河南省洛阳市2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题(含答案)

河南省洛阳市2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写答题卡上。2.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知某次降雨过程中,洛阳市区降雨量(单位:与时间(单位:的函数关系可近似表示为,则在时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬时变化率)为A. B. C. D.2.用0,1,2,3,4这五个数字组成没有重复数字的三位数,其中奇数共有A.48个 B.24个 C.18个 D.12个3.函数的大致图象是A. B. C. D.4.A. B. C. D.5.已知函数,则A.10 B. C.12 D.14.6.洛阳市牡丹文化节期间,5名志愿者准备到3个博物馆参加志愿服务,若每个博物馆至少接受1名志愿者,则不同的分配方案有A.90种 B.150种 C.240种 D.300种7.已知奇函数及其导函数的定义域均为,若,则A. B.0 C. D.18.已知,则A. B. C. D.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求，全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9.对于的展开式,下列说法正确的是A.展开式共有6项 B.展开式中的常数项是20C.展开式中各项系数之和为0 D.展开式中的二项式系数之和为6410.已知函数,则下列结论正确的是A.是函数的极大值点 B.的单调增区间是C.当时,直线与函数的图象有3个交点D.若函数在区间上,对为一个三角形的三边长,则称函数为“三角形函数”.已知函数在区间[0,1]上是“三角形函数”,则实数的取值范围为11.5名同学站成一横排照毕业照,下列说法正确的是A.甲不排在最中间,则不同的排法有72种 B.甲乙不相邻,则不同的排法有72种C.甲乙必须相邻,且甲在乙的右边,则不同的排法有72种D.甲乙立三人中有且仅有两人相邻,则不同的排法有72种12.已知,则使恒成立的值可以是A. B.2 C.4 D.5三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在的展开式中,的系数为_________________.14.曲线在点处的切线方程是_________________.15.已知正四棱锥,从底面四个顶点A,B,C,D和四条侧棱的中点共8个点中任选4个作为三棱锥的顶点,可得三棱锥_________________个.(用数字作答)16.已知函数,直线,若满足点在直线上方的正整数恰有一个,则实数的取值范围是_________________.四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)(1)计算:;(2).18.(12分)已知斜率为1的直线与曲线相切.(1)求直线的方程;(2)若直线分别交曲线和于M,N两点,求的面积的最大值.(其中0为坐标原点)19.(12分)已知的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等.(1)求展开式的通项公式和中间一项;(2)设,求.20.(12分)已知函数.(1)当时,求的单调区间;(2)讨论函数在区间内的零点的个数.21.(12分)已知.(1)当时,求函数的最值;(2)若,求实数的取值范围.22.(12分)给定函数.(1)判断函数的单调性,并求出函数的极值;(2)证明:当时,.洛阳市2023——2024学年第二学期期中考试高二数学试卷参考答案一、单项选择题1-4ACBD 5-8BBCA二、多项选择题9.CD 10.ABD 11.BD 12.ABC三、填空题13.112 14. 15.58 16.四、解答题17.解:(1)……..3分.…..5分…..8分.….10分18.解:(1)设切点为,因为,所以切线的斜率,解得,…..2分此时,即切点为,………………..4分所以切线的方程为,即.………………..6分(2)因为分别交曲线和于点M,N,所以.因为,则,所以.………………..7分此时的面积,,令,得,………………..9分当时,单调递增,当时,单调递减,………………..11分所以当时,有最大值且.………………..12分19.解:(1)因为,所以,解得.………………..2分的展开式的通项………………..3分,………………..5分令,展开式的中间一项为.………………..7分(2)因为,所以.………………..9分的展开式的通项,令,……………….10分令……………….11分则.…………….12分20.解:(1)当时,…………….1分令,得或；令,得或;令,得或;………….3分则函数的单调递增区间为和,单调递减区间为.………………4分(2)由,得.……………5分设函数.讨论函数在区间内的零点个数等价于研究函数与直线在区间内的交点的个数.由知,…………6分当时,单调递减;当时,单调递增.当时,在区间内取最小值.…………………8分又,且当时,,…………………9分综上,当时,函数与直线在区间内无交点,函数在区间内无零点;当或时,函数与直线在区间内有一个交点,函数在区间内有一个零点;………………12分21.解:(1)由,得.……………1分令,解得.当时,单调递减,当时,单调递增.当时,有极小值,即最小值.……………3分又综上,当时,有最大值,最大值为0,当时,有最小值,最小值为-1.………………………5分(2)当时,.即当时,.令函数.则当时,.故.即.……………6分下证时,恒成立.设，则,①当时,设,,由知,即在上单调递增,且,故在上单调递减.即.……………8分②当时,由知.即在上单调递增,即.…………10分此时由得.……………11分综上,实数的取值范围是.…………12分22.解:(1)函数的定义域为..………………………1分令,解得.当变化时,的变化情况如下表-0+单调递减极小值单调递增……3分在区间上单调递减,在区间上单调递增,当时,有极小值.……………………4分(2)要证明当时,,即证明当时,.令函数.则.………………5分当时,.设函数.则,故在上单调递增.又所