高中数学数学文化鉴赏与学习数学与医学教师版

数学与医学数学与科技之数学与医学现代医学的大趋势是从定性研究走向定量研究，即要能够有效地探索医学科学领域中物质的量与量关系的规律性，推动医学科学突破狭隘经验的束缚，向着定量､精确､可计算､可预测､可控制的方向发展，并由此逐渐派生出生物医学工程学､数量遗传学､药代动力学､计量诊断学､计量治疗学､定量生理学等边缘学科，它们都与数学有较强的联系.一､好题赏析例1.1．下图是2020年2月15日至3月2日来巾新冠肺炎新增确诊病例的折线统计图.则下列说法不正确的是（

）A．2020年2月19日该市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数B．该市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低C．2020年2月19日至3月2日该市新增新冠肺炎确诊病例低于人的有天D．2020年2月15日到3月2日该市新冠肺炎新增确诊病例一直呈下降趋势例2.2．英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件，，（的对立事件）存在如下关系：．若某地区一种疾病的患病率是，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（）A． B． C． D．二､小试牛刀3．为了研究疫情有关指标的变化，现有学者给出了如下的模型：假定初始时刻的病例数为N0，平均每个病人可传染给K个人，平均每个病人可以直接传染给其他人的时间为L天，在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位：天)的关系式为N(t)=N0(1+K)t，若N0=2，K=2.4，则利用此模型预测第5天的病例数大约为（

）(参考数据：log1.4454≈18，log2.4454≈7，log3.4454≈5)A．260 B．580 C．910 D．12004．在2020年新冠肺炎疫情期间，某日湖北黄冈英山县实现确诊病例“清零”，当地政府为感谢湖南与山东医护工作者对英山县的支援，特地邀请两地医护工作者去游英山的风景区，先计划从“吴家山森林公园”“乌云山茶叶公园”“大别山丽景风景区”“神峰山庄”“英山烈士陵园”“南武当山风景区”六大风景区任选两个景区进行游览休整，则选中“吴家山森林公园”的概率是（

）A． B． C． D．5．某国近日开展了大规模COVID-19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S表示（）A．无症状感染者 B．发病者 C．未感染者 D．轻症感染者6．中医药在抗击新冠肺炎疫情中发挥了重要作用，但由于中药材长期的过度开采，本来蕴藏丰富的中药材量在不断减少．研究发现，t期中药材资源的再生量，其中为t期中药材资源的存量，r，N为正常数，而t期中药资源的利用量与存量的比为采挖强度．当t期的再生量达到最大，且利用量等于最大再生量时，中药材资源的采挖强度为（

）A． B． C． D．7．今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没.“三药”分别为金花清感颗粒､连花清瘟胶囊､血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤､化湿败毒方､宣肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出种，则恰好选中“三方”或“三药”的概率是________.8．血药浓度（SerumDrugConcentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度（单位：mg/ml），通常用血药浓度来研究药物的作用强度．下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况，其中点的横坐标表示服用第种药后血药浓度达到峰值时所用的时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第二次达到峰值一半时所用的时间(单位：h)，点的纵坐标表示第种药的血药浓度的峰值．（）①记为服用第种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，则中最大的是_______；②记为服用第种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间，则中最大的是_______9．已知某地区人口总数为125万，具体分布如图，近期，卫计委拟针对18到60岁的人群开展新冠疫苗接种工作，抽样发现，他们中有80%的人符合接种的健康要求.截止3月底，已有30%符合健康要求的人接种了第一剂，据要求，这部分人需要在4月份接种第二剂，剩余70%符合健康要求的人需在4月份接种第一剂，5月份接种第二剂.则该地区4月份需要___________万剂疫苗.10．年播放的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急.为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品的研发费用（百万元）和销量（万盒）的统计数据如下：研发费用（百万元）销量（万盒）（1）根据最小二乘法求出与的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，预测销售万盒特效药品需要多少研发费用？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式为：，.11．西尼罗河病毒（WNV）是一种脑炎病毒，WNV通常是由鸟类携带，经蚊子传播给人类．1999年8-10月，美国纽约首次爆发了WNV脑炎流行．在治疗上目前尚未有什么特效药可用，感染者需要采取输液及呼吸系统支持性疗法，有研究表明，大剂量的利巴韦林含片可抑制WNV的复制，抑制其对细胞的致病作用．现某药企加大了利巴韦林含片的生产，为了提高生产效率，该药企负责人收集了5组实验数据，得到利巴韦林的投入量x（千克）和利巴韦林含片产量y（百盒）的统计数据如下：投入量x（千克）12345产量y（百盒）1620232526由相关系数可以反映两个变量相关性的强弱，，认为变量相关性很强；，认为变量相关性一般；，认为变量相关性较弱．（1）计算相关系数r，并判断变量x、y相关性强弱；（2）根据上表中的数据，建立y关于x的线性回归方程；为了使某组利巴韦林含片产量达到150百盒，估计该组应投入多少利巴韦林？参考数据：．参考公式：相关系数，线性回归方程中，，．12．某医药研究所开发一种新药，据监测：服药后每毫升血液中的含药量与时间之间满足，当时，满足，当时，满足．据测定：每毫升血液中含药量不少于微克时治疗疾病有效．请你算一下，服用这种药一次大概能维持多长的有效时间？(精确到小时)13．2017年泰康集团成立.泰康集团成立后，保险、资管、医养三大业务蓬勃发展.为了回馈社会，2021年初推出某款住院险.每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年内住院，只要住院费超过元，则可以获得元的赔偿金.假定2021年有人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立.记投保的人中出险的人数为.投保的人在一年度内至少有一人出险的概率为.（1）求一投保人在一年度内出险的概率；（2）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为元，保险公司该项业务的利润为，为保证该项业务利润的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）.14．医生的专业能力参数可有效衡量医生的综合能力，越大，综合能力越强，并规定:能力参数不少于30称为合格，不少于50称为优秀．某市卫生管理部门随机抽取300名医生进行专业能力参数考核，得到如图所示的能力的频率分布直方图:（Ⅰ）求出这个样本的合格率、优秀率；（Ⅱ）现用分层抽样的方法从中抽出一个样本容量为20的样本，再从这20名医生中随机选出2名．①求这2名医生的能力参数为同一组的概率；②设这2名医生中能力参数为优秀的人数为，求随机变量的分布列和期望．15．为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”．假设待检测的总人数是（为正整数）．将这个人的样本混合在一起做第轮检测（检测次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确定其中有感染者，则将这些人平均分成两组，每组个人的样本混合在一起做第轮检测，每组检测次．依此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直至确定所有的感染者．例如，当待检测的总人数为，且标记为“”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用下图表示．从图中可以看出，需要经过轮共次检测后，才能确定标记为“”的人是唯一感染者．（1）写出的值；（2）若待检测的总人数为，采用“二分检测方案”，经过轮共次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值；（3）若待检测的总人数为，且其中不超过人感染，写出采用“二分检测方案”所需总检测次数的最大值．16．贝诺酯为对乙酰氨基酚与阿司匹林的酯化产物，是一种新型的抗炎、抗风湿、解热镇痛药，主要用于类风湿关节炎、急慢性风湿性关节炎、神经痛及术后疼痛．药监部门要利用小白鼠扭体实验，对某厂生产的该药品的镇痛效果进行检测，若用药后的小白鼠扭体次数没有减少，扭体时间间隔没有变长，则认定镇痛效果不明显．（1）若该药品对雌性小白鼠镇痛效果明显的概率为，对雄性小白鼠镇痛效果明显的概率为，药监部门要利用两只雌性和两只雄性小白鼠检测该药药效，对4只小白鼠逐一检测．若在检测过程中，一只小白鼠用药后镇痛效果明显，记录积分为1，镇痛效果不明显，则记录积分为．用随机变量表示检测4只小白鼠后的总积分，求随机变量的分布列和数学期望；（2）若该药品对每只雌性小白鼠镇痛效果明显的概率均为，现对6只雌性小白鼠逐一进行检测，当检测到镇痛效果不明显的小白鼠时，停止检测．设至少检测5只雌性小白鼠才能发现镇痛效果不明显的概率为，求最大时的值．17．C反应蛋白（CRP）是机体受到微生物入侵或组织损伤等炎症性刺激时细胞合成的急性相蛋白，医学认为CRP值介于0-10mg/L为正常值.下面是某患者在治疗期间连续5天的检验报告单中CRP值（单位：mg/L）与治疗大数的统计数据：治疗天数x12345CRP值y5140352821（1）若CRP值y与治疗数x只有线性相关关系试用最小乘法求出y关于x的线性回归方程，并估计该者至少需要治疗多少天CRP值可以回到正常水平；（2）为均衡城乡保障待遇，统一保障范同和支付准，为多保人员提供公平的基本医疗保障.某市城乡医疗保险实施办法指出：门诊报销比例为50％；住院报销比例，A类医疗机构80％，B类医疗机构60％.若张华参加了城乡基本医疗保险，他因CRP偏高选择在医疗机构治疗，医生为张华提供了三种治疗方案：方案一：门诊治疗，预计每天诊疗费80元；方案二：住院治疗，A类医疗机构，入院检查需花费600元，预计每天诊疗费100元；方案三：住院治疗，B类医疗机构，入院检查需花费400元，预计每天诊疗费40元；若张华需要经过连续治疗n天，请你为张华选择最经济实惠的治疗方案.，参考答案：1．D【分析】根据折线图对选项逐一分析，由此确定说法不正确的选项.【详解】A，2020年2月19日该市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数，正确.B，该市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低，正确.C，2020年2月19日至3月2日该市新增新冠肺炎确诊病例低于人的有天，正确.D，2020年2月15日到3月2日该市新冠肺炎新增确诊病例一直呈下降趋势，错误，因为这三天有反弹.故选：D2．A【分析】根据贝叶斯概率公式计算即可.【详解】设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件，则，，，，故所求概率．故选：A.3．C【分析】首先根据题意得到，再根据参考数据求解即可.【详解】，因为，所以，所以.故选：C4．D【分析】求出从6个景点选2个的方法数，再求出“吴家山森林公园”被选中的方法数，然后由古典概型概率公式计算．【详解】从六大风景区中任选两个景区进行游览休整，共有（种）情况，其中，选中“吴家山森林公园”的情况有（种）情况，故所求的概率为．故选：D．5．A【分析】由即可判断S的含义.【详解】解：由图可知，集合S是集合A与集合B的交集，所以集合S表示：感染未发病者，即无症状感染者，故选：A.6．A【分析】根据函数的解析式，代入计算可得选项.【详解】由题意得，所以当时，有最大值，所以当利用量与最大再生量相同时，采挖强度为．故选：A.7．【分析】采用列举的方式得到所有可能的结果并从中找出符合题意的所有可能结果，根据古典概型概率公式可计算得到结果.【详解】分别记金花清感颗粒，连花清癌胶囊血必净注射液为，清肺排毒汤､化湿败毒方､宣肺败毒方为，则从“三药三方”中随机选出种的所有可能结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种，其中恰好选中“三方”或“三药”的所有可能结果有，，共种，所求的概率为.故答案为：.8．

【分析】①根据平均的含义进行判断，②根据两次横坐标距离大小确定选择.【详解】①设,则，由于,,所以,,即最大；②根据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应A1,A2,A3在第二次达到峰值一半时对应点，由图可知A3经历的时间最长，所以中最大的是【点睛】本题考查数学实际应用以及图像识别，考查基本分析判断能力，属基础题.9．70【分析】先求得到岁的人数，然后求得其中符合接种的健康要求的人数，由此确定正确结论.【详解】到岁的人数为万人，其中符合接种的健康要求的人数为万人，所以需要万剂疫苗.故答案为：10．（1）；（2）（百万元）.【解析】（1）根据最小二乘法的公式依次算出相关值，然后进行计算求解即可（2）由（1）中的回归方程得：，然后求解该方程即可【详解】（1）依题意得：，，所以，，，.所以，.所以所求回归方程为：.（2）由（1）中的回归方程得：，解得（百万元）.故销售万盒特效药品需要（百万元）的研发费用.【点睛】关键点睛：利用最小二乘法的公式进行求解是本题的解题关键，属于基础题11．（1），x与y具有很强的相关性；（2）54.2千克．【解析】（1）根据题中数据分别计算出、、、、代入题中公式可得的值，可得答案;（2）由题中数据计算出，可得y关于x的线性回归方程，可得当（百盒）时，x的值，可得答案.【详解】解：（1），，，，，则所以x与y具有很强的相关性．（2）由（1）得，，，所以y关于x的线性回归方程为．当（百盒）时，（千克）故要使某组利巴韦林含片产量达到150百盒，估计该组应投入54.2千克利巴韦林．【点睛】本题主要考查线性回归方程及相关系数r的相关知识，考查学生分析问题与解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题.12．服用这种药一次大概能维持的有效时间为小时【分析】根据图像易得和共有两个交点，在这之间都有药效，分别代入两个解析式即可。【详解】由，解得：①由，解得：②由①、②知：，，∴服用这种药一次大概能维持的有效时间为小时．【点睛】此题考查函数的实际应用，理解清楚题意分段函数分别处理，属于简单题目。13．（1）；（2）4元.【分析】（1）由于各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，所以投保的人中出险的人数服从二项分布，即，记“保险公司为该险种至少支付元赔偿金”，则发生当且仅当，然后利用对立事件的概率关系可求得结果（2）由题意可得该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和；支出，盈利，由（1）可得，从而可得，进而可求出的值，然后解不等式可求得答案【详解】各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，投保的人中出险的人数服从二项分布，即（1）记“保险公司为该险种至少支付元赔偿金”，则发生当且仅当，，又，故；（2）该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和；支出，盈利，盈利的期望为，由知，，.时，（元）.所以为保证该项业务利润的期望不小于0，每位投保人应交纳的最低保费为4元.14．（1）合格率为0.8，优秀率为0.3；(2)①;②分布列见解析；.【详解】（1）合格率是：优秀率是：（2）由题意知，这20名医生中，[20，30)有4人，[30，40)有6人，[40，50)有4人，[50，60)有3人，[60，70)有2人，[70，80]有1人①②优秀的人数为：3+2+1＝6人,，的分布列是：012故的期望是.15．（1）；（2）感染者人数可能的取值为，，；（3）．【分析】（1）由图可计算得到的取值；（2）当经过轮共次检测后确定所有感染者，只需第轮对两组都进行检查，由此所有可能的结果；（3）当所需检测次数最大时，需有名感染者，并在第轮检测时分居两组当中，从而将问题转化为待检测人数为的组，每组个感染者，共需的检测次数，由此可计算求得结果.【详解】（1）由题意知：第轮需检测次；第轮需检测次；第轮需检测次；第轮需检测次；；（2）由（1）可知：若只有个感染者，则只需次检测即可；经过轮共次检测查出所有感染者，比只有个感染者多次检测，则只需第轮时，对两组都都进行检查，即对最后个人进行检查，可能结果如下图所示：感染者人数可能的取值为，，