2024年高考数学二模试题分类汇编（广东专用）专题02 函数和基本函数及性质（五大题型解析版）

专题02函数及基本函数的性质题型01函数的性质1．（2024·广东中山·二模）已知函数，若存在最小值，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】当时，，故当时，有最小值为；时，单调递减，所以，由题意存在最小值，则，解得，即的最大值为.故选：A2.（2024·广东·模拟预测）关于函数，下列说法正确的个数是（

）．①是奇函数；②是周期函数；③有零点；④在上单调递增．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】对于①，函数定义域为，且，则为奇函数，故①正确；对于②，若是周期函数，设其最小正周期为，则，即，变形得，，对任意恒成立，令，可得，，设，而，，所以只有唯一的解，故由，由此可知它不是周期函数，故②错误；对于③，因为，在上有零点，故③正确；对于④，由于，故在上单调递增，故④正确.故选：C.3.（2024·广东清远·二模）若函数为奇函数，则实数（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【详解】由题意可得，，，，整理可得，对任意都成立，，.故选：B4.（2024·广东珠海·二模）已知，为奇函数，且，则（

）A．4047 B．2 C． D．3【答案】C【详解】由函数为奇函数，可得关于点对称，且，所以，即，又因为，可得，即，则，所以，所以函数是周期为的周期函数，因为，，可得，，所以.故选：C.5．（2024·广东肇庆·二模）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于选项A，当时，，当时，，即，所以选项A不满足题意，对于选项B，因在区间上不单调，所以选项B不满足题意，对于选项C，因为图象不关于轴对称，所以选项C不满足题意，对于选项D，令，易得其定义域为，关于原点对称，又，所以为偶函数，当时，，又在区间上单调递增，所以选项D满足题意，故选：D.6.（2024·广东惠州·二模）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A：定义域为，为非奇非偶函数，故A错误；对于B：定义域为，为奇函数，但是函数在上单调递减，故B错误；对于C：为奇函数，定义域为，但是函数在上不单调，故C错误；对于D：令定义域为，且，所以为奇函数，且当时，函数在上单调递增，故D正确.故选：D7.（2024·广东湛江·二模）（多选）已知函数的定义域为，不恒为零，且，则（

）A．B．为偶函数C．在处取得极小值D．若，则【答案】ABD【详解】对于选项A，令，得，解得或，当时，令，则，则，这与不恒为零矛盾，所以，故选项A正确，对于选项B，令，则，即，即为偶函数，所以选项B正确，对于选项C，取，满足题意，此时不是的极小值点，所以选项C错误，对于选项D，令，得，若，则，则，则，所以选项D正确，故选：ABD.8.（2024·广东·二模）（多选）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【详解】对于A：，为偶函数，当时，，，的单调递减区间为，的递增区间为，而，所以在上单调递增，故A正确；对于B：，为偶函数，当时，，，的单调递增区间为，的单调递减区间为，而，所以在上单调递减，故B错误；对于C：，为偶函数，当时，，的单调递减区间为，则的单调递增区间为，而，所以在上单调递增，故C正确；对于D：，所以为非奇非偶函数，故D错误.故选：AC.9．（2024·广东·模拟预测）（多选）关于函数的周期性，下列说法正确的有（

）A．是周期函数，最小正周期为B．是周期函数，最小正周期为C．是周期函数，最小正周期为D．是周期函数，最小正周期为【答案】CD【详解】对于A，假设是周期函数，则对任意实数，存在非零常数，使得，即，显然对任意实数不恒成立，因此不是周期函数，A错误；对于B，任意实数，成立，因此是周期函数，是其周期，B错误；对于C，函数的最小正周期依次为，显然，如，左边为，而右边为1，而恒成立，因此是周期函数，最小正周期为，C正确；对于D，函数的最小正周期依次为，显然，而恒成立，因此是周期函数，最小正周期为，D正确.故选：CD10．（2024·广东江门·二模）已知函数，则下列结论中正确的是（

）A．函数有且仅有一个零点 B．函数是奇函数C．在上单调递减 D．函数的最小值为【答案】CD【详解】函数，对于A，由，得或，A错误；对于B，，而，，函数不是奇函数，B错误；对于C，函数在上单调递减，在上单调递减，且，因此在上单调递减，C正确；对于D，当时，，当时，，当且仅当时取等号，因此函数的最小值为，D正确.故选：CD11.（2024·广东·模拟预测）已知，若，则．【答案】3或【详解】当时，，解得；当时，，解得．故答案为：3或.题型02基本函数1.（2024·广东·二模）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由可得：，所以，由可得：，所以，所以.故选：C.2.（2024·广东·模拟预测）某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型（，），其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（

）（参考数据：，）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】D【详解】由题意知，，当时，，故，解得，所以．由，得，即，得，又，所以，故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15次．故选：D3．（2024·广东清远·二模）已知函数，存在使得，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，当a≤0时，当x＞0时，，f(x)如图：f(x)≥0恒成立，不满足题意；当a＞0时，，f(x)如图：当时，．故选：D．4.（2024·广东·模拟预测）设a，b，c都是正数，且，那么（

）．A． B． C． D．【答案】D【详解】依题意设，则，，，所以，则，故A，C错误；则，故B错误；则，故D正确.故选：D.5.（2024·广东清远·二模）德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为时经过的时间约为（

）（参考数据：）A．2小时 B．0.8小时 C．0.5小时 D．0.2小时【答案】C【详解】根据题意得，整理得到，两边取以为底的对数，得到，即，又，所以，得到，故选：C.6.（2024·广东惠州·二模）设，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】若,由，取，但是，而，则,又，则中至少有一个大于1，若都小于等于1，根据不等式的性质可知，乘积也小于等于1，与乘积大于1矛盾，则,故，所以是的必要而不充分条件.故选：B题型03函数的图像的识别1．（2024·广东佛山·二模）如图，是边长为2的正三角形，记位于直线（）左侧的图形的面积为．则函数的大致图象是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【详解】依题意，当时，可得直角三角形的两条直角边分别为，从而可以求得，当时，阴影部分可以看做大三角形减去一个小三角形，可求得，所以，从而可知选项A的图象满足题意.故选：A.2．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，点在边长为1的正方形边上运动，是的中点，当点沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是（

）A． B．C． D．E．均不是【答案】A【详解】当点在上时，，当点在上时，，当点在上时，，其中A选项符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正确.故选：A.3.（2024·广东珠海·一模）以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】根据题意，用排除法分析：对于选项A：，当时，有，不符合题意；对于选项B：当时，，不符合题意；对于选项D：的定义域为，不符合题意；故选：C．题型04函数与方程1.（2024·广东梅州·二模）三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】函数，，的零点，即函数,,,的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中画出，,,的图象，由图象可知，．故选：B．2.（2024·广东湛江·二模）已知函数，，则（

）A．当有2个零点时，只有1个零点B．当有3个零点时，有2个零点C．当有2个零点时，有2个零点D．当有2个零点时，有4个零点【答案】D【详解】两个函数的零点个数转化为图象与的图象的公共点的个数，作出，的大致图象，如图所示.由图可知，当有2个零点时，无零点或只有1个零点；当有3个零点时，只有1个零点；当有2个零点时，有4个零点.故选：D3.（2024·广东·模拟预测）设，对任意的实数，记函数（表示中的较小者）.若方程恰有5个不同的实根，则满足题意的条件可能为.（填写所有符合题意的条件的序号）①；②或；③；④.【答案】②③④【详解】由可得或，而，当时，令，所以，此时，如图，则，由图象知有4个不同的交点，故只能有一个交点，显然不符合要求，故不满足题意，①舍去，

当由图象知有3个不同的交点，要使方程恰有5个不同的实根，则需要有2个交点，故或，故②可能，

若由图象知有2个不同的交点，要使方程恰有5个不同的实根，则需要有3个交点，显然满足，故③可能，

当时，作出图象如下：令，此时，由图象可知有2个不同的交点，要使方程恰有5个不同的实根，则需要有3个交点，显然满足，故④可能，故答案为：②③④

4.（2024·广东中山·二模）设函数，①若有两个零点，则实数的一个取值可以是；②若是上的增函数，则实数的取值范围是．【答案】（内的值都可以）或【详解】①函数在上单调递增，，所以函数在区间上无零点，则函数在上有2个零点，即