惠州市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题（解析版）

第14页/共14页惠州市2023-2024学年高二下学期7月期末数学2024.07全卷满分150分，时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上．2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效．3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式化简集合A，B，再利用交集的定义求解即得.【详解】由，得，即，由，得，即，所以.故选：D2.若，则（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法可求，从而可求.【详解】由题设有，故，故，故选：D3.在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，则a4+a5+a6等于（）A.40 B.42 C.43 D.45【答案】B【解析】【分析】根据已知求出公差即可得出.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，则.故选：B.4.的展开式中常数项是（）A.14 B. C.42 D.【答案】A【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，即可容易求得结果.【详解】展开式的通项为，由，得，那么展开式中常数项是.故选：A.【点睛】本题考查由二项式定理的通项公式求指定项，属基础题.5.在正三棱柱中，若，则点A到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用结合已知条件求解即可.【详解】因为在正三棱柱中，若，所以，，所以，设点A到平面的距离为，因为，所以，所以，得.故选：A6.在中，内角所对的边分别为．向量．若，则角C的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示，结合余弦定理求解即得.【详解】在中，由，，得，整理得，由余弦定理得，而，所以.故选：C7.设点A,B在曲线上．若的中点坐标为，则（）A.6 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，根据题意，利用对数的运算，求得的值，结合两点间的距离公式，即可求解.【详解】设，因为的中点坐标为，可得，整理得，解得或，不妨设，所以.故选：B.8.已知函数在区间恰有6个零点，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，求得从左到右的零点依次为：，结合题意，列出不等式，即可求解.【详解】函数，由，得或，解得的正零点为或，则函数从左到右的零点依次为：，为了使得在区间恰有6个零点，只需，解得，所以实数的取值范围为.故选：C二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.现有甲、乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评，具体打分如下表（满分100分）．设事件M表示“从甲机构测评分数中任取3个，至多1个超过平均分”，事件N表示“从甲机构测评分数中任取3个，恰有2个超过平均分”．下列说法正确的是（）机构名称甲乙分值90989092959395929194A.甲机构测评分数平均分小于乙机构测评分数的平均分B.甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差C.乙机构测评分数的中位数为92.5D.事件互为对立事件【答案】BD【解析】【分析】直接由平均数、方差、百分位数及对立事件的概念，逐一对各个选项分析判断，即可得出结果.【详解】对于A，甲机构测评分数的平均分，乙机构测评分数的平均分，A错误；对于B，甲机构测评分数的方差，乙机构测评分数的方差，B正确；对于C，乙机构测评分数从小排到大为：91，92，93，94，95，乙机构测评分数的中位数为93，C错误；对于D，由甲机构测评分数中有且仅有2个测评分数超过平均分，事件不可能同时发生，但必有一个发生，因此事件互为对立事件，D正确.故选：BD10.设公比为q的等比数列的前n项积为，若，则（）A. B.当时，C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据等比数列下标和的性质和应用判断ABC，根据基本不等式的应用判断D.【详解】A选项：因为，所以，所以A不正确；B选项：因为，，则，所以，所以，所以B正确；C选项：因为，所以，所以，所以C正确；D选项：，当且仅当时，等号成立．所以D正确．故选：BCD．11.在平面直角坐标系中，动点的轨迹为曲线C，且动点到两个定点的距离之积等于3．则下列结论正确的是（）A.曲线C关于y轴对称 B.曲线C的方程为C.面积的最大值 D.的取值范围为【答案】ABD【解析】【分析】根据给定的信息，列式求出曲线C的方程，再逐项分析判断即可.【详解】对于B，依题意，，整理得，因此曲线C的方程为，B正确；对于A，方程中的换成方程不变，因此曲线C关于轴对称，A正确；对于C，显然，则，解得：，令，则，即，的面积，C错误；对于D，，因此的取值范围为，D正确.故选：ABD【点睛】结论点睛：曲线C的方程为，①如果，则曲线C关于y轴对称；②如果，则曲线C关于x轴对称；③如果，则曲线C关于原点对称.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.双曲线的一个焦点是，则_______．【答案】【解析】【分析】化双曲线方程为标准形式，再结合焦点坐标求出值.【详解】双曲线方程为，依题意，，所以.故答案为：13.若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___．【答案】（满足即可）【解析】【分析】根据在单位圆上，可得关于轴对称，得出求解.【详解】与关于轴对称，即关于轴对称，，则，当时，可取的一个值为.故答案为：（满足即可）.14.已知函数的定义域为，对于，恒有，且满足，则_______．【答案】##0.03125【解析】【分析】根据给定条件，可得当时，，再借助变形即可得解.【详解】函数的定义域为，由，得，即，又，由，得，解得，则，于是，由对于，恒有，得当时，，因此，而，即有，所以故答案为：【点睛】关键点点睛：关键点是根据题意求得，，进而求得当时，.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数在点处的切线与直线相互垂直．（1）求实数的值；（2）求的单调区间和极值．【答案】（1）；（2）增区间为，减区间为，极小值，无极大值.【解析】分析】（1）根据，代值计算即可求得参数值；（2）根据（1）中所求参数值，求得，利用导数的正负即可判断函数单调性和极值.【小问1详解】因为，在点处的切线斜率为，又在点处的切线与直线相互垂直，所以，解得.【小问2详解】由（1）得，，，令，得，令，得，即增区间为，减区间为．又，所以在处取得极小值，无极大值．【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性和极值，属综合中档题.16.某企业举行招聘考试，共有1000人参加，分为初试和复试，初试成绩总分100分，初试通过后参加复试．（1）若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中，试估计初试成绩不低于75分的人数；（精确到个位数）（2）复试共三道题，每答对一题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及期望．附：若随机变量X服从正态分布，则：，．【答案】（1）159；（2）分布列见解析，期望为19.5.【解析】【分析】（1）分析可知，计算出的值，乘以可得结果；（2）分析可知随机变量的取值分别为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.【小问1详解】由学生初试成绩服从正态分布，其中，，得，因此，所以估计初试成绩不低于的人数为人.【小问2详解】的可能取值为，，，，则，，，，所以的分布列为：数学期望为.17.在三棱锥中，平面．分别为线段上的点，且．（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据平面并结合的形状，利用线面垂直的判定定理进行证明；（2）建立空间直角坐标系，求解出平面、平面的法向量，再用面面角的向量求法求解即得..【小问1详解】由平面，平面，得，由得为等腰直角三角形，即，又，且面，面，所以平面．【小问2详解】在三棱锥中，取中点，连接，由（1）知，，，而，于是，，则显然直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，，，设平面的法向量为，则，令，得．由平面，则平面的法向量为，设平面与平面夹角为，因此，所以平面与平面夹角的余弦值为．18.如图，已知椭圆和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设、的面积分别为、．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由抛物线的焦点坐标求的值；（2）设直线的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理求的值；（3）设直线、的方程，与椭圆联立方程组表示出，由，化简并结合基本不等式求取值范围.【小问1详解】椭圆的上顶点坐标为，则抛物线的焦点为，故.【小问2详解】若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个公共点，不符合题意，所以直线的斜率存在，设直线的方程为，点、，联立可得，恒成立，则，.【小问3详解】设直线、的斜率分别为、，其中，，联立可得，解得，点在第三象限，则，点在第四象限，同理可得，且，当且仅当时，等号成立.的取值范围为.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．19.如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.（1）判断数列是否为“速增数列”？说明理由；（2）若数列为“速增数列”.且任意项，，求正整数k的最大值；（3）已知项数为（）的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于k，若，，证明：.【答案】（1）是，理由见解析（2）（3）证明见