湘教版八年级数学上册第5章二次根式 集体备课教案

第5章二次根式

5.1二次根式.................................................................1

5.2二次根式的乘法和除法....................................................5

5.3二次根式的加法和减法...................................................10

5.1二次根式

第1课时

教学目标

1.了解二次根式的意义，掌握二次根式的定义；能根据定义确定被开方数中字母的取

值范围.

2.理解并掌握二次根式的性质：(6丫="(心0)和V7=a(aZ0).

3.经历二次根式的定义的形成过程及二次根式性质的探究过程，提高数学探究能力及

归纳能力.

教学重难点

【教学重点】

二次根式的概念和相关性质.

【教学难点】

运用二次根式的性质：=。(。20)和V7=a(a20)进行计算.

教学过程

一、新课引入

我们学习了平方根和算术平方根的意义，请同学们思考并回答下面3个问题：

1.5的平方根是,0的平方根是,正实数。的平方根是.

2.G表示什么？其中。需要满足什么条件？为什么？

3.观察下列式子有何特点：灰，底后,沛国(aNO)

二、自主探究

1.二次根式的概念：

⑴我们把形如G的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.

⑵由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次

根式才在实数范围内有意义.即：被开方数“20.

⑶判断：C,G(a<0),我,。("0)是不是二次根式.

⑷根据已有的知识，说说你对二次根式的认识.

①表示a的算术平方根.②〃可以是数，也可以是式.③从形式上看，含有二次根号.

④a20,\[a>0

2.二次根式的性质：

⑴对于非负实数%由于右是。的一个平方根，因此：(G)2=a(“N0)

⑵填空:厅=,=，而7=…

结论：当a20时，=

三、应用迁移

(一)典例精析

例1当x是怎样的实数时，二次根式0在实数范围内有意义？

例2计算：⑴(司](2)(2血『；(3)，(-2)2;(4)

(二)变式运用

⑴若花7+A/T。有意义，求4工的值.

⑵若=求的值.

(三)综合运用

已知实数a<0,b>0,化简y/a^-y[b^-yl(a+b)2+Ja-b)].

四、归纳小结

⑴二次根式的定义：①形如②被开方数a

⑵二次根式的性质：①后=(a20)②(6)2=(a>0)

五、巩固提升

★1.当》时，在实数范围内有意义.

★★2.已知y=j4-x+Jx-4+2,求的值.

★★★3.在实数范围内，把下列多项式分解因式：

⑴X2-13;(2)3/—12.

第2课时

教学目标

1.理解并掌握二次根式的性质：&工=&•*(aNO/NO),并学会利用这一性质对

二次根式进行化简.

2.掌握最简二次根式的概念.

教学重难点

【教学重点】

二次根式的相关性质=&•血(aN0力20).

【教学难点】

运用二次根式的性质：=八-4b(a>0,Z?>0)进行化简.

教学过程

一、新课引入

计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？

(1),4x9=,V4x亚=；

(2)79x16=,V9xV16=.

二、自主探究

1.二次根式的性质：积的算术平方根

⑴参考上面的结果，用“>、<或=”填空.

74^9_____74x79；,9x16如乂厢

⑵根据上面的探究，下列式子也存在类似关系，猜想你的结论并用计算器验证.

①7^5_____72x73；②V2xV5；③V5xV6

⑶结论：yja-b->[a-\/^(a>0,/?>0)

⑷例：化简下列二次根式：

①M②同③"④£⑤R

2.最简二次根式：

观察上面的例题中各小题的最后结果，你发现这些式子中的二次根式有什么特点？

通过分析得到，二次根式有如下两个特点：

⑴被开方数中不含分母；⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.

*在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.

三、应用迁移

(-)典例精析

例1利用二次根式的性质化简:

(3)J|；(4)V32X52.

(1)049x25；(2)V640；

(-)变式运用

⑴已知等式J(a+3)(a-3)=V^+3.7^3成立，则a的取值范围是

⑵已知等式6+2f=-xy[x+2成立，则x的取值范围是

(三)综合运用

化简|1—x|—J/-8x+16的结果为2x—5,试求x的取值范围.

四、归纳小结

⑴积的算术平方根的性质：____________________________

⑵最简二次根式：①②

六、巩固提升

★1.下列二次根式是最简二次根式的是()

A.y/12B.gC.VOJD.2y/3

★★2.化简：

(1)"x，+8/(x>0)(2)V.(x>0,y>0,_0_x>>,)

★★★3.比较2近与40的大小.

5.2二次根式的乘法和除法

第1课时

教学目标

1.理解积的算术平方根的性质.

2.灵活运用积的算术平方根的性质进行二次根式的乘法运算.

教学重难点

【教学重点】

逆用积的算术平方根性质进行二次根式的乘法运算.

【教学难点】

二次根式乘法运算结果的化简.

教学过程

一、情境导入

小颖家有一块长方形菜地，长宽那么这个长方形菜地的面积是多少？

二、合作探究

探究点一：二次根式的乘法法则成立的条件

例1式子(x+1)~(2—x)成立的条件是()

A.xW2B.才》一1

C.—D.-1VXV2

x+120,

解析：根据题意得。、八解得一1WXW2,故选C.

方法总结：运用二次根式的乘法法则：*y[b=y[ab(a^Q,620),必须注意被开

方数是非负数这一条件.

探究点二：二次根式的乘法

[类型一]二次根式的乘法运算

例2计算：

(2)9标义(一右向);

___2__

（4）2a\j8ab•（一不）6/拉（心0,6N0）.

0

解析：第⑴小题直接按二次根式的乘法运算法则进行计算，第(2),(3),(4)小题把

二次根式前的系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘.

解：(1)MI^=A/-X—=-；

方法总结：二次根式与二次根式相乘时，可类比单项式与单项式相乘，把系数与系数

相乘，被开方数与被开方数相乘.最后结果要化为最简二次根式，计算时要注意积的

符号.

［类型二］二次根式的乘法的应用

例3小明的爸爸做了一个长为#5881cm,宽为448"cm的矩形木板,还想做一个与

它面积相等的圆形木板，请你帮他计算一下这个圆的半径.

解析：根据矩形的面积等于“长X宽”、圆的面积等于“nX半径的平方”进行计算.

解：设圆的半径为zvm.

因为矩形木板的面积为人588nXAJ48n=168n(cm)2.

所以“产=168门，r=2，l^(cm)(r=—舍去).

方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想.

三、板书设计

二次根式的乘法法则：y[a,y[b=y[ab（a^Q,620）

四、教学反思

在学习了积的算术平方根的基础上，这一节课学习了二次根式的乘法.这两个性质法

则是可逆的，它们成立的条件都是被开方数为非负数.在教学中通过情境引入激发学

生的学习兴趣，让学生自主探究二次根式的乘法法则，鼓励学生运用法则进行二次根

式的乘法运算.

第2课时

教学目标

1.了解商的算术平方根性质.

2.利用公式J|=W（a>0力20）进行二次根式的化简和除法运算.

教学重难点

【教学重点】

简单的二次根式的除法运算，利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简.

【教学难点】

探索二次根式的除法法则.

教学过程

一、情境导入

一个长方形的面积为打，长为乖，那么这个长方形的宽是多少？

二、合作探究

探究点一：商的算术平方根的性质

[类型一]利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围

例1若、乒=鹏=,则a的取值范围是（）

\12-a、2—a

A.a<2B.aW2

C.0Wa<2D.a20

a^O,

解析：根据题意得°八解得0WaV2,故选C.

12—^>0.

方法总结：运用商的算术平方根的性质：［J|=*(a>°，bNO),必须注意被开方

数是非负数且分母不等于零这一条件.

［类型二］利用商的算术平方根的性质化简二次根式

例2化简：

⑴⑵y^(a>0,b>0,c>0).

解析：按商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根.

解：⑴也一出一5-T

⑵“^一忘一2今辰.

方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数,被开方数中的分母要化去，即被开方

数不含分母，从而化为最简二次根式.

探究点二：二次根式的除法

［类型一］二次根式的除法运算

例3计算：

⑴/、超枭⑵/、6班融⑶,“H27那

(4)p/^'4-(―|^/a2Z?6)(a>0,b.

>0).

解析：(1)直接把被开方数相除；(2)把系数与系数相除，被开方数与被开方数相除；

(3)被开方数相除时，注意约分；(4)系数相除时，把除法转化为乘法，被开方数相除

时，写成商的算术平方根的形式,,再化简.

解'⑴居嫄乎

,、646/126［22r

,V12a，2V4

(4)1^P4-(—

方法总结：①二次根式的除法运算，可以类比单项式的除法运算，当被除式或除式中

有负号时，要先确定商的符号.②二次根式相除，根据除法法则，把被开方数与被开

方数相除，转化为一个二次根式.③二次根式的除法运算还可以与商的算术平方根的

性质结合起来，灵活选取合适的方法.④最后结果要化为最简二次根式.

［类型二］二次根式的乘除混合运算

例4计算：

(1)3718X^4-(-5712)；

解析：把系数与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除，最后结果化为最简二次根

式.

解：⑴3日X^（-5标）=（一3X对）看｛1=一九隐

33厂9/—

-ToX2^=-2b^；

(2)1^6-|^Gx12A/^=12)⑵

3GL

方法总结：二次根式的乘除混合运算，与有理数的乘除混合运算一样，按从左到右的

顺序进行，也可以先统一为乘法运算，再进行运算.

［类型三］二次根式除法的实际应用

例5已知某长方体的体积为3（h、/Tbcm'，长为，而cm,宽为4I^cm,求长方体的高.

解析：因为长方体的体积=长义宽义高，所以高=长方体的体积+（长义宽），代入计

算即可.

解：长方体的高为：

307104-(4X#)=320X15=3030(cm).

方法总结：本题也可以设高为x,根据长方体体积公式建立方程求解.

三、板书设计

[byTb

1.商的算术平方根的性质:7：=?(a>0,620)

2.二次根式的除法:

四、教学反思

本节课的学习中要注意拓展知识间的相互联系：商的算术平方根的性质与二次根式的

除法的联系，二次根式的乘法与二次根式的除法的联系，类比单项式的乘除法运算进

行二次根式的乘除法运算，让学生顺利实现知识的迁移.

5.3二次根式的加法和减法

第1课时

教学目标

1.理解和掌握二次根式加减的方法.

2.先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加方法的理解.再总

结经验，用它来指导根式的计算和化简.

教学重难点

【教学重点】

二次根式化简为最简根式.

【教学难点】

会判定是否是最简二次根式.

教学过程

一、复习引入学生活动：计算下列各式.

(1)2x+3x；(2)2X2-3X2+5X2；(3)x+2x+3y

教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并.同类项合并就是

字母不变，系数相加减.

二、探索新知学生活动：计算下列各式.

(1)20+30(2)2册-3册+5限

(3)6+2近+3回^

老师点评：

(1)如果我们把血当成x,不就转化为上面的问题吗？

2&+30=(2+3)72=572

因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如血与人表面上看是不相同的，但

它们可以合并吗？可以的.

(板书)72+78=72+272=3V2373+>/27=3V5+3A/3=673

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同

的二次根式进行合并.

例1.计算(1)V8+V18(2)y/16x+y/64x

分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简

二次根式进行合并.

解：(1)A/8+V18=272+372=(2+3)应=50

(2)J16x+J64尤=4«+8&=(4+8)4x=12\Jx

例2.计算(1)3748+3V12(2)(748+720)+(712-^)

解：(1)35/48+3V12=1273-373+673=(12-3+6)73=1573

(2)(V48+V20)+(712-^)=A/48+V20+V12-A/5

=4A/3+2V5+2A/3-V5=6A/3+V5

三、巩固练习P169练习1、2.

四、应用拓展

例3.已知4x'2+y2-4x-6y+10=0,求（^小尻+旷[《）-（x2~5x）的值.

分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2xT）2+（y-3）2=0,

即x=-,y=3.其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再

2

合并同类二次根式，最后代入求值.

解：V4x2+y2-4x-6y+10=0

4X2-4X+1+y2-6y+9=0

・•・（2x-l）2+（y-3）2=0

x=­,y=3

2

=2x\[x+y[xy-xVx+5^xy

=x\[x+^y[xy

当x=-,y=3时，

2

原式=，X、P+6、B=也+3"

2\2V24

五、归纳小结本节课应掌握：

（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合

并.

六、布置作业

第一课时作业设计

一、选择题

1.以下二次根式：①近；②万；③岛④曲中，与百是同类二次根式

的是（）.A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.下列各式：①3V3+3=6A/3；②不=1;③V2+A/6=y/8=2；④'丁=2>/2,

其中错误的有（）.A.3个B.2个C.1个D.0个

二、填空题

1.在龙、-V75a>2演、712526/、3755、-2、口中，与扃是同

33aV8

类二次根式的有.

2.计算二次根式5-3扬-7右+96的最后结果是

第2课时

教学目标

1.含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.

2.运用类别的方法，复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘

除、乘方等运算.

教学重难点

【教学重点】

含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.

【教学难点】

运用类别的方法，复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、

乘方等运算.

教学过程

一、情境导入

计算：

⑴x(x+l);

(2)(3y2*»+*炉)+灯；

⑶(2x+3力(2矛一3力；

⑷(x—4+(x—2y)2.

在上述运算中，如果把x,y换成二次根式，以上运算怎样进行？

二、合作探究

探究点一：二次根式的混合运算

［类型一］二次根式的混合运算

例1计算：

⑴在♦木7“平+叵

⑵■《义东一啊

解析：（D先算乘除，再算加减；（2）先计算第一部分，把除法转化为乘法，再化简.

解：⑴原式=^/1^一道+^/^=4—m+2m=4+4；

⑵耒・情*击一洞=耒本¥-5快耒*|75一54乎X（V5一

5巾=乎-5^/2=-1\/2.

方法总结：二次根式的混合运算与实数的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后

算加减，如果有括号就先算括号里面的.

［类型二］运用乘法公式进行二次根式的混合运算

例2计算：

⑴（乖+乖）（乖—木）；

（2）（3^2-2^3）2-（3^2+2-73）2.

解析：（1）用平方差公式计算；（2）先分别用完全平方公式计算，最后再合并.

解:⑴（#+小）（乖一小）=（m）2-（#）2=5-3=2；

（2）（3^2—2*\^3）­—（3,\y2+2,\^3）2=18—12,^6+12—（18+12y/6+12）=-24^^6.

方法总结：多项式的乘法公式在二次根式的混合运算中仍然适用，计算时应先观察式

子的特点，能用乘法公式的用乘法公式计算.

［类型三］二次根式的化简求值

例3先化简，再求值：竿毋+皿芳，其中”=m+1,y=V3-l.

y］xy+yx-yjxy

解析：首先根据约分的方法和二次根式的性质进行化简，然后再代值计算.

的ng』立（小+$）］而（立一近）立：近x+y

'八式U（E+5）5（5一5）G-\l~x\l~xy'

Vx=y[3+l,y=^3—l,

.，.x+y=24，xy—3—1=2,

原式=患=m.

方法总结：在解答此类代值计算题时，通常要先化简再代值，如果不化简，直接代入,

虽然能求出结果，但往往导致繁琐的运算.化简求值时注意整体思想的运用.

［类型四］二次根式混合运算的实际应用

例4一个三角形的底为6m+2/，这边上的高为3/一/，求这个三角形的面积.

解析：根据三角形的面积公式进行计算.

解:这个三角形的面积为:;X（6^3+2^2）X（3由一木）=1x2X（3^3+^2）X（3小

-^2）=（373）2-（何=27—2=25.

方法总结：列出解决实际问题的关系式，计算时注意观察式子的特点，选取合适的方

法求解，能应用公式的尽量用公式计算.

探究点二：二次根式的分母有理化

［类型一］分母有理化

例5计算：

,\[3+y[2木—小

木一小

解析：（1）把分子、分母同乘以啦，再约分计算；（2）把的分子、分母同乘以

小一乖，聿亲的分子、分母同乘以镉+电再运用公式计算.

2V15+V12