6.2 平行四边形的判定 北师大版数学八年级下册素养提升练习(含解析)

第六章平行四边形2平行四边形的判定基础过关全练知识点1平行四边形的判定1.(2023广东广州期中)如图,下列条件中,不能确定四边形ABCD是平行四边形的是()A.AB=CD,AD∥BCB.AB=CD,AB∥CDC.AB∥CD,AD∥BCD.AB=CD,AD=BC2.【教材变式·P142习题T2】(2023河北唐山期中)如图,在▱ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点.求证:四边形EBFD是平行四边形,以下是排乱的证明过程:①∴EB=FD,②∴AB=CD,EB∥FD,③∴四边形EBFD是平行四边形,④∴EB=12AB,FD=12CD,⑤∵四边形ABCD是平行四边形,⑥∵E,F分别是AB,CD的中点,A.⑤→②→⑥→④→①→③B.⑤→③→①→②→⑥→④C.⑥→④→①→②→③→⑤D.⑤→②→①→⑥→④→③3.(2023河北保定期中)要使如图所示的四边形ABCD是平行四边形,根据图中数据,可以添加的条件是()A.OC=5B.OC=3C.CD=3D.CD=94.如图①,已知△ABC,按图②、图③所示的尺规作图痕迹,无需借助三角形全等就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是()A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形5.(2023北京海淀月考)一个四边形的边长依次为a,b,c,d,且(a-c)2+|b-d|=0,则这个四边形的形状为.

6.【一题多解】如图,在▱ABCD中,点E,F是对角线AC上的两个点,且AE=CF,连接BE,DF,DE,BF,求证:四边形BEDF是平行四边形.7.【新独家原创】如图,已知平行四边形ABCD中,∠ACD=90°,点E为BC边的中点,连接AE并延长,交DC的延长线于点F,连接BF.(1)求证AE=EF;(2)判断△ADF的形状.8.(2022上海嘉定二模)如图,在四边形ABCD中,AC是对角线,AC=AD,点E在边BC上,AB=AE,∠BAE=∠CAD,连接DE.(1)求证:BC=DE;(2)当AC=BC时,求证:四边形ABCD是平行四边形.知识点2两条平行线间的距离9.如图,在△ABC中,∠BAC=45°,AB=AC=8,P为AB边上一动点,以PA、PC为邻边作平行四边形PAQC,则对角线PQ长度的最小值为()A.6B.8C.2210.如图,若直线m∥n,A,D在直线m上,B,C,E在直线n上,AB∥CD,AD=5,BE=8,△DCE的面积为6,则直线m与n之间的距离为.

11.【分类讨论思想】在平行四边形ABCD中,∠A=30°,AD=23,BD=7,则平行四边形ABCD的面积为能力提升全练12.(2023江苏苏州中考,3,★★☆)如图,在正方形网格内,线段PQ的两个端点都在格点上,网格内另有A,B,C,D四个格点,下面四个结论中,正确的是()A.连接AB,则AB∥PQB.连接BC,则BC∥PQC.连接BD,则BD⊥PQD.连接AD,则AD⊥PQ13.【新考法】(2022福建中考,10,★★☆)如图,有一把直尺和一块三角尺,其中∠ABC=90°,∠CAB=60°,AB=8,点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移,使△ABC平移到△A'B'C'的位置,点A'对应直尺的刻度为0,则四边形ACC'A'的面积是()A.96B.96314.(2023河北保定高碑店期末,14,★★☆)如图,△ABC和△ACD是两个完全相同的三角形,AB=CD,BC=AD,将△ACD沿直线l向右平移到△EFG的位置,点A对应点E,且点E,C不重合,连接BE,CG,有下列结论:结论1:以B,E,C,G为顶点的四边形总是平行四边形;结论2:当BE最短时,BC⊥CG.下列说法正确的是()A.只有结论1正确B.只有结论2正确C.结论1、结论2都正确D.结论1、结论2都不正确15.(2020内蒙古呼和浩特中考,18,★★☆)如图,在正方形ABCD中,G是BC边上任意一点(不与B、C重合),DE⊥AG于点E,BF∥DE,且交AG于点F.(1)求证:AF-BF=EF;(2)连接BE,DF,四边形BFDE有可能是平行四边形吗?如果有可能,请指出此时点G的位置;如果不可能,请说明理由.16.【分类讨论思想】(2023山东济南南部山区期中,25,★★☆)如图,在等边△ABC中,BC=6cm,射线AG∥BC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动,点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动,如果点E、F同时出发,设运动时间为t(s).当t为何值时,以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形?17.(2022陕西西安西大附中阶段练,24,★★☆)如图,在▱ABCD中,AB=3cm,AD=5cm,AB⊥BD,将△ABD沿BC以1cm/s的速度匀速平移到△A'B'D'的位置,设运动时间为t(s)(0<t<5).(1)判断四边形A'B'CD的形状,并说明理由;(2)设四边形A'B'CD的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式.18.(2022广东佛山禅城期末,22,★★☆)如图,在平行四边形ABCD中,AB=3,将△ABC沿AC所在直线折叠,得到△AB'C,B'C与AD交于点E,此时,△CDE恰为等边三角形.(1)求证:∠EAC=∠ECA;(2)求阴影部分的面积;(3)连接B'D,证明:四边形ACDB'为平行四边形.素养探究全练19.【几何直观】面积为1的▱ABCD的边AB和CD被分为n等份,边AD和BC被分为m等份,按如图所示的方式连接分点,则图中形成的小平行四边形的面积S=.

20.【推理能力】(2023江西南昌期中)如图,在平面直角坐标系中,平行四边形OABC的顶点A,C的坐标分别为(10,0),(2,4).点D是OA的中点,点P在BC上由点B向点C运动(到达C点后停止),速度为2个单位长度每秒,设运动时间为t(秒).(1)PB=,PC=.(用含t的代数式表示)

(2)当点P运动到什么位置时,四边形PCDA是平行四边形?并求t的值.(3)当△ODP是等腰三角形时,求点P的坐标.答案全解全析基础过关全练AA.一组对边平行另一组对边相等不能判定四边形ABCD是平行四边形,故本选项符合题意;B.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形,故本选项不符合题意;C.根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形,故本选项不符合题意;D.根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形,故本选项不符合题意.故选A.2.A证明步骤正确的顺序如下:⑤∵四边形ABCD是平行四边形,②∴AB=CD,EB∥FD,⑥∵E,F分别是AB,CD的中点,④∴EB=12①∴EB=FD,③∴四边形EBFD是平行四边形.故选A.3.B∵AD=BC=9,∴当AB=CD=5时,四边形ABCD是平行四边形,故C,D不符合题意;∵OB=OD=7,∴当OA=OC=3时,四边形ABCD是平行四边形,故A不符合题意,B符合题意.故选B.4.B由题图可知,先作了AC的垂直平分线,与AC交于点O,再连接OB,延长BO,使OD=BO,∴AO=OC,BO=OD,∴四边形ABCD是平行四边形,故选B.5.平行四边形解析∵(a-c)2+|b-d|=0,∴(a-c)2=0,|b-d|=0,∴a-c=0,b-d=0,∴a=c,b=d,∴这个四边形的形状为平行四边形.6.证明证法1:如图,连接BD交AC于点O,∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.∵AE=CF,∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF,∴四边形DEBF是平行四边形.证法2:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF.∵AE=CF,∴△BAE≌△DCF,∴∠AEB=∠CFD,BE=DF,∴180°-∠AEB=180°-∠CFD,∴∠BEF=∠DFE,∴BE∥DF,∴四边形BEDF是平行四边形.7.解析(1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥DC,即AB∥DF,∴∠ABE=∠ECF,∵E为BC的中点,∴BE=CE,在△ABE和△FCE中,∠∴△ABE≌△FCE(ASA),∴AB=CF,∴四边形ABFC为平行四边形,∴AE=EF.(2)由(1)得AB=CF.∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,∴CD=CF,∵∠ACD=90°,∴AC⊥DF,∴AD=AF,∴△ADF是等腰三角形.8.证明(1)∵∠BAE=∠CAD,∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC,即∠BAC=∠EAD.在△ABC与△AED中,AB∴△ABC≌△AED(SAS).∴BC=DE.(2)由(1)可知,△ABC≌△AED,∴∠B=∠AED,∵AC=BC,AC=AD,BC=DE,∴BC=AD=DE,∴∠EAD=∠AED,∴∠B=∠EAD,∵AB=AE,∴∠AEB=∠B,∴∠EAD=∠AEB,∴AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.9.D∵四边形PAQC是平行四边形,∴AP∥CQ.易知对角线PQ长度的最小值为AP、CD间的距离,过C作CD⊥AB于D,如图,则CD的长即为PQ长度的最小值.∵∠BAC=45°,∴CD=AD,AD2+CD2=AC2=64,∴CD=42,∴PQ长度的最小值为42.10.4解析∵直线m∥n,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=5,∵BE=8,∴CE=BE-BC=3,设直线m与n之间的距离为h,∵△DCE的面积为6,∴12×3h=6,解得h=4,故答案为11.53解析过D点作DE⊥AB于E,当B在E的右侧时,如图,∵∠A=30°,AD=23,∴DE=3,∴AE=(23在Rt△DEB中,BE=BD∴AB=AE+BE=3+2=5,∴▱ABCD的面积=AB·DE=5×3=5当B在E的左侧时,如图,∵∠A=30°,AD=23,∴DE=3,∴AE=(23在Rt△DEB中,BE=BD∴AB=AE-BE=3-2=1,∴▱ABCD的面积=AB·DE=3.综上所述,▱ABCD的面积为53或能力提升全练12.B如图,连接AB,取PQ与格线的交点K,连接AP,BK,则AP∥BK,又AP≠BK,∴四边形ABKP不是平行四边形,∴AB,PQ不平行,故A不符合题意;如图,取格点N,连接QC,BN,BC,设小正方形的边长为1,则由勾股定理可得QN=5=BC,QC=10=BN,∴四边形QCBN是平行四边形,∴BC∥PQ,故B符合题意;如图,过D作DH⊥PQ∵DH不经过点A和点B,∴BD不垂直于PQ,AD不垂直于PQ,故C,D不符合题意.故选B.B由题意可得四边形ACC'A'为平行四边形,AA'=12,∵∠ABC=90°,∠CAB=60°,∴∠ACB=30°,∴AC=2AB=16,∴BC=AC2-AB2=83,∴14.A∵AB=CD,BC=AD,∴四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,易知AD∥EG,AD=EG,∴BC∥EG,BC=EG,∴当点E在点A、C之间时,四边形BEGC是平行四边形,当点E在点C的右侧时,四边形BCGE是平行四边形,∴以点B,E,C,G为顶点的四边形总是平行四边形,∴结论1正确;当BE最短时,BE⊥AC,∴∠BEC=90°,∵四边形BEGC是平行四边形,∴∠BCG=∠BEG=∠BEC+∠CEG>90°,∴BC与CG不垂直,∴结论2不正确.综上可知,只有结论1正确,故选A.15.解析(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD,∠BAF+∠DAE=90°,∵DE⊥AG,∴∠DAE+∠ADE=90°,∴∠ADE=∠BAF,∵BF∥DE,DE⊥AF,∴BF⊥AF,∴∠BFA=90°,∴△ABF≌△DAE(AAS),∴AF=DE,AE=BF,∴AF-BF=AF-AE=EF.(2)不可能.理由:若四边形BFDE是平行四边形,则DE=BF,∵DE=AF,∴BF=AF,∴∠BAF=45°,∴点G与点C重合,又点G不与B和C重合,∴四边形BFDE不可能是平行四边形.16.解析①当点F在点C的左侧时,易知AE=tcm,BF=2tcm,∴CF=BC-BF=(6-2t)cm,∵AG∥BC,∴当AE=CF时,四边形AECF是平行四边形,∴t=6-2t,解得t=2.②当点F在点C的右侧时,易知AE=tcm,BF=2tcm,∴CF=BF-BC=(2t-6)cm,∵AG∥BC,∴当AE=CF时,四边形AEFC是平行四边形,∴t=2t-6,解得t=6.综上所述,当t=2或6时,以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形.17.解析(1)四边形A'B'CD是平行四边形.理由:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∵△ABD沿BC匀速平移到△A'B'D'的位置,∴AB=A'B',AB∥A'B',∴A'B'=CD,A'B'∥CD,∴四边形A'B'CD是平行四边形.(2)在Rt△ABD中,AB=3cm,AD=5cm,∴BD=4cm,∴B'D'=BD=4cm,易知A'B'=AB=3cm,A'D'=AD=5cm,A'B'⊥B'D',设点B'到A'D'的距离为hcm,则12A'B'·B'D'=12A'D'∴12×3×4=12×5h,∴h=∵运动时间为t(s)(0<t<5),速度为1cm/s,∴DD'=tcm,∴A'D=A'D'-DD'=(5-t)cm,∴y=(5-t)×125解析(1)证明:根据折叠的性质,得∠BCA=∠B'CA,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠EAC=∠BCA,∴∠EAC=∠ECA.(2)过点E作EF⊥AC于F(图略),∵∠EAC=∠ECA,∴AE=EC,∴AF=FC,∵△CDE是等边三角形,四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD=CE=3,∠DEC=60°,∵∠DEC=∠EAC+∠ECA,∠EAC=∠ECA,∴∠EAC=∠ECA=30°,∴在Rt△EFC中,EF=12∴CF=EC2-EF∴阴影部分的面积为12AC·EF=12×3(3)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,