新人教版高中数学选择性必修第一册第二章两条直线的交点坐标两点间的距离公式培优练习题

2.3直线的交点坐标与距离公式

2.3.1两条直线的交点坐标

2.3.2两点间的距离公式

学习指导核心素养

1数.学运算：求交点坐标，计算两点间

1能.用解方程组的方法求两直线的交点

的距离.

坐标.

2.逻辑推理、数学运算：坐标法解决平

2.探索并掌握两点间的距离公式.

面几何问题.

（必备知识=落I实

知识点一两直线的交点坐标

（1）直线/i：4%+8少+。=0和直线/2：4忒+历丁+。2=0的交点的坐标是方

(Aix+5iy+Ci=0,

程组lA2x4-B2y+C2=0的解.

(2)两直线的位置关系

A\x-\~B\y-\-C\=0,

方程组4s.八的解一组无数组无解

.Azx+B2y+C2—0

直线八与/2的公共点个数1无数0

直线与/2的位置关系相交重合平行

瓯U判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标.

(1)直线/i：5x+4y—2=0,直线82x+y+2=0；

⑵直线/i：2尢-6y+3=0,直线，2：y=gx+g.

'5x+4y—2=0,

【解】（1）解方程组*

2%+y+2=0,

f__W

\x~3，

,14

所以直线/i与/2相交，且交点坐标为（一学，y

2x—6y+3=0,①

(2)解方程组11三

尸产5,②

②义6整理得2x—6y+3=0.

因此，①和②表示同一条直线，八与/2重合，有无数交点.

图题技巧---------------------------------

判断两条直线相交的三种方法

方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交;

方法二：两直线斜率都存在且斜率不等；

方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在.

《跟踪训练若三条直线2x+3y+8=0,x—y—1=0和%+6=0交于一点,

则k的值为()

A.—2B.一；

C.2D.

/2x+3y+8=0,[x=—1,

解析：选B.依题意，得八解得。

[x-y-lt=0,U=—2,

所以两直线2x+3y+8=0和x—y—1=0的交点坐标为(一1,—2).

因为直线x+Zy=0,2x+3y+8=0和尤一y—1=0交于一点，

所以一1—2攵=0,所以攵=—2.故选B.

知识点二两点间的距离公式

条件点Pi(xi,yi),尸2(孙yi)

结论\P]P2\=_N(X2—%1)(V2—yi)2

特例点P(x,y)到原点0(0,0)的距离IOPI=、/f+y2

面点拨-----------------------------------

(1)两点间的距离与这两点的先后顺序无关，即上述公式也可写成『研2|=

7(XI—X2)2+(6-")2.

(2)①当P1P2〃X轴3=”)时，|P1P2|=|X2—Xl|.

②当PiP2〃y轴(xi=X2)时，|PiP2|=|yi—”|.

◎即时训练

1.已知点A(7,4),B(4,8),则A,8两点间的距离为()

A.25B.5

C.4D.巾

解析：选B.由两点间的距离公式得

\AB\=y](4-7)2+(8-4)2=*=5.

2.已知点A(2,m)与点8(机，1)间的距离是行，则实数机=.

解析：因为|A3|=N(/”—2)2+(1—/")2,所以加2—3/n—4=0,

解得m=—1或m=4.

答案：一1或4

3.已知点A(3,6),在光轴上的点P与点A的距离等于10,则点P的坐标

为.

解析：设点P的坐标为(x,0),由|以|=10,

得yl(x-3)2+(0-6)2-10,解得x=11或x=-5.

所以点尸的坐标为(-5,0)或(11,0).

答案：(一5,0)或(11,0)

因题技巧------------------------------

若已知两点的坐标P/加，V),P2(X2,”)，求两点间的距离，可直接应用两

点间的距离公式|P42|3(X2—,)2+“2—V)2求解.若已知两点间的距离,

求点的坐标，可设未知数，逆用两点间的距离公式列出方程(组)求解.

《关键能力0＞昭夏

考点一两点间距离公式的应用

血12已知：在等腰梯形A3CO中，43〃0C,对角线为AC和8D.求证：\AC\

=\BD\.

【证明】如图所示，建立平面直角坐标系.

设A(0,0),B(a,0),C(b,c),

则点D的坐标是(a—b,c).

所以|AC|=y(b—O)2+(c—O)2=9+北

|BD|—yl(a—b—a)2+~(c—0)2—-^/?2+c2.

故|AC|=|BD|.

陶题技巧------------------------------

用坐标法(解析法)解决几何问题的基本步骤

第一步：建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关的量；

第二步：进行有关的代数计算；

第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系.

［注意］建系时让图形中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算.

<跟踪训练已知点A(—2,-1),B(—4,-3),C(0,-5),求证：AABC

是等腰三角形.

证明：因为|A8|="(-4+2)2+(—3+1)2:2/，

\AC\=yj(0+2)2+(-5+1)2=2小，

\BC\=yl(0+4)2+(-5+3)2=2小,

所以|AC|=|BC|.

又因为点A,B,。不共线，

所以△A3C是等腰三角形.

考点二过定点的直线问题

码13］求经过两条直线2x—3y—3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y

-1=0平行的直线/的方程.

2x—3y—3=0,

【解】方法一：由方程组彳

x+y+2=0,

因为直线/和直线3x+y—1=0平行,

所以直线I的斜率k=-3.

所以根据点斜式有)一(—,)=—3x—(―1),

即所求直线/的方程为15x+5y+16=0.

方法二：设直线/的方程为(2x—3y—3)+2(x+y+2)=0,即(2+2)龙+”-3»

+22—3=0.因为直线/与直线3x+y-l=0平行，所以2+2—3(2—3)=0,解得

所以直线I的方程为(2+与x+(g-3)y+2X?—3=0.化简得15x+5y

+16=0.

■二^箜变(变条件)将本例中的，，平行”改为“垂直”，其他条件不变，

如何求解？

解：设直线1的方程为(2x—3y—3)+4x+y+2)=0,

即(2+»x+«—3)y+2/l-3=0.

因为/与直线3尤+y-1=0垂直，

3

所以3(2+幻+(4—3)=0,解得2=一彳.

所以直线/的方程为(2—土)》+(一(-3)y+2X(—1)-3=0,即5x-\5y

-18=0.

国思感悟------------------------------

过两条直线交点的直线的方程的求法

(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件

写出直线方程.

(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用

待定系数法求出参数，最后确定直线方程.

过两条已知直线Aix+B\y+Ci=0,A2x+32y+C2=0交点的直线系方程为

Aix+8iy+C+"AM+82y+C2)=0(不包括直线A以+B2y+C2=0).

《跟踪训练求证：不论见为何实数，直线(2+2)%一(丸一l)y=-64—3都

恒过一定点.

证明：方法一：(特殊值法)取2=0,得到直线/i：2x+y+3=0,

取2=1,得到直线，2：x=-3,

故/i与一的交点为尸(-3,3).

将点P(—3,3)代入方程左边，

得«+2)义(-3)—(/1-1)义3=—62—3(右边)，

所以点(-3,3)在直线(A+2)x—(2—l)y=-62—3上.

所以直线q+2)x—(2—1»=—62—3恒过定点(一3,3).

方法二：(分离参数法)由(2+2)氏一(4—1»=—62—3,整理得(2x+y+3)+/ia

—y+6)=0.则直线(2+2)x—(A—1)),=—6x—3通过直线2x+y+3=0与x—y+6

=0的交点.

2x+y+3=0,

由方程组1_y+6=。，得

)=3.

所以直线«+2比一“一1»=—64—3恒过定点(-3,3).

课堂巩固一自测

1.直线x+y—3=0与直线x—>+1=0的交点坐标是()

A.(2,2)B.(-2,2)

C.(-1,3)D.(1,2)

x+y=3,x=1,

解析：选D.根据题意联立得方程组，解得彳所以这两条

x-y=-i,〔尸2,

直线的交点坐标为(1,2).故选D.

2.若直线ax+y—4=0与直线x—y—2=0的交点位于x轴上，则实数a的

取值是()

A.-1B.1

C.12D.2

解析：选D.方法一：因为直线ax+y—4=0与直线x—y—2=0相交，所以

f6

ax+y—4=0,x=布，

4W解得4-2«即两直线的交点坐标为

x—y—2=0,

尸

64—2。）4—2a

],,+].由题意，可得q+]=。，解得a=2.

方法二：直线九一丁-2=0与x轴的交点为(2,0).又两直线的交点位于x轴

上，则点(2,0)在直线ax+y—4=0上，即2。一4=0,得。=2.

3.(多选)直线尤+>—1=0上与点P(—2,3)的距离等于6的点的坐标是

()

A.(-4,5)B.(-3,4)

C.(-1,2)D.(0,1)

解析：选BC.设所求点的坐标为Qo,yo),有xo+yo-1=0,

且7(xo+2)2+(yo—3)2=y[2,

xo=_3,xo=—1,

或彳故选BC.

1yo=41yo=2.

4.已知△ABC的三个顶点的坐标是A(—3,1),8(3,—3),C(l,7).

⑴判断△ABC的形状；

(2)求△ABC的面积.

解：(1)因为|AB|=7(3+3)2+(-3-1)2=2713,

|AQ=N(1+3)2+(7—1)2=2^13,

又出C|=yl(1-3)2+(7+3)2=2回,

所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,且八明=|Aq,

所以△ABC是等腰直角三角形.

的面积&ABC=T\AC\-\AB\

=gX2V13X2V?3=26.

课后达标一检[测

[A基础达标]

1.已知M(2,1),N(~T,5),则|MN|等于()

A.5B.病

C.V13D.4

解析：选A.|M7V|=yj[2-(-1)]2+(1-5)2=5,故选A.

2.过两直线/i：x—3y+4=0和/2：2x+y+5=0的交点和原点的直线方程

是()

A.19x-9y=0B.9x+19y=0

C.19x-3j=0D.3x+19y=0

九-3y+4=0,

解析：选D.由方程组1

2x+y+5=0,

解得

3

所以两直线的交点为（一亍引

3

所以所求直线的斜率为一1^-—°

19

~~~0

3

所以所求直线的方程为y=—西X,

即3x+19y=0.

3.以点A(—3,0),8(3,-2),C(-l,2)为顶点的三角形是()

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.以上都不是

解析：选C.因为|AB|=7(—3—3)2+22

=、36+4=^40=2y[10,

iBCI=7(—1—3)2+(2+2)2

='16+16=^/32

=46,

\AQ=yl(-1+3)2+22=78=272,

所以|AC|2+|BC|2=HBF,

所以△ABC为直角三角形.故选C.

4.已知直线/i：x+2y+1=0与直线，2：4x+ay—2=0垂直，则人与/2的交

点坐标是()

A.由一|)B.(-1,一§

解析：选A.因为直线/i:x+2y+1=0与直线b:4x+〃y—2=0垂直，所以

1X4+2“=。，解得。=一2,

直线h的方程为4x—2y—2=0.

x+2y+1=0,

由彳

4x—2y—2=0,

解得<故交点坐标为七，一|).

3

尸一彳

5.若直线3x+2y—2〃z—1=0与直线2x+4y—加=0的交点在第四象限，则

实数〃?的取值范围是()

A.(—8,—2)B.(—2,+°0)

C.1-8,一|)D.[-1,+8)

3x+2y—2m—1=0,

解析：选D.联立两直线的方程得占+仃.…，解得

3m+23m+2

-

x=4，2

因为交点在第四象限，所以《解得m>~-.故选

—m—2—m—2。

y=~8~Q<0，

D.

6.(多选)直线小2x—y=0与，2：x+y—3=0交于点P,则下列结论正确的

是()

A.尸到原点的距离为小

B.过P点且与/2垂直的直线的方程是x—y—1=0

C.直线5x+2y—9=0经过点P

D.过原点。且与直线OP垂直的直线的方程是x—2y=0

2x—y=°,x—1,

解析：选AC.解方程组《."'得｛'所以尸(1,2),则|OP|=小，

x+y—3=01y=2,

选项A正确；过P点且与，2垂直的直线的方程是y—2=lX(x—l),即x—y+l

=0,选项B错误；将尸(1,2)的坐标代入5x+2y-9=0,成立，选项C正确；

过原点。且与直线OP垂直的直线的方程是y=-；x,即x+2y=0,选项D错

误.故选AC.

7.已知点M(x,—4)与点M2，3)间的距离为八R,则％=.

解析：由|MN|=7啦，

得TMM=\。-2)2+(—4-3)2=7啦,

即X2—4x-45=0,

解得xi=9或X2=—5.

故所求x的值为9或-5.

答案：9或一5

8.已知直线Ax+3y+C=0与直线2x—3y+4=0的交点在y轴上，则。的

值为.

解析：因为两直线的交点在y轴上，且直线2x—3y+4=0与y轴的交点是

(0,»,所以点(0,§在直线Ax+3y+C=0上.则AX0+3x1+C=0,解

得C=-4.

答案：一4

9.已知A,8两点都在直线y=2x—l上，且A,8两点的横坐标之差的绝

对值为近，则A,8两点间的距离为.

解析：设点A(a,2a—1),点仇仇2b-1),

因为I。一。|=啦,所以|A8|=

yj(a—b)2+[(2a—1)—(2b—I)]2

=小\a—b\=\[iO.

答案：VTo

10.分别判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出它们的交点.

2x~y=J和83x+2y—7=0；

(2)/i：2x—6y+4=0和4x—12y+8=0.

[2x—y—7=0,x=3,

解：(1)方程组■的解为，

[3x+2y—7=0[y=­1.

因此直线人和，2相交，交点坐标为(3,—1).

2元-6y+4=0,

⑵方程组。_c八有无数个解，直线/I和/2重合.

4x—12y+8=0

[B能力提升]

11.已知1(5,2a-1),13+1,61-4),当|AB|取最小值时，实数a的值是()

71

A.B.-2

解析：选C.因为A(5,2a-l),8(a+l,a—4),

所以|AB|=7[(a+1)—5产+[(a—4)一(2a-l)F

=7(a—4)2+(a+3)1=yj2a2—2a+252,—?+粤,

所以当a=T时，|A8|取得最小值.

12.光线从点A(—3,5)射到x轴上，经反射以后经过点8(2,10),则光线

从A到3经过的路程为()

A.5^2B.2小

C.5①D.l(h/5

解析：选C•点4(-3,5)关于x轴的对称点为4(—3,-5),则光线从A到

B经过的路程为A'B的长度，\A'B\(-3-2)2+(-5-10)2=5®.故

选c.

13.方程(4一1)%一厂1~20+1=0362所表示的直线()

A.恒过定点(一2,3)

B.恒过定点(2,3)

C.恒过点(一2,3)和点(2,3)

D.都是平行直线

解析：选A.(〃-l)x—y+2〃+l=0可化为一x—y+1+a(x+2)=0,

-x-y+l=O,\x=-2,

由<得〈

[冗+2=0,[y=3.

3

14.已知直线/i的方程为x+2y—4=0,/2在x轴上的截距为,且

(1)求直线/]与〃的交点坐标；

(2)已知直线/3经过/1与h的交点，且在y轴上的截距是在％轴上的截距的2

倍，求/3的方程.

解：(1)设/2的方程为2x—>+m=0,

,,3

因为/2在光轴上的截距为],

3

所以2X$—0+机=0,解得m=-3,

即b: