山东省青岛市经济技术开发区第三中学高三数学理摸底试卷含解析

山东省青岛市经济技术开发区第三中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=2x+x+1，g（x）=log2x+x+1，h（x）=log2x﹣1的零点依次为a，b，c，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c参考答案：A【考点】函数零点的判定定理．【分析】分别求三个函数的零点，判断零点的范围，从而得到结果．【解答】A解：令函数f（x）=2x+x+1=0，可知x＜0，即a＜0；令g（x）=log2x+x+1=0，则0＜x＜1，即0＜b＜1；令h（x）=log2x﹣1=0，可知x=2，即c=2．显然a＜b＜c．故选A．2.若直线上存在点满足约束条件，则实数的最大值为（

）(A)

-1 (B)

1

(C)

(D)2参考答案：B3.若函数f（x）=sin2x﹣cos2x，则将f（x）向右平移个单位所得曲线的一条对称轴方程为(

)A．x= B．x= C．x= D．x=π参考答案：A【考点】两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用两角和的差的正弦公式化简f（x）的解析式、再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），则将f（x）向右平移个单位所得图象对应的函数的解析式为y=2sin=2sin（2x﹣），则由2x﹣=kπ+，k∈Z，求得x=+，故所得图象的一条对称轴方程为x=，故选：A．【点评】本题主要考查两角和的差的正弦公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．4.若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．参考答案：C5.设，若，且，则的取值范围是

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：A略6.函数与(且)在同一直角坐标系下的图象可能是

参考答案：D略7.已知偶函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且当，则关于x的方程在上根的个数是A.4个

B.6个

C.8个

D.10个参考答案：D8.

曲线的对称中心的直角坐标是（

）A．（3，2）

B.(2,3)

C.(-3,2)

D.(-3,-2)参考答案：C9.已知（e为自然对数的底数），，直线l是与的公切线，则直线l的方程为（

）A．或

B．或C．或

D．或参考答案：C设切点分别为、，，整理得解得或，所以切线方程为或，故选C.10.函数的部分图象大致为(

)A．

B．

C.

D．参考答案：A设，由得，则函数的定义域为．∵，∴函数为奇函数，排除D．又，且，故可排除B．，且，故可排除C．选A．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数在区间内恰有9个零点，则实数的值为

参考答案：由，得，即．设，令，则．考察的函数的零点个数，即如下图所示为，的图象，易知：（1）方程的一个根为1，另一个根为时，在内有三个零点，此时，解得；（1）方程的一个根为－1，另一个根为时，在内有三个零点，此时，解得．综上可知当时，在内有3个解．再由可知，．综上可知，．12.如果函数的图象过点且．那么

；

．参考答案：1，0考点：函数的奇偶性由已知，所以，所以，

而，所以，

所以13.已知，若方程有2个不同的实根，则实数m的取值范围是

.(结果用区间表示)参考答案：(－∞,)14.能说明“若对于任意的都成立，则在上是减函数”为假命题的一个函数是________.参考答案：答案不唯一，如【分析】根据对基本函数的理解可得到满足条件的函数.【详解】由题意，不妨设，则在都成立，但是在是单调递增的，在是单调递减的，说明原命题是假命题.所以本题答案为，答案不唯一，符合条件即可.【点睛】本题考查对基本初等函数的图像和性质的理解，关键是假设出一个在上不是单调递减的函数，再检验是否满足命题中的条件，属基础题.

15.在△ABC中，若a=3，b=，∠A=，则∠C的大小为_________。参考答案：在△ABC中，利用正弦定理，可得，所以。再利用三角形内角和，可得．16.已知a∈(，)，sinα=，则tan2α=

参考答案：.法一：本题主要考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的正切公式，难度较低.

因为，，所以，即

所以.法二：，，由三角函数定义，，，，，所以，所以.17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．参考答案：﹣【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA=的值．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c=a①，2sinB=3sinC，∴2b=3c②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得cosA===﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（Ⅰ）函数在处取得极值，求（Ⅱ）当时，试比较与1的大小；（Ⅲ）求证：参考答案：解析：（Ⅰ），定义域是，，令，解得---------3分

（Ⅱ）当时，，定义域为．

令，

，

在上是增函数．

………7分①当时，，即；②当时，，即；③当时，，即．

……………7分（Ⅲ）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．令，则有，

．…………10分，．

………12分（法二）当时，．，，即时命题成立．

…………7分设当时，命题成立，即．时，．根据（Ⅱ）的结论，当时，，即．令，则有，则有，即时命题也成立．………11分因此，由数学归纳法可知不等式成立．

………12分（法三）如图，根据定积分的定义，得．，．

………………12分，又，，……12分．．

…………………12分略19.

为了倡导健康、低碳、绿色的生活理念，某市建立了公共自行车服务系统鼓励市民租用公共自行车出行，公共自行车按每车每次的租用时间进行收费，具体收费标准如下：

①租用时间不超过1小时，免费；

②租用时间为1小时以上且不超过2小时，收费1元；

③租用时间为2小时以上且不超过3小时，收费2元；

④租用时间超过3小时的时段，按每小时2元收费（不足1小时的部分按1小时计算）

已知甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5，租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.5和0.3.

（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付租车费之和为随机变量，求的分布列和数学期望E参考答案：解：(Ⅰ)根据题意，分别记“甲所付租车费0元、1元、2元”为事件A1，A2，A3，它们彼此互斥，且,分别记“乙所付租车费0元、1元、2元”为事件B1，B2，B3，它们彼此互斥，且.

2分由题知，A1，A2，A3与B1，B2，B3相互独立， 3分记甲、乙两人所付租车费相同为事件M，则M=A1B1+A2B2+A3B3，所以P(M)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=0.4×0.5＋0.5×0.3＋0.1×0.2=0.2＋0.15＋0.02=0.37; 6分(Ⅱ)据题意的可能取值为：0,1,2,3,4, 7分;

;

;

; . 10分 所以的分布列为：01234P0.20.370.280.130.02的数学期望,………11分答：甲、乙两人所付租车费相同的概率为0.37，的数学期望E=1.4.

…………12分

20.已知等差数列{an}的公差不为零，且a3=5，a1，a2．a5成等比数列（I）求数列{an}的通项公式：（II）若数列{bn}满足b1+2b2+4b3+…+2n﹣1bn=an且数列{bn}的前n项和Tn试比较Tn与的大小．参考答案：考点：数列的求和；不等关系与不等式；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）利用等差数列的通项公式和等比中项的定义即可得到首项和公差，即可得到通项公式；（Ⅱ）由（I）可得：an=2n﹣1，由b1+2b2+4b3+…+2n﹣1bn=an，及b1+2b2+4b3+…+2，两式相减可得，利用等比数列的前n项和公式即可得到Tn，与比较即可．解答：解：（Ⅰ）在等差数列中，设公差为d≠0，由题意，∴，解得．∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）∵b1+2b2+4b3+…+2n﹣1bn=an，①b1+2b2+4b3+…+2，②②﹣①得2nbn+1=2，∴．当n=1时，b1=a1=1，∴，当n=1时，T1=a1=1，，此时．当n≥2时，Tn=1+==．又＞n+1，∴，．∴当n=1时，，当n≥2时，．点评：熟练掌握等差数列的通项公式和等比中项的定义、等比数列的前n项和公式、二项式定理是解题的关键．21.已知向量向量与向量的夹角为，且。（1）求向量；

（2）若向量与共线，向量，其中、为的内角，且、、依次成等差数列，求的取值范围．参考答案：解：（1）设.由，得①………2分又向量与向量的夹角为，得②……………4分由①、②解得或，或.………………5分（2）向量与共线知；…………