【中学数学中不等式问题的求解方法浅论9100字（论文）】

引言不等式是数学基础知识的重要组成部分之一。它能作为数学模型来刻画现实世界中的不等关系，还能反映事物在量上的区别，所以说不等式是数学知识的重要组成部分，是研究数量的大小关系所必须的知识，是进一步学习数学和其他学科的基础和工具。在中学数学中，不等式的知识主要用以解决不等式的证明、解不等式及应用不等式三类问题。不等式具有很强的工具性，因为数学学科中的很多其他问题的解决都会用到不等式。如求函数的定义域、值域，确定函数的最大值和最小值，求数列项的最值与前n项和的最值，求直线的斜率k或二次曲线离心率e的范围，求空间线线、线面、面面之间的距离或交角的范围，几何体的表面积或体积的范围，概率的范围等，这些问题的解决都会用到不等式知识；同时，不等式在物理学等其他学科中也有广泛的应用。不等式问题中蕴涵了很多数学思想方法。而数学思想方法是数学知识的精髓，是联系各部分的纽带，是求解的“指南针”。要想更好的解决数学问题就要熟练掌握数学思想方法，因而学好不等式知识是非常必要的。1不等式的性质①如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b；（对称性）②如果a＞b，且b＞c，则a＞c；（传递性）③如果a＞b，则a﹢c＞b﹢c；（可加性）④如果a＞b，c＞d，则a﹢c＞b﹢d；⑤如果a＞b，c＞0，则ac＞bc；如果a＞b，c＜0，则ac＜bc；⑥如果a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；⑦如果a＞b＞0，则an＞bn（n∈N+⑧如果a＞b＞0，则na+＞nb+（n∈N不等式的性质是不等式知识的核心内容，一切不等式问题的解决都依赖于不等式的性质，所以学好不等式的关键就是学好不等式的性质。2不等式求解的常见方法2.1换元法通过对所证不等式添设辅助元素，使原来的未知量（或变量）变换成新的未知量（或变量），从而更容易达到证明的目的，这种证明不等式的方法称之为换元法。换元法常用来证明条件不等式，换元法中的元素包括三角和代数。该不等式证明法的证明过程为：1.分析不等式的本质特性，巧妙换元；2.换元后，验证不等式；3.求解后，将之前的不等式导入。2.1.1代数换元如果代数式的结构比较特殊，可以利用代数换元法证明，通过代换，将不等式中的复杂元素转换为已知变量，能够快速、准确的验证不等式的正确性。例1设求证：.求解：通过观察可发现，如果将中的任何两个转换，不影响不等式结果，表明该不等式是对称不等式，假设可将不等式转换为：这种不等式比较简单，和已知不等式紧密相关，所以可通过换元法来验证不等式:证明：令,可得：,时,；若,则(可判定中一定存在两个负数，可设,,可得,发现是不合理的),所以,,以上可知：将导入上述公式得:2.1.2三角换元三角换元需要注意使用正确的换元方法，熟悉三角函数的诱导公式，理解三角函数的有界性理论。如果不等式中包含根式或绝对值符号，一般采用三角换元法验证，这样能将不等式转换成已知的三角函数值域求解公式。在假设之间，首先要找出值域的关联，是否需要去除根号。设变量x、y满足公式，那么可运用三角代换法将、代入，将公式转换为三角函数。例2若求证：。求解：因为知点在圆的内部或边缘，可使用三角变换法：.证明：当时,有2.2放缩法放缩法是指在证明不等式时，剔除部分正数项或负数项，使不等式的其它项变大或变小；或将分式中的分子或分母放大或缩小，以方面不等式求解。在证明步骤中，通过合理的放缩，能够将复杂的项转化为简单易算的项，提升了证明效果。需要掌握的是放缩技巧，如果合理的放缩范围，如果放缩范围过大或过小，容易导致结论错误或现象相反。所以放缩法的使用难度较大，首先要明确放缩目标项，但要想以找出科学的放缩目标，必须分析欲证结论，找出命题的特征，领悟放缩技巧，能够灵活应用，针对不同命题的不等式，选用合适的放缩方式。2.2.1添加或舍弃一些正项（或负项）如果增设某个正值到多项式中，多项式的数值增大，相反，增设某个负值到多项式中，多项式的数值减小，可根据不等式的实际类型，适当的增设或去掉部某一项，使不等式两侧的数值发生变化，利用不等式的传递特性，完成不等式求解。例3已知求证：证明： 该命题缩小的对象为，这时分式值和之前比较小，但公式得到简化。2.2.2先放缩再求和（或先求和再放缩）如果变量同时存在于分子分明中，，需要将其中一个变量转变为常量。对分式放缩时，一般选择数值为正的分子或分母，如果需要将对象放大，那么可将分母缩小，也可将分子适当放大；同理，如果需要缩小，可对应的缩小分子或放大分母。放缩前要先确定命题的本质特性，再确定求和与放缩的顺序。例4:函数f（x）=，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+求解思路：观察发现不等式左边求和难度较大，可观察不等式右边的特性，选择将分子转换为常数，再讲分母适当放缩，达到求和的目的。证明：由f(n)==1-得f（1）+f（2）+…+f（n）>备注：该题将公式左边作为突破口，适当的放缩和变形，使其和公式右边的结构基本相同，进而获得求证结果。2.2.3先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）当不等式包含的分式比较复杂，难于处理时，可分析命题特性，对分式进行巧妙的放缩，方便后续的裂项，进而获得求证结果。例5设an=n，求证：eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1))eq\f(eq\r(k),eqa\o(2,k))＜3。证明：eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1))=eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1))＜1＋eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2))eq\f(1,eq\r((k－1)k(k＋1)))＜１＋eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2))eq\f(2,eq\r((k－1)(k＋1))(eq\r(k＋1)＋eq\r(k－1)))==1＋eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2))(eq\f(1,eq\r((k－1)))－eq\f(1,eq\r((k＋1))))=1＋1＋－－eq\f(1,eq\r((n＋1)))＜2＋＜3备注：该题首先将分母进行两次缩小，再进行裂项，后又采用放缩法，获得求证结果。2.2.4放大或缩小因式如果发现因式中含有变量，可根据命题特性，放缩因式中的部分项，使其转换为常数。例6假设满足求证：证明备注：该题将因式适当增大，将公式转换成便于求和的公式，进而获得求证结果。例7设求证：证明：∵∴∴，∴备注：该命题借助的特性，将中所有项均进行放缩，获得易于求和的数列，进而获得求证结果。2.2.5固定部分项，放缩其它项如果从整体上很难证明某个不等式，一般可选择固定某些项，通过放缩其他项的方式来简化公式，进而获得求证结果。例8求证：证明：备注：求解时，首先将第三项作为拆项目标，进行拆项缩放，可根据命题特征确定拆项，如果放的过宽或过窄，会影响求证结果。2.2.6利用基本不等式放缩如果不等式中包含比较特殊的项，我们可借助基础不等式对其进行缩放和求解。如。例9假设，证明：当为任意正整数时，不等式均成立.证明：假如，则因为，，所以，需要证明因为，所以命题是正确的。备注：本题通过放缩，将公式简化，借助基础不等式的特性，适当的放大以获取求证结果。2.3构造法构造法是指详细分析命题的条件和结论，找出命题的特性，将其和熟悉的数学模型相关联，再虚拟辅助项，如函数、图形、等价公式或方程，将公式转换成熟知的数学式，找出连接条件和结论的关联，进而求解不等式问题。构造法的运用和化归思想类似，其特征为明了、便捷、新颖、奇巧，创造性强，能够很好的解决数学不等式难题，2.3.1构造几何图形部分不等式用基础的代数方法验证显得比较复杂，假如能够认清不等式的本质特性，将不等式以几何图像的形式表现出来，将会使问题简单化。图形中能够看出题设条件和数量的关联，使人们能够更直观的发现条件和结论的本质特征。这种证明方法具有形象、详细、便捷的特点。利用几何图形构造法证明不等式的关键是巧妙的画出几何图形，用图形来展示不等式的特征，经常使用的几何理论有：三角形的大边对应的角最大，两个点之间的距离最短的线是直线，对三角形的任意两边求和均比第三边大。例10假设正数符合条件,求证：。求解：可认为，，代表3个长方形的面积，代表正方形的面积，图1为构造的3个矩形图形。证明：如图1，首先构建一个正方形，假设，，，，，构建矩形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。因为，求得图1构建几何图形的前提是明确代数式的几何特性，通过分析列出的条件和不等式的代数量，将其转换为一个图形的变量，构建出和条件相符的几何图形，再利用几何图形的特性来验证不等式问题。所以，必须熟练掌握函数图像、各种曲线图，这样才能在证明不等式时，能够灵活运用。2.3.2构造复数复数的特点是无大小之分，但复数的模型、虚项和实项均为实数，是有大小之分的，所以数的模型、虚项和实项一定存在某些不等关系，可通过复数构造法来证明不等式，具体步骤为：先观察不等式的特征和已知条件的关联，再构建复数，然后将其导入不等式中的复数模，再将模不等式转换为常规的线段或无理不等式，如果不等式中有平方和或算数根时，一般使用复数构建法，利用复数模的特征来验证不等式结果．例11假定，，，求证：．求解：观察求证公式结构发现其与复数模的特征相似。证明：首先构建复数模，，，则，，，，而，所以备注：复数构造法的使用范围较小，很多不等式都不能用复数构造法求解，一般在公式中有算术根或平方根出现时，才会联想到复数构造法。2.3.3构造定比分点假定、为直线上的任意两点，点为直线上的任意一点，且不和，重合，那么实数取某个数值时，必定能使成立，则称为分比值．可知，点是线段上的某一个点，；点出现在线段延长线上时，．假设直线为轴，，，对应的轴方向坐标分别为，，(这里)，那么当时，条件才会成立。如此，能够巧妙的将不等式证明问题转换为实数符号判定问题。例12求证：。分析：通过观察分析采用判别式法求解比较便捷，假如，，是有向线段的任意3点，可利用定比值来计算内、外分点，进而获取求证结果。证明：假定，，分别用点，，代替，为分有向线段比值，可得：，求得，或无解，因此点并非的外分点；若，；若，则；若无解，则．综上分析可得。2.3.4构造主元，局部固定有些不等式比较特殊，如果从宏观角度着手很难，且结论和条件中的变量较多时，可将某一变量作为主元，确保该变量值不变，通过主元来一步步验证不等式。步骤为：先确实某项变量不变，再分析其他变量和结果的变化，最后验证宏观问题的结果。例13假定，函数，求证：若，则。思路：遇到这种不等式，一般可用绝对值放缩法进行证明，也可换一种思路，运用主元构建法，把当作主元，将函数当作一次函数进行计算，可将原命题转换成：一次函数的最值大于等于。证明：假定，，若，则时，．证得成立。若，则可看作的一次函数，因此需要求证。由于，求得，；算得，因此，。求得，即。2.3.5构造概率模型概率论是数学的一门独特理论，能够阐释随机现象，这种理论比较全面，验证方法新颖，和其它学科有很大的关联。所以当遇到相关的数学不等式问题时，如果能够以题设条件为基础，构造出合适的概率模型，可将复杂的数学问题简单化，便于验证。这种求解方法的重点是寻找合适的概率模型，如果运用得当，它可以从不听角度反映问题的本质特征和数学的内在关联，使人豁然开朗。例14设，求证：。思路：分析得，从条件可推理，．因此可证明，或证明成立即可，可看出用概率模型构建法验证不等式更便捷。证明：假定和是两个互不关联的项，若，，则，得到．，所以，．算得，求得．如果不等式包含与，可根据概率特性对和加法方程或来求证，重点是求证式必须满足概率加法公式的条件。2.3.6构造方差模型方差(这里=，，，的平均数)，可体现一组数据中的某一个量的波动情况，方差公式为：分析得：(当且仅当时公式中的等号成立)，通过方差构造来变换公式，能够快速发现多个实数总和与其平方和之间的关联。例15已知，证明：．证明：若原不等式左边之和等于（），可求得，，，的方差为：，（）故．因为不存在，所以上式不存在相等关系。即时，证得原不等式成立。利用方差特性，构建方差模型，能够使无理不等式简单化，为后续的论证提供便利。2.3.7构造数列在解不等式时，通常会发现公式中包含多种变量，若能找准题目设定条件的性质，把部分变量转换成数列项，那么可利用数列中项的特性来梳理变量之间的关系，达到求解目的，可巧设等差或等比数列，把不等式所包含的某种或某几种变量用公差或公比代替，此时多元不等式可转换为一元不等式，使不等式证明变得更加容易。部分不等式中包含自然数元素，若把这些和自然数关联的变量转换成数列项，通过数列构建法，利用数列的特性来证明不等式。例16求证：．思路：此为证明不等式的一道题目，如果学生的思维一直停留在不等式领域，就不能很好的解决问题，可从不同角度对其进行分析，发现其和自然数的性质有关，由此，我们发现了求解它的两种方法，即数列构造法、数学归纳法，这里我们用数列构造法求解，为某一数列。证明：设，则=求得，，．征得原不等式成立。2.3.8构造向量向量具有图形和数列相互转换的特性，它能够有效的将数列和图形相结合，在证明部分不等式时，如果能掌握不等式的结论和条件性质，巧妙的将其和向量关联，使用向量的特性，如数量积公式，能有效的将复杂不等式求解变为熟知的求解，降低了求解难度。例17条件，，求证：。证明：设，，则，，。由，得向量构造必须建立在不等式的结构特征基础之上，要把握好构造技巧。2.3.9构造函数函数能够体现各变量之间的变化关系，能直观的揭示各变量之间的大小关系，在构造函数时，我们常会用到二次函数最值特性、函数的线性特性和函数的单调特性，若能分析出命题的条件和不等式结构的本质特征，巧妙的构建函数，能够使复杂的不等式变简单。使用函数构造法来证明不等式之间，首先要设立合适的函数模型，把需要证明的不等式转换为函数关系的不等式，寻找某一函数解析式中各变量的关系，进而求得函数解析式。（1）一次函数模型已知一次函数的图形，若,，那么时，一直成立。这种一次函数的这种特性叫做保号性，利用这种性质能够巧妙的证明相关的不等式。例18令、、，求证:。思路：现将不等式转换成，算得，可发现这是一种和相关的一次函数式。证明：利用函数构造法，令，若、、,则.由于，，因此,一次函数,若，则函数图像必定在轴的正数方，可知，当、、时，算得，即。以上案例可发现，用一次函数构建法证明不等式的过程，可分为以下几个步骤：①移动部分项，使不等式的右边=0；②对不等式左边的解析式进行整理，转换成有关变量的一次式；③首选确定的取值范围，计算与的大小，发现当时，的符号确定，得出不等式求证结果。利用一次函数特性证明不等式，就是把某个不等式求求解转换成解析式固定，变量的最值求求解，将复杂的公式简单化。（2）构造二次函数观察并分析所证不等式的条件和结论特性，巧妙构建二次方程，利用二次方程的判别式性质来完成不等式的求解。则一直成立的必要条件为，，利用函数的等价特性，我们可先将不等式转换，得到二次函数的判定公式，从而进行求解。例19令，求证：。思路：结论转换为，将公式左边看成主元为的二次函数（），然后进行验证。证明：设，由，可知。构建二次函数。算得对称轴。（1）若，时，f(x)在(0，)上的数值不断减小。算得=0（2）若，算得，可得以上可知，当时，一直成立,证得不等式成立。2.4数学归纳法在数学命题中发现含有n个自然数，假如：（1）当n取值为时，为使条件成立的整数最小值，可求证公式成立；（2）当n取值为k时，k为正整数，且大于等于，条件成立，可证时，公式成立。以上可确定，n为自然数时，该数学命题能够一直成立，此论证方法为数学归纳法。例20求证不等式(n∈N)．证明：①令n=1，求得公式左边值为1，右边值为2．左边小于右边，不等式得证。②令n=k，不等式仍然成立，得．则令n=k+1，得。说明当n=k+1时，不等式仍然成立，当n为自然数时，该数学命题能够一直成立，备注：求证重点是，当n=k+1时，需要证明的命题是：，将假设自然数代入，可证：。2.5几何法利用数形关系,掌握代数(三角)与几何的知识和方法,把一部分代数(或三角)不等式转化为几何问题,例如运用“两点间以连接这两点的直线段为最短的连线”、“三角形两边之和大于第三边”、“三角形大角对大边”等几何结论,证明不等式往往会比较方便,反之有些几何不等式也可以转化为代数或三角问题,迅速得到证明。例21已知是一个小于1的正数,证明证明：作边长为1的正方形,并用将他划分为四个矩形,使,则可根据三角形中两边之和大于第三边的道理,得到,（1）（2）（1）+（2）即得3中学不等式的求解技巧3.1不等式的反证求解技巧反证方式在解答不等式中使用得比较广泛，其是在正难则反的基础上形成的，将其使用在中学数学不等式的证明问题中有着很好的效果。反证能够对不等式相关的问题进行证明，让整个证明的过程更加的简单和便捷，以此来让不等式问题的解答更加高效。就以下面这道题目为例子：例22现在已知a+b+c＞0，abc＞0，ad+bc+ac＞0，请将以下a＞0，b＞0，c＞0进行证明。解析：通过对题目内容的详细分析，我们可以知道的是abc＞0，依据这个条件获得的信息就是a、b、c都不可能是0。若是a＜0，bc＜0，所以a+b+c＞0，而b+c＞-a，最终就能够得出a（b+c）＜0，而ab+bc+ca+a（b+c）+bc＜0，但是因为ab+bc+ca+a（b+c）+bc＜0这一条件本身与题目中的条件相互矛盾，所以这个假设是不成立的。因此，a＞0，并且b＞0，而c也大于0。在对这种不等式的问题进行证明和解答的时候，通常是使用一般的证明方式进行，其解答的过程也相对复杂，在解答的时候也容易发生一些失误而导致求解效率不高。因此，通过这种反证的方式反而会让整个求解过程更加的简单，同时也能够有效的提升不等式问题的解答效率。3.2不等式的换元求解技巧在对数学问题进行解答的时候，将其中的一个式子作为一个整体，使用一个变量将其替换，以此让问题更加的简单，这种方式就是换元法。换元的根本是在于转化，其中最重要的是构建元和设置元，换元法是在等量代换的基础上延伸的，其目的是将研究对象进行变换，把问题转移到新对象知识背景中进行分析，以此来让非标准的问题标准化，将复杂的问题简单化，让问题的解答更加简单。换元法也可以称之为辅助元素法，经过对新的变量进行引进，能把将分散条件综合在一起，将隐含其内的条件呈现出来，或者也能将条件与结论结合在一起，使其形成我们最熟悉的一种模式。换元法的方式有局部、三角和均值三种方式。局部换元是在已知或者是未知背景中，其中某个代数式几次出现，使用一个字母将其替代来对问题进行简化，有时候需要经过变形之后才能发现。比如在对4x+2x-2≥0这个不等式进行解答的时候，可以现将其变形，设2x=t，其中t大于0。通过这种我们比较熟悉的一元二次不等式可以进行正确的解答。而三角换元主要是使用在去除根号中，或者是将其变换成为三角式，以此将问题简化，主要是使用一直的代数和三角知识中的某个联系进行还原。换元法的运用能够让不等式问题的解答过程更加简单，就以下面这道题为例子：例23现在已知a>b>c，请试着证明：1/(a-b)+1/(b-c)≥4/(a-c)解析：令x=a-b，y=b-c，则a-c=x+y且x>0，y>0，因为原不等式转化为：1/x+1/y≥4/(x+y)因此，只要证明：(x+y)/x+(x+y)/y≥4，1+y/x+1+x/y≥4，并且证明y/x+x/y≥2，而y/x+x/y≥2恒成立，这样原始式子1/(a-b)+1/(b-c)≥4/(a-c)就能够得到正确的证实。在这道题的解答过程中，通过对换元法的使用，可以化简、化熟命题，把复杂的、不熟悉的命题化为简单的、熟悉的命题。这样就让整个求解过程更加的高效。3.3用不等式性质解答不等式使用不等式的相关性质对不等式问题进行解答是最基础的方式，在对中学不等式进行解答的过程中，很多题目经常会需要使用到不等式性质。例如不等式自身存在的传递性，也就是如过a＞b，b＞c，则a＞c。第二个总之是不等式有可加性，比如a大于b，则a+c＞b+c；第三个特点是如果a大于b，c大于0，则ac大于bc，以上这些都是不等式所存在的性质，利用这些性质对不等式问题进行解答也十分的有效。就以下面这道题为例：例24有n个圆，其中每2个圆都相交于两点，而每3个圆都不相交于同一个点，试证明这n个圆将平面分成f（n）=n2-n+2个部分。解析：这道题证明可以使用数学归纳法，在n=1的时候，一个圆将平面分为两个部分，也就是f（1）=2，在n=1的情况下，n2-n+2=2，所以命题成立。或者