函数逼近与计算省公开课一等奖全国示范课微课金奖

*1王淑栋办公室：J13-409电话：88032786（H）-mail：wangshd@数值分析（NumericalAnalysis）第1页*2第三章函数迫近与计算数值分析（NumericalAnalysis）第2页一、问题提出称为迫近误差或余项。

怎样在给定精度下，求出计算量最小近似式，这就是函数迫近要处理问题？§1引言用简单函数

近似地代替函数

近似代替又称为迫近，

称为被迫近函数，

二者之差

，是计算数学中最基本概念和方法之一。称为迫近函数，函数*3第3页二、函数迫近问题普通提法对于函数类中给定函数，要求在另一类较简单且便于计算函数类

中寻找一个函数

，使

与

之差在某种度量意义下最小。注：本章中所研究函数类通常为区间上连续函数，记作。函数类通常是代数多项式、分式有理函数或三角多项式。*4第4页区间[a,b]上全部实连续函数组成一个空间，记作C[a,b]函数范数概念是n维欧氏空间中向量范数概念推广，在数值分析中起着主要作用.三、惯用度量标准1.连续函数空间和函数范数第5页6则称是(或)上一个向量范数(或模).假如向量(或)某个实值函数，满足条件：(向量范数)当且仅当（正定条件）（三角不等式）第6页7几个惯用向量范数.1.向量-范数(最大范数)：2.向量1-范数：3.向量2-范数也称为向量欧氏范数.4.向量-范数其中

.第7页8函数范数，记为(函数范数)当且仅当（正定条件）（三角不等式）满足条件：为任意实数第8页几个惯用函数范数.1.函数-范数(最大范数)

2.函数2-范数第9页函数迫近称为一致迫近或均匀迫近。2.一致迫近若以函数f(x)和P(x)最大误差作为度量误差f(x)-

P(x)

“大小”标准，在这种意义下*10第10页3.平方迫近采取作为度量误差“大小”标准函数迫近称为平方迫近或均方迫近。*11第11页§2最正确一致迫近一、最正确一致迫近概念设函数

是区间

对于任意，假如存在多项式

，使得不等式则称多项式

在区间

上一致迫近(或均匀迫近)于函数

。上连续函数，给定成立，*12存在吗?存在！定理3.1作保障！第12页所谓最正确一致迫近问题就是对给定区间

上连续函数

，要求一个代数多项式

,使得

其中，

是次数小于n多项式集合。称为最正确一致迫近多项式*13第13页二、最正确一致迫近多项式存在性【定理1】（维尔斯特拉斯（Weierstrass）定理）

若f(x)是区间[a,b]上连续函数，则对于任意

>0，总存在多项式P(x)，使对一切a≤x≤b有*14第14页上最正确一致迫近在能否在全部次数不超出n代数多项式中找到一个是次数小于n多项式集合空间中最正确一致迫近问题。

意义下:，使得其中，这就是三、*15第15页§3最正确一致迫近多项式一、最正确一致迫近多项式存在性

【定理2】（Borel定理)

在

中都存在对

最正确一致迫近多项式,记为

n次最正确一致迫近多项式。称为简称最正确迫近多项式。,使得

成立.对任意

*16第16页二、相关概念1、偏差上偏差。则称为与在注：，集合，记作

，它有下界0。显然，若全体组成一个*17第17页2、最小偏差则称

若记集合下确界为为

在上最小偏差。*18第18页3、偏差点设

若在

上有则称是偏差点。若若则称则称为“正”偏差点。为“负”偏差点。*19偏差点总是存在吗?第19页4、交织点组若在上存在使得这么点组称为Chebyshev交织点组。*20个点第20页三、上最正确一致迫近特征【引理3.1】若是最正确迫近多项式，则同时存在正、负偏差点。*21画图证实！第21页*22第22页【定理3】（Chebyshev定理）在区间最少有个轮番为“正”、“负”偏差点。即有个点使*23是最正确迫近多项式充要条件是只证充分性！第23页【推论1】【推论2】*24若,则在中存在惟一最正确迫近多项式若,则其最正确迫近多项式就是一个Lagrange插值多项式。反证法！第24页四、最正确一次迫近多项式1、推导过程设，且在内不变号，要求在上最正确一次一致迫近多项式由定理3，在上恰好有3个点组成交织且区间端点属于这个交织点组，点组，设另一个交织点为则*25第25页解得即即*26第26页2、几何意义*27第27页？3、举例求在上最正确一次迫近多项式。解：由可算出故解得*28第28页由得于是得最正确一次迫近多项式为故误差限为(*)在（*）式中若令，则可得一个求根公式29第29页§4最正确平方迫近一、内积空间1、权函数定义设

(x)定义在区间[a,b]上，假如含有以下性质：(1)对任意x

[a,b]，

(x)≥0；非负函数(2)积分存在，(n=0,1,2,…)；(3)对非负连续函数g(x)，

若

则在(a,b)上g(x)

0。称满足上述条件

(x)为[a,b]上权函数。

第30页内积：设，

(x)定义在区间[a,b]权函数，积分*312、内积定义和性质称为函数在[a,b]上内积。第31页内积满足以下四条公理：（1）（2）32c为常数;（3）（4）当且仅当时，满足内积定义函数空间称为内积空间。

连续函数空间C[a,b]上定义了内积就形成了一个内积空间回想向量内积定义，比较向量内积和函数内积异同！第32页3、Euclid范数及其性质Euclid范数定义设称为Euclid范数。则称量*33第33页Euclid范数性质（定理4）对于任何以下结论成立：（Cauchy-Schwarz不等式）(三角不等式)(平行四边形定律)*34①②③第34页二、相关概念1、距离

线性赋范空间中两元素之间距离为连续函数空间中，与距离定义为所以，中两点与之间距离即为也称为2-范数意义下距离*35第35页2、正交连续函数空间中，设则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权

(x)正交。

深入，设在[a,b]上给定函数族，若满足条件则称函数族是[a,b]上带权

(x)正交函数族。若*36第36页尤其地，当Ak

1时，则称该函数族为标准正交函数族。

若上述定义中函数族为多项式函数族，则称之为[a,b]上带权

(x)正交多项式族。并称是上带权

(x)次正交多项式。*37【例】三角函数族1，cosx,sinx,cos2x,

sin2x,…就是区间

上正交函数族（权）第37页三、内积空间上最正确平方迫近1．函数族线性关系【定义】设函数在区间

上连续，假如关系式当且仅当时才成立，函数在上是线性无关，不然称线性相关。则称*38第38页

是任意实数，则并称是生成集合一个基底。全体是

一个子集，记为设是上线性无关连续函数,*39第39页连续函数在上线性无关

充分必要条件是它们克莱姆(Gram)行列式【定理5】其中*40第40页广义多项式

设函数族{，…}线性无关，则其有限项线性组合称为广义多项式。*41第41页四、函数最正确平方迫近1.对于给定函数要求函数使若这么存在，中最正确平方迫近函数。则称为在子集尤其地，若是多项式，则称为在上次最正确平方迫近多项式。*42第42页求最正确平方迫近函数问题可归结为求它系数，使多元函数取得极小值。因为是关于二次函数，故利用多元函数取得极值必要条件，可得：*43第43页

(k=0,1,2,…,n)得方程组：*44第44页如采取函数内积记号方程组能够简写为：*45第45页写成矩阵形式为法方程组！

*46第46页因为

0,

1,…,

n线性无关，故Gn

0，于是上述方程组存在唯一解。从而得到函数f(x)在

中，假如存在最正确平方迫近函数，则必是*47S*(x)一定是f(x)最正确平方迫近函数吗？为何？平方误差为？取

k=xk,(x)=1,f(x)[0,1],求f(x)在[0,1]上最正确平方迫近多项式S*(x)第47页3、举例求在中一次最正确平方迫近多项式。这是上最正确平方迫近问题，。解：取记因为且一样可求得*48第48页所以，关于法方程组为解得即为中对最正确平方迫近函数。*49第49页1、正交化手续

普通来说，当权函数及区间给定以后，能够由线性无关幂函数族利用正交化方法结构出正交多项式族*50§5正交多项式第50页2、正交多项式性质(1)是最高次项系数为1次多项式.(2)任一次多项式均可表示为线性组合.(3)当时,且与任一次数小于多项式正交.*51第51页(4)递推性其中其中*52第52页且都在区间内.(5)设是在上带权项式序列,正交多则个根都是单重实根,*53第53页Legendre(勒让德)多项式(1)定义

多项式称为n次勒让德多项式(1814年Rodrigul（罗德利克）)。*543、惯用正交多项式区间为[-1,1],权函数时，由正交化得到多项式称为勒让德多项式。第54页*55因为是2n次多项式，求n阶导数后得：这么首项xn系数是所以最高项系数为1勒让德多项式是第55页(2)性质性质1

正交性勒让德多项式序列是[-1,1]上带权正交多项式序列。即：*56第56页

性质2奇偶性当n为偶数时，为偶函数；当n为奇数时，

为奇函数。*57性质3在区间(-1,1)内有n个不一样实零点第57页性质4递推关系相邻三个勒让德多项式含有以下递推关系式：*58依据递推公式，可依次计算P2(x),P3(x),…第58页性质5在全部首项系数为1

次多项式中，多项式在上与零平方误差最小。勒让德证实：设是任意一个最高项系数为1次多项式，它可表示为于是当且仅当时等号才成立，即当时平方误差最小。*59第59页第一类切比雪夫多项式(1)定义*60区间为[-1,1],权函数时，由

正交化得到多项式称为切比雪夫多项式（第一类）。是多项式吗？令，则故Tn(x)

为关于次代数多项式。第60页(2)性质性质1正交性切比雪夫多项式序列{Tn(x)}是在区间[-1,1]上带权

正交多项式序列。且*61第61页

性质2递推关系相邻三个切比雪夫多项式含有以下递推关系式：由此可得：Tn(x)最高项系数是2n-1,且第62页

性质3

在区间[-1,1]上有

个不一样零点*63

性质4

只含x偶次幂，只含x齐奇次幂第63页性质5多项式在上与零偏差最小。*64定理3.7在区间上全部首项系数为1

次多项式中，与零偏差最小，为。分析与最正确一致迫近多项式关系！

切比雪夫定理【例】利用定理3.7求在[-1,1]上最正确二次迫近多项式（自己看！）第64页其它惯用正交多项式(1)第二类Chebyshev(切比雪夫)多项式第二类切比雪夫多项式表示式为：*65区间为[-1,1],权函数时，由

正交化得到多项式称为切比雪夫多项式（第二类）。第65页②相邻三项含有递推关系式：第二类切比雪夫多项式性质：①是区间[-1,1]上带权正交多项式序列。*66第66页(2)拉盖尔(Laguerre)多项式*67拉盖尔多项式表示式为：区间为,权函数时，由

正交化得到多项式称为拉盖尔多项式。第67页①是在区间[0,+∞)上带权

正交多项式序列。

②相邻三项含有递推关系式：

拉盖尔多项式性质：*68第68页(3)埃尔米特(Hermite)多项式为埃尔米特多项式。*69区间为,权函数时，由

正交化得到多项式称为埃尔米特多项式。埃尔米特多项式表示式为：第69页正交多项式序列。①是区间(-

,+

)上带权②相邻三项含有递推关系式：埃尔米特多项式性质：*70第70页§6函数按正交多项式展开设为，其中上带权正交多项式，给定若为在上次最正确平方迫近多项式，则由正交多项式性质得：即*71第71页若f(x)在C[a,b]上按正交多项式展开，则*72上式右端级数称为广义Fourier级数，系数广义Fourier系数取函数按Legendre多项式展开最正确平方迫近多项式，则其中平方误差为：第72页【例】求在上三次最正确平方迫近多项式。解：先计算即*73又：第73页所以得所以有均方误差为最大误差为*74第74页*75试验一

试验名称：插值算法编程与计算试验目标：学会Lagrange插值，Newton插值，Hermite插值和分段插值

讨论插值龙格现象，掌握分段插值方法学会Matlab提供插值函数第75页*76试验任务：

按照题目要求完成试验内容写出对应MATLAB程序给出试验结果对试验结果进行分析和讨论写出对应试验汇报试验步骤：编写Lagrange插值函数并调用函数进行计算，与教材计算结果进行比较

分别用Lagrange插值，分段线性插值和样条插值考查龙格现象，并绘图说明第76页§7曲线拟合最小二乘法1.问题提出已知测量数据：要求简单函数，使得总体上尽可能小。称为“残差”77你有方法吗？第77页注：