雷尔曼,中国数学家朱熹平、曹怀东彻底解决庞加莱猜想。(1904年,庞加莱提出一个猜想:在一个封闭的三维空间,假如每条封闭的曲线都能收缩成一点,这个空间一定是一个圆球。)结论:如要掌握新数学,大三苦学《运筹学》。（五）中国数学家（1）陈建功:日本东北帝国大学数学博士,第一个作出世界一流水平数学成果的中国人。日本导师藤原评价:“我有一个学生叫陈建功,他是我一生的最大光荣！”（2）苏步青:日本东北帝国大学数学博士,大学时做了10000道微积分习题,人称“万题教授”。在微分几何方面建立“苏锥面”。陈建功苏步青（3）华罗庚:留学英国剑桥大学,1938年写成《堆垒素数论》,评审数学家何鲁拍案大呼:“此真天才之作也！”（4）陈省身:德国汉堡大学数学博士,建立现代微分几何学。“数学不是硬啃出来的,我的成功一半靠天分,一半靠运气。”华罗庚陈省身（5）许宝禄:英国伦敦大学数学博士,建立多元统计分析。（6）陈景润:清华大学数学博士。证明“陈氏定理”:大偶数可以表示成一个素数与一个不超过两个素数的乘积的和。例如:8=2+2×3.华罗庚评价:“在我的学生中,陈景润的工作最使我感动。”华罗庚陈景润许宝禄(7)丘成桐:1966年,考入香港中文大学数学系。1969年,前往美国加州大学伯克利分校深造,师从陈省身。在名师的指导下,丘成桐攻读了拓扑、几何、微分方程、数论、组合学、概率及动力系统等学科。摩里教授的非线性偏微方程极为深奥,听得所有学生全逃光了,只剩下丘成桐一人,摩里干脆在办公室单独为丘成桐授课。丘成桐事后认为,这门课成为他数学生涯的基础。1976年,证明卡拉比猜想,以他的研究命名的卡拉比—丘流形在数学与理论物理中发挥了重要作用。1981年,获得美国数学会维布奖(世界微分几何界最高奖项之一)。1982年,获菲尔兹奖(世界数学界最高荣誉)。1997年,获美国总统亲自颁发的美国国家科学奖。国际数学大师、菲尔兹奖获得者唐