新人教版 七年级下学期全册教案（下）

7.3.2《多边形的内角和》教案

教学任务分析

知识目标了解多边形的内角和与外角和公式,进一步了解转化的数学思想

1、让学生经历猜想、探索、推理、归纳等过程，发展学生的合情推理能力和

教语言表达能力，掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法。

学能力目标2、通过把多边形转化为三角形,体会转化思想在几何中的运用,让学生体会从特殊到

目一般的认识问题的方法。

标3、通过探索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同的角度寻求解决问

题的方法，并能有效地解决问题。

通过学生间交流、探索，进一步激发学生的学习热情，求知欲望，养成良好的

情感情感

数学思维品质。

重点探索多边形的内角和及外角和公式

难点如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和与外角和。

教学流程安排

活动流程活动内容和目的

回顾三角形内角和知识，激发学生的学习兴趣，为后继问题解决

活动1回顾三角形内角和，引入课题

作铺垫。

鼓励学生寻找多种分割形式,深入领会转化的本质一将四边形转

活动2探索四边形内角和

化为三角形问题来解决。

活动3探索五边形内角和，推导出任意多通过类比得出方法，探索多边形内角和公式,体会数形间的联系，

边形内角和公式感受从特殊到一般的思考问题的方法。

逋过类比和扩展方法的使用，使学生掌握复杂问题化为简单问

活动4探索六边形及n边形外角和

题，化未知为已知的思想方法。

活动5多边形内角和与外角和公式的运

综合运用所学知识去解决问题。

用

活动6归纳总结，布置作业小结及课后探究习题梳理所学知识,达到巩固，发展提高的目的。

教学过程设计

问题与情况师生行为设计意图

活动

11、教师提问，学生思考作答。回顾已学知识：三角形的内角和等于

问题：你知道三角形的内角和是多

2、教师总结：三角形的内角180°,为后继问题的解决作铺垫。

少度吗？

A和等于180。。利用学生的好奇心设疑，激发学生的

3、引出课题：您想知道任意求知欲望，使他们能自觉地参与到下

一个多边形的内角和吗？今面多边形内角和探索的活动中去。

天我们就来进一步探讨多边

BC

三角形的内角和等于180°形的内角和与外角和。

课题：多边形的内角和与外角和

活动2

1、引导学生猜想：四边形的教师可点拨学生从正方形、长方

问题：你知道任意一个四边形的内

角和是多少吗？内角和等于360。°形这两个特殊的多边形的内角和，进

学生展示探究成果

2、学生分小组交流与探究，而猜测出四边形的内角和等于360

O

A进一步来论证自己的猜想。O

“解放学生的手，解放学生的大

3、由各小组成员汇报探索的

脑”，鼓励学生积极参与，合作交流，

思路与方法，讲明理由。

B(----------------------------C用自己的语言表达解决问题的方式方

4、教师汇总学生所探索出的

法，发展学生的语言表达能力与推理

分成2个三角形不同方法，除测量与拼凑法

180°X2=360°能力。

夕卜，并提出疑问：你们添加辅

鼓励学生寻找多种分割形式，深

助线的目的是什么？说一说

入领会转化的本质——将四边形转化

你的想法。

为三角形问题来解决。

二5、教师在学生回答的基础上

BC

分割成4个三角形小结：借助辅助线把四边形分

180°X4-360°=360°割成几个三角形，利用三角形

内角和求得四边形内角和。

BPC

分割成3个三角形

180°X3-180°=360°

活动31、教师提出问题，学生思通过增加图形的复杂性，让学生

问题1：你知道五边形的内角和是

考后分组活动。再一次经历转化的过程,加深对转化思

多少度吗？

2、教师深入小组，参与小想方法的理解,在探索过程中进一步体

AE

组活动，及时了解学生探索的现新课标“以人为本”的思想，再一次

情况。发展学生的平理能力和语言表达能力。

3、让学生归纳借助辅助线通过四边形、五边形特殊，多边

将五边形分割成三角形的不同形内角和的探索，让学生从特殊到一般

C

AE分法。归纳总结出多边形内角和公式,体会数

4、探究五边形的边数与所形间的联系,感受从特殊到一般的数学

分割的三角形个数间的关系，推理过程和数学思考方法。

进而得出五边形内角和与边数

的关系。

c

5、根据以上分割三角形的

方法，引导学生归纳n边形内

角和公式及不同公式间的联

系，指明为了书写整齐，便于

c

问题2：你知道n边形的内角和吗？记忆，我们选择(n-2)•180°

(n-2)•180°这个公式。

180°n-360o6、通过计算让学生巩固并

180°(n-l)-180°

掌握n边形内角和公式。

板书：

多边形内角和公式：(n-2)•180°

例：求15边形内角和的度数

活动41、学生思考作答，教师作经历现实情况引出六边形的外角

问题1：小明家有一张六边形的地

适当点拨。通过课件演示，由和等于360°,从学生已有的生活经验

毯，小明绕各顶点走了一圈，回到

出发，更能激发学生的学习兴趣。

起点A,他的身体旋转了多少度？学生发现：六边形的外角和等

例：六边形外角和等于多少度？于360°。通过类比和扩展方法的使用，使学

2、教师引导学生利用多边生掌握复杂问题化为简单问题,化未知

形的内角和公式，进一步论证为已知的思想方法。

T\

六边形外角和等于360°。即：

六个平角减去六边形内角和等

于六边形外角和360°

3、进行类比推理并小结：

A\1B

n边形外角和等于n个平角减去

n边形内角和，与边数无关。

问题2：n边形外角和等于多少度？180°n-(n-2)•180°=360°

n边形外角和等于360°

活Z力5

1、学生利用当堂所学的知识学生自主探索巩固知识和获得技

问或电你能运用多边形内角和与

通过小组合作解决问题，巩固本节能，掌握基本的数学思想。

外喷自和公式解决问题吗？

(1)教科书P88例1知识。教师及时了解学生的学习效果，

(2)求下列图中x值

2、教师从学生的回答中，了让学生经历用知识解决问题的过程。

>^150。2x、解学生有条理表达自己的思考过同时激发学生的学习和积极性，

J120°\程。建立学好数学的自信心。学生巩固、

3、引导学生利用多边形的内发展、提高。

口

角和公式解释小明的设想能否实

现，进一步让学生感受到数学的趣

^120°\

味性，以及与实际生活间的密切联

卜5。1X。系。

(3)一个多边形的内角和与外

角和相等，它是几边形？

探究题：小明有一个设想:2008

年奥运会在北京召开，他设计一

个内角和是2008°的多边形图

案多有意义，小明的想法能实现

吗？

活动61、学生反思学习和解决问题通过回顾和反思，让学生看到自

问题：谈谈本节课你有哪些收

的过程。己的进步，激励学生，使学生自己在

获？

2、鼓励学生大胆表达，并对今后的学习中会不断进步，提高学生

作业：课本P90.2P90.6学生的进步给予肯定，树立学生学的学习热情。

好数学的自信心。

7.4课题学习《镶送》

一、教材分析

1.教材地位和作用

第七章《三角形》首先介绍了三角形的有关概念和性质，接着介绍了多边形的有关概念及其内角和、外

角和公式.镶嵌作为课题学习的内容，安排在本章的最后，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用.

通过课题的学习，学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，到综合运用已有的知识解决问

题的全过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力.

2.重难点分析

教材由铺地板砖铺地引入镶嵌问题后提问:为什么这样的地砖可以进行平面镶嵌？引发学生的思索，接着

又提出：哪几种多边形可以平面镶嵌？为了深化课题研究，教材进一步提出:哪两种正多边形可以平面镶嵌？

设问层层递进，不断引发学生的认知冲突，从而引领学生完成课题学习.因此，本节的重点是经历平面镶嵌

条件的探究过程，难点是用两种正多边形进行的平面镶嵌.

为了突出重点，突破难点，本课题的教学坚持“教与学、知识与能力的辩证统一"和''使每个学生都得

到充分发展”的原则，关注学生的实践与操作，让学生自己准备正多边形，自己拼图，自主发现数学问题，

进而解决问题，教师要适时启发学生把平面镶嵌的条件与内角和公式联系起来，进而建立解题模型.

二、教学目标分析

课题的学习，要求学生先实验得出结论，再把结论运用于实验，是对己学知识的复习、巩固和应用的过

程，也是培养学生多种能力的过程，所以确定如下教学目标：

1.知识技能目标：①了解平面镶嵌的条件，会用一个三角形、四边形、正六边形平面镶嵌，形成美丽

的图案，积累一定的审美体验.

②经历探索多边形平面镶嵌的条件过程，并能运用几种图形进行简单的镶嵌设计.

2.数学思考目标：由多边形的内角和公式说明注意三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面.

3.解决问题目标：观察常见的地板砖密铺，综合运用所学的知识技能解决平面镶嵌的条件.

4.情感态度目标：平面镶嵌是体现多边形在现实生活中应用价值的•个方面，通过探索多边形平面图

形的镶嵌并且欣赏美丽图案，从而感受数学与现实生活的密切联系，体会数学活动充满了探索性与创造性，

培养学生学习数学的兴趣，促进创新意识、审美意识的发展.

三、教学流程安排

活动流程图活动内容和目的

活动1引入背景创设情境，导入新课，了解多边形平面覆盖来自生活

实际

活动2实验探究发现有的多边形能够覆盖平面，有的则不能

讨论多边形能覆盖平面的基本条件，运用多边形内角

活动3结果分析和公式对实验结果进行分析.

进行简单的镶嵌设计，把所学知识运用到实践中.

活动4知识运用

四、教学过程设计

问题与情景师生行为设计意图

［活动1］学生欣赏美丽的校园一角，教师从观察生活现象入手，抽象出数学问

1.引入背景指出：用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都题——平面镶嵌的问题，激发学习兴趣.

要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把

地面或墙面全部覆盖.从数学角度去

分析，这些工作就是用一些不重叠摆

放的多边形把平面一部分完全覆盖，

通常把这类问题叫做用多边形覆盖

平面（或平面镶嵌）的问题.

［活动2］实验探究

实验1尝试用手中的学生动手操作，记录结果.教师巡通过实验,让学生发现正三角形、正四

正三角形、正四边形、回指导，并展示镶嵌效果图案.边形、正六边形可以镶嵌成一个平面图案，

正五边形、正六边形进而正五边形则不能.

行平面镶嵌

实验2用正三角形与

正四形镶嵌成一个平学生在拼图的过程中，教师巡回学生通过实验知道两种正多边形也

面图案，用正三交形与指导.教师对出现的不同的拼图方法可以进行平面镶嵌.

正六边形镶嵌成一个予以肯定.学生完成实验后，出示镶嵌

平面图案效果图案.

学生拼图,教师重点关注学生能培养学生的操作能力，了解一般的三

实验3用任意三角形否把不相等的角拼接在一个顶点处，角形或四边形可以进行平面镶嵌.

或任意四边形镶嵌成能否把相等的边拼在一起.教师出示

一个平面图案镶嵌效果图.

问题与情景师生行为设计意图

[活动3]

问题1分析实验学生观察上述的实验结果，分组学生运用已有的知识对实验结果进

结果讨论平面镶嵌的条件，发现问题与多行推理分析,把感性认识上升到理性认识

边形的内角大小有密切关系，教师出的高度，说明了理论来源于实践.

示图例，引导学生发现拼接在同一点

的各个角的和恰好等于360°.

师生归纳得出多边形平面镶嵌

的条件:

①拼接在同点的各个角的和

恰好等于360°;

②相邻的多边形有公共边.

例如下图中的点0处N1+/2+

Z3+Z4=360°,OA两侧的多边形有

公共边OA.

图

验证平面镶嵌的条件，说明理论来源

于实践又运用于实践.

问题2解释实验学生解释任意三角形能够进行

结果平面镶嵌的理山:图中Z1+Z2+

/3=180°,把6个全等的三角形适当

地拼接在同一个点，一定能使这点为

顶点的6个角的和恰好等360°,并且

使边长相等的两边贴在一起.于是，

用三角形能镶嵌成一个平面图案.

学生说明正五边形不能镶嵌成

一个平面图案的原因：

由多边形内角和公司，可以得到

五边形内角和等于（5-2）X180°=540

°,因此，正五边形的每个内角等于

540°4-5=108°.360°不是108°的

整数倍，也就是用一些108°的角不能

拼出360°的角.

问题与情景师生行为设计意图

［活动4J

问题1小结反思学生自由谈本节课的收获.教师复习巩固已学知识，学生学会小结反

注意纠正学生的错误与不足，对学生思.

的进步予以表扬.

教师先展示几组其它平面镶嵌

的图形，扩展学生视野,然后要求学生将已学的知识用于实际.培养学生的

问题2自由设计独立设计一份平面镶嵌的图案，教师创造能力，发展学生的审美意识.

先个别辅导，再集中欣赏学生的作品.

五、回顾与小结

本课题的教学采取实验操作、观察发现、启发引导、探索交流等多种方法相结合的教法，特别关注了从

实践到理论，再从理论到实践的全过程，教师对学生的实践进行指导，帮助学生优化思维过程，在此基础上，学

生互相交流思维策略，设计创意，既满足了学生学习的多样化的要求，又扩展了学生的数学知识和使用数学

语言的能力.

课题：8.1二元一次方程组

1、弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义，并会检验一对数是不是某个

二元一次方程组的解；

教学目标

2、学会用类比的方法迁移知识；体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性，感受

数学的乐趣.

教学难点弄懂二元一次方程组解的含义。

知识重点二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义。

教学过程（师生活动）设计理念

幻灯：古老的“鸡兔同笼问题”以古老的数学名题

“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问鸡、兔各引入，可以增强学生

几何？”的民族自豪感，激发

师：这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题.它学好数学的感情

曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，这个问题也一定会使在座的

各位同学感兴趣.怎样来解答这个问题呢？

学生思考自行解答，教师巡视.最后，在学生动手动脑的基础

上，班级集体讨论给出各种解决方案.

创设情境方案一：算术方法能用方案本来解的

导入课题把兔子都看成鸡，则多出94-35X2=24只脚，每只兔子比学生算术功底比较

鸡多出两只脚，故，由此可先求出兔子有24+2=12只，好，应给予高度赞

进而鸡有35—12=23只.赏.

或类似的也可以先求鸡的数量.

35X4-94=46,46+2=23

方案二：列一元一次方程解方案二既是对一元

设有x只鸡，则有（35-x）只兔.根据题意，得一次方程的复习与

2x十4（35—x）=94.巩固，又为二元一次

（解方程略）方程组的引出做好

教师不失时机地复习一元一次方程的有关概念，”元”是指什铺垫在。

么？“次”是指什么？

(-)讨论二元一次方程、二元一次方程组的概念

师：上面的问题可以用一元一次方程来解，还有其他方法吗？

(若学生想不到，教师要引导学生，要求的是两个未知数，能否设

两个未知数列方程求解呢？让学生自己设未知数，列方程)

方案三：设有x只鸡，y只兔，依题意得引导学生利用一元

x+y=35,①一次方程进行知识

2x+4y=94.②的迁移与奚比，让学

针对学生列出的这两个方程，提出如下问题：生用原有的认知结

(1)、你能给这两个方程起个名字吗？构去同化新知识，符

(2)为什么叫二元一次方程呢？合建构主义理念

(3)什么样的方程叫二元一次方程呢？

结合学生的回答，教师板书定义1：含有两个未知数，并且未

知数的指数都是1的方程，叫做二元一次方程.

师：在上面的问题中，鸡、兔的只数必须同时满足①②两个方

程.把①②两个二元一次方程结合在一起，用花括号来连接.我们

也给它起个名字，叫什么好呢？通过探究活动得出

结论：

x+y=35

1、二元一次方程的

2x+4y=94

解是成对出现的；2、

定义2：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一二元一次方程的解

次方程组.有无

(二)讨论二元一次方程、二元一次方程组的解的概念数多个.这与一元一

分析问题探究活动：满足x+y=35的值有哪些？请填入表中：次方程有显

X・・・著的区别.

y・・・

教师启发：

(1)若不考虑北匕方程与上面3实际问题的联系，还可以取哪些

值？

(,2)你能模仿一元一次方程f向解给二元一次方程的解下定义

吗？

(.3)它与一元一一次方程的解干『什么区别？

定义3：使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫二元

x-a

一次方：程的解，记为

y=b

师那么什么是二元一次方程组的解呢？

学生讨论达成共识：二元一次方程组的解必须同时满足方程组

中的两个方程.即：既是方程①又是方程②的解.

定义4：二元一,次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方

程组的1W.

比・如:从方案一我们知道，,<=23,y=12使方程组中每一个方通过对比，让学生体

程成立所以我们把x=23,y=12n“做脸到从算术方法到

代数方法是一种进

x+y=35x=23

的解记为：・步.而当我们遇到求

2x+4y=9,4y-12

多个未知量，而且数

注意：二元一次方程组的解是成对出现的，用花括号来连接，量关系较复杂时，列

表示“且”.二元一次方程组比

议一议：将上述“鸡兔同笼”问题的三种方案进行优劣对比，列一元一次方程容

你有哪些想法呢？易，它大大减轻了我

们的思维负担.

例1下列各对数值中是二元一次方程x+2y=2的解是本例先检验二元一

（）

次方程的解，再检脸

x-2fx=—2fx=0[x——1

A4B《C《D《二元一次方程组的

y=0[y=2[y=1[y=0解，符合从简单到复

解法分析：

杂的认知规律.使学

将A、B,C,D中各对数值逐一代人方程检验是否满足方程，选

生更深刻地理解二

A,B,C.

元一次方程组的解

变式：其中是二元一次方程组+2,y=2解是（）

巩固新知的概念.

2x+y=-2

解法分析：

在例1的基础上，进一步检验A、B、C中各对值是否满足方程目的在于培养分析

2x+y=-2,使学生明确认识到二元一次方程组的解必须同时满足等量关系并列方程

两个方程.组的能力；培养观察

估算能力；使学生进

例2（教材102页练习）

一步熟悉二元一次

解答过程略

方程组及其解的概

在学生畅所欲言话收获的基础上，通过老师进行补充的方式进

行.发挥学生主体意识，

本节课学习了哪些内容？你有哪些收获？

小结提高培养学生归纳小结

（什么叫二元一次方程？什么叫二元一次方程组？什么叫二

元一次方程组的解？）的能力。

1、必做题：教科书102页习题8.1第1、2题.

2、选做题：教科书102页习题8.1第3题.

3、备选题：

（1）根据下列语句，列出二元一次方程：

①甲数的•半与乙数的士的和为11

3

②甲数和乙数的2倍的差为17

布置作业（2）方程x+2y=7在自然数范围内的解（）

A有无数个B有一个C有两个D有三个不同层次的学生根

（3）若mx+y=l是关于x,y的二元一次方程，那么m据自身的需要选择

的值应是（）

不同的备用题，实现

A.mWOB.m=0C.m是正有理数D.m是负有理数

不同的人在数学上

（4）李平和张力从学校同时出发到郊区某公园游玩，两人从出发

到回来所用的时间相同，但是，李平游玩的时间是张力骑车时间的获得不同的发展的

4倍，而张力游玩的时间是李平骑车时间的5倍，请问他俩人中谁教学理念.

骑车的速度快？

本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）

本课的设计是从提出“鸡兔同笼”的求解问题人手，激发学生的学习兴趣与民族自豪感，让学生经历

从不同角度寻求不同的解决方法的过程，体现出解决问题策略的多样性，激发了学生的学习兴趣.以算

术的方法衬托出方程解法的优越性，以列一元一次方程解法衬托出列二元一次方程组解法的优越性，更

使学生感到二元一次方程组的引人顺理成章.

本课内容是在学生已经掌握了一元诙方程的基础知识，初步具有提取数学信息、解决实际问题的

能力后展开的.根据建构主义理念，学生完全有能力利用自己原有的知识去同化新知识，主动地将其纳

人自己的知识体系中.所以本课的通篇整体设计，突出了一元一次方程的样板作用，让学生在类比中，

主动迁移知识，建立起新的概念.使得基础知识和基本技能在学生头脑中留下较深刻的印象是很有必要

的。

课题：8.2消元(1)

1、使学生学会用代人消元法解二元•次方程组；

教学目标2、理解代人消元法的基本思想体现的化未知为已知的化归思想方法；

3、逐步渗透矛盾转化的唯物主义思想.

教学难点代入消元法的基本思想。

知识重点用代入法解二元一次方程组。

教学过程(师生活动)设计理念

播放学生篮球赛录像剪辑.

体育节要到了.篮球是初一(1)班的拳头项目.为了取得好名次，

他们想在全部22场比赛中得到40分.已知每场比赛都要分出胜负，胜问题情境是

队得2分，负队得1分.那么初一(1)班应该胜、负各几场？学生喜闻乐见的

创设情境你会用二元一次方程组解决这个问题吗？体育活动，增强

引入课题根据问题中的等量关系设胜x场，负y场，可以更容易地列出方程.求知欲，对所学

知识产生亲切

x+y=20

感。

2x+y=40

那么有哪些方法可以求得二元一次方程组的解呢？

1、引导：什么是二元一次方程组的解？(方程组中各个方程的公共解)

满足方程①的解有：

x-21x=20x=19(x=18/x=17

y=1[x=2[x=3[x=4[y=5

可以采用观察与

满足方程②的解有：估算的方法.但

很麻烦，故引发

x=19卜=18fx=17[x=16

学生产生寻找新

y-21y=41y=61y=6

方法的需求.

'x一]8

这两个方程的公共解是《一

y=4

探究新知以退为进的思

2、师：这个问题能用一元一次方程来解决吗？想.

学生思考并列出式子.

设胜x场，负(22-x)场，解方程

2x+(22-x)=40③

解法略.重视知识的

观察：上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？发生过程，让学

若学生还是感到困难，教师可通过提问进一步引导.生了解代入消元

(1)在•元一次方程解法中，列方程时所用的等量关系是什么？法解二元一次方

(2)方程组中方程②所表示的等量关系是什么？程组的过程及依

(3)方程②与③的等量关系相同，那么它们的区别在哪里？据.体会未知向

(4)怎样使方程②中含有的两个未知数变为只含有一个未知数呢？已知，陌生向熟

结合学生的回答，教师做出讲解.悉转化这一重要

由方程①进行移项得y=22-x,思想一化归思

由于方程②中的y与方程①中的y都表示负的场数，故可以把方程想.

②中的y用(22-劝来代换，

即得2x+(22—x)=40.由此一来，二元化为一元了.

解得x=18.

问题解完了吗？怎样求y

将x=18代入方程y=22—x,得y=4.

能代入原方程组中的方程①②来求y吗？代入哪个方程更简便？

屋一18

这样，二元一次方程组的解是4一

(7=4

归纳：这种通过代入消去一个未知数，使二元方程转化为元方程，

从而方程组得以求解的方法叫做代入消元法，简称代入法.(板书课题)

例1用代入法解方程组