高二数学下学期期中押题试卷01（测试范围：数列、导数、计数原理、概率、统计）解析版

2023-2024学年高二数学下学期期中押题试卷01本套试卷根据九省联考题型命制，题型为8+3+3+5模式一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则P(B|A)=()【分析】条件概率，先求出A事件数，再求出B事件数，利用古典概型概率公式求解.故选：A.【点评】本题考查统计与概率，条件概率的计算，属于基础题.2．曲线y=ex在点(0,1)处的切线方程为()【分析】根据导数的几何意义，直线的点斜式方程即可求解.【解答】解：∵y=f(x)=exf,(x)=ex，：曲线y=ex在点(0,1)处的切线方程为：故选：C.【点评】本题考查导数的几何意义，直线的点斜式方程，属基础题.3．随机变量X的取值范围为0，1，2，若P(X=0)=,E(X)=1，则D(X)=()【分析】设P(X=1)=p，P(X=2)=q，则由P(X=0)=，E(X)=1，列出方程组，求出p，q，由此能求出D(X).【解答】解：设P(X=1)=p，P(X=2)=q，又12 1,422故选：C.【点评】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.4．在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站一次只能停靠一辆汽车有一位乘客在等候第4路或第8路公共汽车．假定当时各路汽车首先到此站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于()A. 12B.23C.35D.25【分析】由已知中在1，3，4，5，8五条线路的公交车都停靠的车站上，试验发生所包含的事件是五路车都有可能靠站，共有5种结果，满足条件的事件是乘客在等候第4路到概率.【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件是五路车都有可能靠站，共有5种结果，满足条件的事件是乘客在等候第4路或第8路，有2种结果，：要求的概率是故选：D.2【点评】本题考查的知识点是等可能事件的概率，其中根据已知条件计算出基本事件的总数及满足条件的基本事件的个数，是解答本题的关键.5．已知随机变量X~N(3,O2)，P(X1)=0.2，则P(1X5)=()【分析】由正态分布的性质计算即可得.【解答】解：由X~N(3,O2)，P(X1)=0.2，则P(X5)=0.2，故P(1X5)=1P(X1)P(X5)=12x0.2=0.6.故选：C.【点评】本题考查正态分布的性质，属于基础题.6．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为()C．CACAD．AA【分析】分两步进行：先选出两名男选手，再从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对.【解答】解：分两步进行：第一步，选出两名男选手，有C种方法；第二步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有A种.故有CA种.故选：B.【点评】本题考查了排列组合数公式的应用问题，是基础题.7．已知函数f(x)的导函数为f,(x)，且f(x)=一f,(3)lnx一f(1)x2一4x，则f(x)的极值点为()【分析】解得f（1f,（3进而可得f(x)的解析式，求导分析单调性，极值，即可得出答案.【解答】解：因为f(x)=一f,（3）lnx一f（1）x2一4x，x>0，所以f(x)=一f,（3）lnx+2x2一4x，解得f,（3）=7，+2x24x，所以f,(x)=一+4x4=4x2x3=(2x+12x3)，令f,(x)=0得x=一（舍去）或x=，所以在(0,)上f,(x)<0，f(x)单调递减，在(，+构)上f,(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)的极值点为x=故选：D.3.2【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题.A．56B20C4D3【分析】根据f(x)在[一1，2]上单调性求出最值即可.f,(x)<0，f(x)单调递减；当1<x<2，13所以13故选：C.f43,(x)>0，f(x)单调递增，,【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9．以下有关直线拟合效果的说法正确的是()A．通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本点的中心(x,y)B．相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱C．最小二乘法求回归直线方程，是求使(yi一bxi一a)2D．R2越接近1，表明直线拟合效果越好【分析】根据已知条件，结合线性回归方程的性质，以及相关系数的定义，即可依次求解.22【解答】解：对于A，线性回归直线一定经过样本点的中心，故A正确；对于B，相关系数r的绝对值越小，则两个变量相关性越弱，故B错误；对于C，最小二乘法求回归直线方程，是求使(yi-bxi-a)2最小的a，b的值，故C正确；对于D，R2越接近1，表明直线拟合效果越好，故D正确.故选：ACD.【点评】本题主要考查线性回归方程的性质，属于基础题.10．已知二项式(3x-1)n的展开式中各项的系数的和为128，则下列结论中正确的有()A．展开式共有7项B．所有二项式系数的和为128C．只有第4项的二项式系数最大D．展开式的常数项为-1【分析】根据已知条件，结合二项式定理，即可依次判断.【解答】解：二项式(3x-1)n的展开式中各项的系数的和为128，n所有二项式系数的和为27=128，故B正确；第4项、第5项的二项式系数最大，故C错误；(3x-1)7的展开式通项公式为：Tr+1=C(3x)7-r(-1)r，0r7且reN，故展开式的常数项为C(-1)7=-1，故D正确.故选：BD.【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题.11．有款小游戏，规则如下：一小球从数轴上的原点0出发，通过扔骰子决定向左或者向右移动，扔出骰子，若是奇数点向上，则向左移动一个单位，若是偶数点向上，则向右移动一个单位，则扔出n次骰子后，下列结论正确的是()A．第二次扔骰子后，小球位于原点0的概率为 132B．第三次扔骰子后，小球所在位置是个随机变量32C．第一次扔完骰子小球位于一1且第五次位于1的概率D．第五次扔完骰子，小球位于1的概率大于小球位于3概率【分析】计算出小球每次向左向右的概率后，结合概率公式与期望算法逐个计算即可得.【解答】解：扔出骰子，奇数点向上的概率为，偶数点向上的概率亦为；对于选项A：若两次运动后，小球位于原点，小球在两次运动之中一定一次向左一次向右，故其概率为C()2=，故A选项正确；对于选项B，设这个随机变量为X，则X的可能取值为一3、一1、1、3，对于选项C：第一次扔完骰子小球位于一1，即第一次向右移动，且第五次位于1，则后续中小球向右3次，向左1次，故其概率为C()4=，故C选项错误；5对于选项D：第五次扔完骰子，小球位于1，即两次向左，三次向右，故其概率p1=C5小球位于3，则四次向右，一次向左，故其概率p2=C()5=，有p1>p2，故D选项正确.故选：AD.【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．(2x2)5的展开式中常数项是10以数字作答）【分析】根据已知条件，结合二项式定理，即可求解.【解答】解：(一2x2)5的展开式的通项公式为：C()5r(2x2)r=C(2)rx，【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题.82(x2)22，由此可得解.82故答案为：2555.【点评】本题考查二项式定理以及赋值法的运用，考查运算求解能力，属于基础题.14．为了迎接期中考试，某同学要在周日上午安排五个学科的复习工作，为提高复习效率，数学学科的复习时间不安排在早晨第一科，并且数学和物理两科的复习时间不连在一起，那么五个学科复习时间的顺序安排总共有54种（用数字作答）.【分析】考虑物理的安排，物理安排在第一科复习或物理不安排在第一科复习，分类讨论，分别求出每一类里的安排方法，根据分类加法计数原理可得答案.【解答】解：根据物理复习时间的安排分为以下两类第一类，物理安排在第一科复习，第二科不能为数学，数学安排在后面三科有3种安排方法，其余三科有A种安排，共有3xA=18种；第二类，物理不安排在第一科复习，因为第一科也不能安排数学，故第一科可安排其余三科中的一科，有3种安排方法，剩下四科中数学和物理采用插空法，有AA种安排，共有3xAA=36种，两类相加，共有18+36=54种安排方法.故答案为：54.【点评】本题考查了排列数的应用问题，是基础题.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.151）将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法？（2）将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法？（3）将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法？（4）将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法？（注：要写出算式，结果用数字表示）【分析】（1）先将5个不同的小球分为三组，确定每组小球的数量，然后将三组小球放入三个盒子，结合分步计数原理可得结果；（2）确定每个小球的放法种数，利用分步乘法计数原理可得结果；（3）只需在5个相同的小球中间所形成的4个空位中插入2块板即可，利用隔板法可求得结果；（4）问题等价于在8个相同的小球中间所形成的7个空位中插入2块板即可，利用隔板法可求得结果.【解答】解1）将5个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为2、2、1或3、1、1，然后再将这三组小球放入三个盒子中，因此，不同的放法种数为(+C)A=(15+10)x6=150种；（2）每个小球有3种方法，由分步乘法计数原理可知，将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，不同的放法种数为35=243种；（3）将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，只需在5个相同的小球中间所形成的4个空位中插入2块板即可，所以，不同的放法种数为C=6种；（4）将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，等价于将8个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，只需在8个相同的小球中间所形成的7个空位中插入2块板即可，所以，不同的放法种数为C=21种.【点评】本题考查排列组合的应用，属于基础题.16．2023年3月的体坛属于“冰上运动”，速滑世锦赛、短道速滑世锦赛、花滑世锦赛将在荷兰、韩国、日本相继举行．中国队的“冰上飞将”们将在北京冬奥会后再度出击，向奖牌和金牌发起冲击．据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加2023年3月10日~12日在首尔举行的短道速滑世锦赛5000米短道速滑男子5000米接力的角逐．接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中34获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和一p，其中0<p<34（1）甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；（2）若甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为，求p的值；（3）在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为ξ,求ξ的分布列?【分析】（1）根据概率乘法公式，结合配方法进行求解即可；（2）根据概率的加法公式和乘法公式进行求解即可；（3）根据概率的乘法公式进行求解即可.【解答】解1）甲队进入决赛的概率为x=，乙队进入决赛的概率为x=，所以p(p)<，显然乙队进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大.（2）因为甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为，所以有xx(1p(p)]+(1)xx[p(p)]+x(1)x[p(p)]=，（3）由题意可知：甲、乙、丙三队进入决赛的概率分别为、、，ξ的可能取值为0、1、2、3，所以ξ的分布列为：ξ0123P 44513 16【点评】本题考查相互独立事件的乘法公式，考查离散型随机变量的分布列，是中档题.【分析】（1）根据数列{an}的前n项和作差，可求出数列{an}的通项公式，再根据数列{bn}的递推公式，构造等比数列，可求出数列{bn}的通项公式；（2）根据错位相减法求和，即可求解.nnSn1nn+1(n2,nEN*)，n1nnnnn，23n①,23423n+1(n【点评】本题考查数列通项公式的求解，等比数列的定义与通项公式的应用，错位相减法求和的应用，属中档题.(Ⅰ)求f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程；(Ⅱ)求证：f(x)一1；(Ⅲ)若函数h(x)=af(x)+(aER)无零点，求实数a的取值范围.【分析】(I)求出导函数，计算f（1fI（1从而可得切线方程；(Ⅱ)利用导数求出f(x)的最大值，即可得证；(Ⅲ)对h(x)求导，对a分类讨论，结合题意即可求解a的取值范围.【解答】解：(I)f(x)=lnx一x，则f,(x)=一1=1x，所以f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程y=一1.(Ⅱ)证明：f(x)=lnx一x的定义域为(0,+构)，f,(x)=1x，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+构)上单调递减，当x=1时，f(x)取最大值，所以f(x)f（1）=一1，所以f(x)一1.(Ⅲ)因为h(x)=a(lnx一x)+，h(x)在定义域上无零点；,,e所以h(x)在定义域上无零点.【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的最值，考查不等式的证明，函数零点个数问题，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题.（1）当a=2时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；（2）当a>0时，函数f(x)在区间(0,)内有唯一的极值点x1.(ⅰ)求实数a的取值范围；(ⅱ)求证：f(x)在区间(0,π)内有唯一的零点x0，且x0<2x1.【分析】（1）f(x)=2ex一sinx一2，利用导数的运算法则可得f,(x)，可得切线斜率f,(0)，利用点斜式可得切线方程.（2）(ⅰ)f,(x)=aex一cosx，对a分类讨论，利用函数的单调性，根据函数f(x)在区间(0,)内有唯一的极值点x1，即可得出a的取值范围.(ⅱ)由(ⅰ)知0<a<1，当xE[,π)时，f,(x)=aex一cosx>0，结合f,(x)的单调性与函数零点存在定理可得：f(x)在(x1，π)上有唯一零点x0，f(2x1)=ae2x