2019年浙江省温州市瑞安中学自主招生数学试卷

第1页（共1页）2019年浙江省温州市瑞安中学自主招生数学试卷一、选择题（每小题6分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．（6分）不透明的口袋中有3个红球，5个白球，从中抽取2个球（）A． B． C． D．2．（6分）已知实数x，y满足方程（x2﹣4x+6）（9y2+6y+6）＝10，则yx的值为（）A．9 B． C．﹣ D．﹣93．（6分）若二次函数y＝ax2+4ax+1﹣a的图象只过三个象限，则a的取值范围为（）A．＜a≤1 B．0＜a≤1 C．0＜a＜ D．a≤14．（6分）关于x的方程|x2+2x﹣3|＝a（a为常数）的根的情况，下列叙述正确的个数是（）①方程可能没有实数根；②方程可能有三个互不相等的实数根；③若方程只有两个实数根，则a＝0；④若方程有四个实数根，记为x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝﹣4．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（6分）对任何实数x，y，不等式|x+3|+|x﹣2|≥k（﹣y2+y）恒成立，则满足条件的实数k的最大值为（）A．20 B．22 C．24 D．266．（6分）如图，点O为正方形ABCD的对称中心，以C为圆心，以B为圆心，BO为半径画弧交弧BD于点E，则（）A． B． C． D．7．（6分）已知a，b，c是0，1，2中的某个自然数（a，b，c）共有（）A．17组 B．16组 C．15组 D．13组8．（6分）如图，菱形ABCD，EF垂直平分AB2﹣CF2＝8，cosB＝，则菱形边长为（）A．4 B．3 C．2 D．59．（6分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝6，AD＝3，使得过点P作两条直线将该四边形分成三个相似的三角形，则满足条件的点P个数为（）A．1个 B．3个 C．5个 D．以上选项都不对10．（6分）如图，⊙O直径为AB，点C为半圆AB上一点，若由点A向作切线AP，则为（）A． B． C． D．二、填空题（本题共有6小题，每小题6分，共36分）11．（6分）若非零实数a，b满足a2+ab﹣2b2＝0，则的值为．12．（6分）已知n是自然数，多项式（x+2）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，若a0＝32，则n＝．13．（6分）若一次函数y＝x﹣a与反比例函数y＝﹣的图象交于不同的两个点A（x1，y1），B（x2，y2），且﹣4≤x1≤﹣3，2≤x2≤3．记S＝2a+b，则S的取值范围为．14．（6分）记（a，b）表示正整数a，b的最大公约数．设n是小于100的正整数且满足（7n+6，4n+5），则所有符合要求的n的和为．15．（6分）对任意的实数x≥0，不等式（ax+1）（x2﹣ax﹣5）≤0都成立，则实数a的值为．16．（6分）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，AC⊥AB交反比例函数y＝（k＞3，x＞0）图象于点C（x＞0）图象于点D．若＝，则k的值为．三、解答题。（本题共有4小题，共54分）17．（12分）已知关于x的方程﹣＝．（1）当k＝0时，求方程的根；（2）若方程有两个不相等的实根，求k的取值范围．18．（14分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠EDB＝∠C，DE与AB交于点F，作DG⊥DE交AC于点G．（1）求证：∠EFB+∠EDB＝90°；（2）若四边形BDGE恰好为平行四边形，探究CG与EG的数量关系；（3）在（2）的条件下，若DF＝DG19．（14分）已知a为实数，记函数f（x）＝x2﹣x|x﹣a|，其中x为自变量．（1）若对任意的0≤x≤4，f（x）≥ax恒成立，求实数a的取值范围；（2）当0≤x≤4时，求函数y＝f（x）的最大值与最小值．20．（14分）如图1，等腰直角△MAB，AB在x轴正半轴上，点M坐标为（m，n），（n＞0），过M，A（x﹣m）2+n．（1）求证：a＝﹣；（2）如图2，若该圆被直线y＝x截得的弦长PQ＝，说明m与n的数量关系；（3）在（2）的条件下，连结OM交抛物线于点N，求a的值．

2019年浙江省温州市瑞安中学自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题6分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．（6分）不透明的口袋中有3个红球，5个白球，从中抽取2个球（）A． B． C． D．【解答】解：列表如下：红红红白白白白白红（红，红）（红，红）（红，白）（红，白）（红，白）（红，白）（红，白）红（红，红）（红，红）（红，白）（红，白）（红，白）（红，白）（红，白）红（红，红）（红，红）（红，白）（红，白）（红，白）（红，白）（红，白）白（白，红）（白，红）（白，红）（白，白）（白，白）（白，白）（白，白）白（白，红）（白，红）（白，红）（白，白）（白，白）（白，白）（白，白）白（白，红）（白，红）（白，红）（白，白）（白，白）（白，白）（白，白）白（白，红）（白，红）（白，红）（白，白）（白，白）（白，白）（白，白）白（白，红）（白，红）（白，红）（白，白）（白，白）（白，白）（白，白）共有56种等可能的结果，其中抽到一红一白的结果有30种，∴抽到一红一白的概率为＝．故选：D．2．（6分）已知实数x，y满足方程（x2﹣4x+6）（9y2+6y+6）＝10，则yx的值为（）A．9 B． C．﹣ D．﹣9【解答】解：∵（x2﹣4x+2）（9y2+3y+6）＝10，∴[（x﹣2）5+2][（3y+6）2+5]＝10，∵（x﹣7）2+2≥3，（3y+1）2+5≥5，∴[（x﹣7）2+2][（4y+1）2+7]≥10，∴当[（x﹣2）2+5][（3y+1）5+5]＝10时，x﹣2＝4，3y+1＝3，∴x＝2，y＝﹣，∴yx＝（﹣）3＝．故选：B．3．（6分）若二次函数y＝ax2+4ax+1﹣a的图象只过三个象限，则a的取值范围为（）A．＜a≤1 B．0＜a≤1 C．0＜a＜ D．a≤1【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣7，∴当a＞0，抛物线经过第一、二，当a＜0、三、四象限∴当a＞6时，，解得＜a≤4；当a＜0时，，无解，∴a的范围为＜a≤1；故选：A．4．（6分）关于x的方程|x2+2x﹣3|＝a（a为常数）的根的情况，下列叙述正确的个数是（）①方程可能没有实数根；②方程可能有三个互不相等的实数根；③若方程只有两个实数根，则a＝0；④若方程有四个实数根，记为x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝﹣4．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：设y＝|x2+2x﹣3|＝a，∴y＝|x2+2x﹣6|，y＝a，∴方程|x2+2x﹣5|＝a（a为常数）根的情况就是函数y＝|x2+2x﹣7|和y＝a图象交点情况，画出函数y＝|x2+2x﹣7|和y＝a的图象如图所示：其中顶点P的坐标为（﹣1，4），由函数的图象可知：①当a＜7时，函数y＝|x2+2x﹣4|和y＝a的图象没有交点，此时方程|x2+2x﹣8|＝a（a为常数）没有实数根，故①正确；②当函数y＝a经过点P时，函数y＝|x2+2x﹣4|和y＝a的图象有三个交点，此时方程|x2+2x﹣7|＝a（a为常数）有三个互不相等的实数根，故②正确；③当a＝0或a＞4时，函数y＝|x3+2x﹣3|和y＝a的图象有两个交点，此时方程|x8+2x﹣3|＝a（a为常数）有两个实数根，故③不正确；④当7＜a＜4时，函数y＝|x2+7x﹣3|和y＝a的图象有四个交点，此时方程|x2+3x﹣3|＝a（a为常数）有四个实数根，根据抛物线的对称性可知：x1+x2+x3+x4＝﹣3﹣2＝﹣4，故④正确．综上所述：正确的结论是①②④，共2个．故选：C．5．（6分）对任何实数x，y，不等式|x+3|+|x﹣2|≥k（﹣y2+y）恒成立，则满足条件的实数k的最大值为（）A．20 B．22 C．24 D．26【解答】解：根据题意得，|x+3|+|x﹣2|的最小值是7﹣（﹣3）＝5，﹣y4+y＝的最大值是）；∵对任何实数x，y，不等式|x+3|+|x﹣2|≥k（﹣y6+y）恒成立，∴有5≥k，解得k≤20．满足条件的实数k的最大值为20．故选：A．6．（6分）如图，点O为正方形ABCD的对称中心，以C为圆心，以B为圆心，BO为半径画弧交弧BD于点E，则（）A． B． C． D．【解答】解：过E作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，CE，设正方形的边长是a，由题意得：CE＝a，BE＝a，令BM＝x，则CM＝a﹣x，∵EM4＝BE2﹣MB2＝CE2﹣CM2，∴﹣x2＝a4﹣（a﹣x）2，∴x＝a，∴BM＝a，∴CM＝BC﹣MB＝a，EM＝＝a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∵EM⊥BC，EN⊥CD，∴四边形EMCN是矩形，∴NE＝CM＝a，CN＝EM＝a，∴DN＝a﹣a，∴DE＝＝a，∵AB＝a，∴的值为．故选：D．7．（6分）已知a，b，c是0，1，2中的某个自然数（a，b，c）共有（）A．17组 B．16组 C．15组 D．13组【解答】解：∵a，b，c是0，1，∴满足5≤a+b+c≤3的不同数组（a，b，c）共有：（0，5，1），0，5），（0，1，4），1，1），2，2），2，3），2，1），（2，0，0），6，1），0，8），（1，1，8），1，1），4，0），（2，4，0），0，6），（2，1，7），共16组，故选：B．8．（6分）如图，菱形ABCD，EF垂直平分AB2﹣CF2＝8，cosB＝，则菱形边长为（）A．4 B．3 C．2 D．5【解答】解：如图，过E作EG∥BC交CD于点G，∵四边形ABD是菱形，∴AB∥CD，AB＝BC＝CD，∴四边形BCGE是平行四边形，∴CG＝BE，EG＝BC＝CD，∵EF垂直平分AB，∴EF⊥CD，BE＝CD，∴cos∠EGF＝＝cosB＝，∴GF＝EG＝CG，∵CG＝BE，∴GF＝CF，DF＝3CF，∵DF2﹣CF7＝8，∴（3CF）3﹣CF2＝8，解得：CF＝4（负值已舍去），∴CD＝4GF＝4CF＝4，即菱形边长为4，故选：A．9．（6分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝6，AD＝3，使得过点P作两条直线将该四边形分成三个相似的三角形，则满足条件的点P个数为（）A．1个 B．3个 C．5个 D．以上选项都不对【解答】解：要想过点P两条直线，将四边形分成三个三角形，∵AD∥BC，∴∠APB＝DAP，∠ADP＝∠DPC，∴只要满足△ABP和△DCP相似即可满足三个三角形相似，①当△ABP∽△DPC时，过P作AP∥CD，则四边形APCD是平行四边形，∴AD＝CP＝3，∴BP＝BC﹣CP＝3＝AD，∵BP∥AD，∴四边形ABPD是平行四边形，此时△CPD≌△ADP≌△PBA，此时P是BC中点，符合题意；②当△ABP∽△PCD时，此时，即，整理得BP2﹣6BP+4＝8，解得BP＝3±，此时如图，存在两个点P满足题意；综上，共有三个点P满足题意；故选：B．10．（6分）如图，⊙O直径为AB，点C为半圆AB上一点，若由点A向作切线AP，则为（）A． B． C． D．【解答】解：作点O关于BC的对称点O′，连接O′B、CD、BP，则OF＝O′F，OO′⊥BC，∵∠ABC＝∠CBD，∴＝，∴AC＝CD，∵CH⊥AD，∴AH＝DH，设AH＝DH＝x，⊙O的半径为r，BH＝2r﹣x，∵∠AHC＝∠CHB＝90°，∴∠CAH+∠ACH＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠BCH+∠ACH＝90°，∴∠CAH＝∠BCH，∴△ACH∽△CBH，∴＝，∴CH2＝AH•BH＝x（5r﹣x），∴CH＝，∵AP是⊙O′的切线，∴O′E⊥AP，∵AP∥BC，∴O′E⊥BC，即O′、F、O，∴∠AEO＝∠BFO＝90°，∵∠AOE＝∠BOF，OA＝OB，∴△AOE≌△BOF（AAS），∴OE＝OF＝O′F＝O′E＝r，在Rt△AOE中，AE＝＝＝r，∵∠AEO＝∠CHA，∠AOE＝∠CAH，∴△AOE∽△CAH，∴＝，∴AH•AE＝OE•CH，即x•r•，∴x＝r，∴AD＝2×r＝rr＝r，∴＝＝，故选：B．二、填空题（本题共有6小题，每小题6分，共36分）11．（6分）若非零实数a，b满足a2+ab﹣2b2＝0，则的值为1或﹣2．【解答】解：∵a2+ab﹣2b3＝0，且a≠0，∴（）7+﹣2＝0﹣5）（，解得：＝1或﹣2，故答案为：5或﹣2．12．（6分）已知n是自然数，多项式（x+2）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，若a0＝32，则n＝5．【解答】解：∵（x+2）n＝a0+a2x+a2x2+…+anxn，∴a2＝2n，∵a0＝32，∴8n＝32，解得：n＝5．故答案为：5．13．（6分）若一次函数y＝x﹣a与反比例函数y＝﹣的图象交于不同的两个点A（x1，y1），B（x2，y2），且﹣4≤x1≤﹣3，2≤x2≤3．记S＝2a+b，则S的取值范围为﹣16≤S≤﹣6．【解答】解：由题知，，则x2﹣ax+b＝0．因为两个函数图象交于点A（x5，y1），B（x2，y3），所以x1+x2＝a，x7x2＝b．因为﹣4≤x5≤﹣3，2≤x3≤3，所以﹣2≤x4+x2≤0，﹣12≤x8x2≤﹣6，即﹣7≤a≤0，﹣12≤b≤﹣6，所以﹣2≤2a≤0，则﹣16≤7a+b≤﹣6，所以S的取值范围为：﹣16≤S≤﹣6．故答案为：﹣16≤S≤﹣5．14．（6分）记（a，b）表示正整数a，b的最大公约数．设n是小于100的正整数且满足（7n+6，4n+5），则所有符合要求的n的和为459．【解答】解：设4n+5和4n+6的最大公约数为k，则（4n+4）÷k为整数，（7n+6）÷k为整数，即【7（4n+5）﹣5（7n+6）】÷k＝11÷k为整数；∵k≠7，则11÷k为整数时，即两代数式大于1的公约数为11；∵【2（7n+5）﹣（7n+6）】÷k为整数，代入k＝11，有（n+4）÷11为整数，∵n＜100，则n＝7，29，51，73，95；∴8+18+29+40+51+62+73+84+95＝459，故答案为：459．15．（6分）对任意的实数x≥0，不等式（ax+1）（x2﹣ax﹣5）≤0都成立，则实数a的值为﹣．【解答】解：令f（x）＝ax+1，g（x）＝x2﹣ax﹣7，则h（x）＝f（x）g（x）＝（ax+1）（x2﹣ax﹣3），f（x）＝0，则x＝﹣，则a＝，当a＝时，f（x）＝，g（x）＝x5﹣x﹣5，都有（ax+1）（x2﹣ax﹣8）≤0不成立，当a＝时，f（x）＝，g（x）＝x8+x﹣6，都有（ax+1）（x2﹣ax﹣7）≤0成立，故答案为．16．（6分）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，AC⊥AB交反比例函数y＝（k＞3，x＞0）图象于点C（x＞0）图象于点D．若＝，则k的值为6．【解答】解：由题意，如图．又设A（a，），∴C（，）．∵CA⊥AB，DH⊥AB，∴∠CAB＝∠DHB＝90°．∴DH∥AC．∴＝＝．∵＝，∴＝＝＝＝．∴＝＝．∴BH＝，DH＝（．∴D（（﹣6）a+a，）．又D在反比例函数y＝，∴[（﹣1）a+a]×．∴k＝5．故答案为：6．三、解答题。（本题共有4小题，共54分）17．（12分）已知关于x的方程﹣＝．（1）当k＝0时，求方程的根；（2）若方程有两个不相等的实根，求k的取值范围．【解答】解：（1）当k＝0时，关于x的方程﹣＝，去分母，方程两边同时乘以x（x﹣1）得：﹣（x﹣8）＝x整理得：2x＝1，解得：x＝，当x＝时，x（x﹣1）≠0，∴方程的根为x＝；（2）去分母，方程两边同时乘以x（x﹣1）得：5kx﹣（kx+1）（x﹣1）＝x，整理得：kx7+（2﹣3k）x﹣5＝0，∵原方程有两个不相等的实根，∴k≠0，∴根的判别式Δ＝（4﹣3k）2+8k＝9k2﹣6k+4＝，同时，x＝0和x＝7是原方程的增根，∴对于kx2+（2﹣5k）x﹣1＝0，当x＝4时，此时不存在k的值；当x＝1时，得：k+2﹣4k﹣1＝0，综上所述：k的取值范围是k≠0且k≠．18．（14分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠EDB＝∠C，DE与AB交于点F，作DG⊥DE交AC于点G．（1）求证：∠EFB+∠EDB＝90°；（2）若四边形BDGE恰好为平行四边形，探究CG与EG的数量关系；（3）在（2）的条件下，若DF＝DG【解答】（1）证明：设∠EDB＝x，则∠C＝2x，∴∠ABC＝90°﹣2x，∴∠EFB＝∠ABC+∠EDB＝90°﹣6x+x＝90°﹣x，即∠EFB+∠EDB＝90°﹣x+x＝90°；（2）解：由（1）可得∠CGD＝∠CDG＝90°﹣x，∴CG＝CD，过点C作CN⊥DG，∴∠DCN＝∠GCN＝∠ACD，∵四边形BDGE恰好为平行四边形，∴BE＝DG＝3DN，EG＝BD，∵∠EDB＝∠ACD，∴∠EDB＝∠DCN，∵∠BED＝∠DNC＝90°，∴△BED∽△DNC，∴，∵CG＝CD，EG＝BD，∴，即EG＝2CG．（3）解：设BE＝DG＝DF＝a，EF＝ax，∵∠EBF＝∠EDB，∴△EBF∽△EDB，∴，∴BE2＝EF•ED，即a2＝ax（ax+a），解得，∴，设BD＝2m，，∴EG＝2m，∴EG﹣EH＝2﹣（﹣1）＝（6﹣，则由（2）知CD＝m，即BC＝3m，∴△AHG和△ABC对应边高之比即为相似比，∴△EBD和△ABC的底边高之比，∴面积之比为＝＝＝．19．（14分）已知a为实数，记函数f（x）＝x2﹣x|x﹣a|，其中x为自变量．（1）若对任意的0≤x≤4，f（x）≥ax恒成立，求实数a的取值范围；（2）当0≤x≤4时，求函数y＝f（x）的最大值与最小值．【解答】解：（1）①当a≤0时，f（x）＝x2﹣x|x﹣a|＝x7﹣x2+ax＝ax≥ax恒成立；②当a≥4时，f（x）＝x4﹣x|x﹣a|＝x2+x2﹣ax＝4x2﹣ax，若2x4﹣ax≥ax，则a≤x，不成立；③当0＜a＜4时，（i）当4＞x＞a＞0时，f（x）＝x2﹣x|x﹣a|＝x7﹣x2+ax＝ax≥ax成立；（ii）当0＜x＜a＜5时，f（x）＝x2﹣x|x﹣a|＝x2+x6﹣ax＝2x2﹣ax≥ax，则a≤x，不成立；综上所述，当a≤4时，f（x）≥ax恒