2019年山东单招理科模拟考试试题(一)-数学

2019年山东单招理科数学模拟试题（一）【含答案】

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的）

1.设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,2,3,5},B={2,4,6},则（［UA）CB=（）

A.{2}B.{4,6}C.{1,3,5}D.{4,6,7,8}

2-bi

2.若复数l+2i（bCR,i为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数b为（）

2_2

A,-2B.2C.3D.3

%》一］

<x-y+3>0

3.设变量x,y满足约束条件12x+y-3<0,则目标函数z=x+3y的最大值为（）

A.0B.6C.9D.12

4.图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次是Al,A2,…，A16,图2

是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（）

769

8I3

929

103I

II4

图I

A.6B.7C.10D.16

5.已知命题"p：2xOwR,|xO+11+1xO-21Wa”是真命题，则实数a的最小值为()

A.5B.4C.3D.2

6.已知在菱形ABCD中，对角线BD=4,E为AD的中点，则BE・BEt()

A.12B.14C.10D.8

7.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x却时，f(x)=log3(x+1)+a,则f(-8)等于()

A.-3-aB.3+aC.-2D.2

8.某班有6位学生与班主任老师毕业前夕留影，要求班主任站在正中间且女生甲、乙不相邻，则排法的种

数为()

A.96B.432C.480D.528

/兀

ZFiPF

9.已知Fl,F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且123,则椭圆和双

曲线离心率倒数之和的最大值为()

14V3W6

A.3B.3C.4D.3

10.已知点M5,m2),N(n,n2),其中m,n是关于x的方程sin0•x2+cos。・x-1=0(0ER)的两

个不等实根.若圆0：x2+y2=l上的点到直线MN的最大距离为d,且正实数a,b,c满足abc+b2+c2=4d,

则Iog4a+log2b+log2c的最大值是()

5_3_

A.2B.4C.2V2D.2

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

Jlogl(x-1)

11.函数y=1x1-2的定义域为

1

y=­

12.已知曲线X与直线x=l,x=3,y=0围成的封闭区域为A,直线x=l,x=3,y=0,y=l围成的封闭区

域为B,在区域B内任取一点P,该点P落在区域A的概率为一.

_2兀

13.已知AABC中，边a,b,c的对角分另1J为A,B,C,且2=&,c=&，C=3，贝UZXABC的面积S=

14.棱锥P-ABC的四个顶点均在同一个球面上，其中PA_L平面ABC,△ABC是正三角形，PA=2BC=4,则该

球的表面积为

15.若函数y=f(x)的定义域D中恰好存在n个值xl,x2,…，xn满足f(-xi)=f(xi)(i=l,2,

n),则称函数y=f(x)为定义域D上的“n度局部偶函数”.已知函数g(x)=

fJT

sin(亏x)-l,x<0

,logaX(a>0,a^l).x>0是定义域(_8,o)u(0,+8)上的“3度局部偶函数”，则a

的取值范围是

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(12分)已知n二(coswx,V3cos(3x+n))，D二(sinsx,coscox),其中3>0,f(x)=IT

71

・n且f(x)相邻两条对称轴之间的距离为2.

aV3.

(I)若f(2)=-4,ae(0,2),求cosa的值;

71

(H)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移6个单位,

得到函数y=g(x)的图象，求函数y=g(x)的单调递增区间.

17.(12分)一箱中放了8个形状完全相同的小球，其中2个红球，n(2WnW4)个黑球，其余的是白球,

1

从中任意摸取2个小球，两球颜色相同的概率是4.

(I)求n的值；

(II)现从中不放回地任意摸取一个球，若摸到红球或者黑球则结束摸球，用2表示摸球次数，求随机变

量g的分布列和数学期望.

18.(12分)已知四边形ABCD为梯形，AB〃DC,对角线AC,BD交于点0,CE_L平面ABCD,CE=AD=DC=BC=1,

--♦—1■'»

ZABC=60",F为线段BE上的点，EF=3EB.

(I)证明：0F〃平面CED；

(II)求平面ADF与平面BCE所成二面角的余弦值.

19.(12分)已知数列｛an｝满足al=l,a2=3,an+2=(2+cosn万)(an+1)-3(neN*).

(1)求数列｛an｝的通项公式:

1Ogq

,3n,n=2k(kfN*)

<n'(n+2)

⑵令bnJan'n-2k-l(kEN),Tn为数列｛bn｝的前n项和，求Tn.

20.(13分)已知函数f(x)=x2-21nx-2ax(aGR).

(1)当a=0时，求函数f(x)的极值：

(2)当x£(1,+8)时，试讨论关于x的方程f(x)+ax2=0实数根的个数.

21.(14分)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点是F,点D(1,y0)是抛物线上的点，且|DF|=2.

(I)求抛物线C的标准方程：

.—♦

(H)过定点M(m,0)(m>0)的直线与抛物线C交于A,B两点，与y轴交于点N,且满足：NA=XAM.

MUBM.

P

(i)当m=2时，求证：入+u为定值；

(ii)若点R是直线1：x=-m上任意一点，三条直线AR,BR,MR的斜率分别为kAR,kBR,kMR,问是否

存在常数I,使得.kAR+kBR=t・kMR.恒成立？若存在求出t的值；若不存在，请说明理由.

2019年山东单招理科数学模拟试题(-)参考答案

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的)

1.设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8),集合A={1,2,3,5},B={2,4,6},则([UA)CB=()

A.{2}B.(4,6}C.(1,3,5}D.{4,6,7,8)

【考点】1H：交、并、补集的混合运算.

【分析】由全集U={1,2,3,4,5,6,7,8),集合A={L2；3,5},B={2,4,6),知CUA={4,6,7,

8),由此能求出(CuA)AB.

【解答】解：•••全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},

集合A={1,2,3,5},B={2,4,6},

I.CUA={4,6,7,8),

A(CuA)CB={4,6}.

故选B.

【点评】本题考杳交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行

等价转化.

2-bi

2.若复数l+2i(bdR,i为虚数单位)的实部和虚部互为相反数，则实数b为()

2_2

A.-2B.2C.3D.3

【考点】A5：复数代数形式的乘除运算.

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部和虚部互为相反数列式求解.

2-bi(2-bi)(l-2i)二(2-2b)-(4+b)i

【解答】解：..T+2i=(l+2i)(l-2i)-5的实部和虚部互为相反数,

2

；.2-2b=4+b,得b=-3.

故选：D.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.

<x-y+3^0

3.设变量x,y满足约束条件l2x+y-340,则目标函数z=x+3y的最大值为()

A.0B.6C.9D.12

【考点】7C：简单线性规划.

【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+3y过点P(0,3)时,

z最大值即可.

'X)-1

,x-y+3》0

【解答】解：作出约束条件l2x+y-340的可行域如图，

1_1

由z=x+3y知，y=-3x+3z,

111

所以动直线y=-3x+3z的纵截距3z取得最大值时，

目标函数取得最大值.

fx-y+3=0

由12x+y-3=0得p（o,3）.

结合可行域可知当动直线经过点P（0,3）时,

目标函数取得最大值z=0+3X3=9.

【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题.

4.图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次是Al,A2,-­,A16,图2

是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（）

［开始］

图2

A.6B.7C.10D.16

【考点】EF：程序框图.

【分析】模拟执行算法流程图可知其统计的是数学成绩大于等于90的人数，由茎叶图知：数学成绩大于等

于90的人数为10,从而得解.

【解答】解：由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，

所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10,

因此输出结果为10.

故选：C.

【点评】本题考查学生对茎叶图的认识，通过统计学知识考查程序流程图的认识，属于基础题.

5.已知命题“p：9xOER,|xO+l|+lxO-2|Wa”是真命题，则实数a的最小值为（）

A.5B.4C.3D.2

【考点】21：特称命题.

【分析】根据绝对值不等式的性质，利用特称命题为真命题.，建立不等式关系进行求解即可.

【解答】解：V|xO+11+ixO-21>|xO+1-xO+21=3.

.■♦若命题"p：3xOGR,|xO+11+1xO-21Wa”是真命题，

则a23,

即实数a的最小值为3,

故选：c.

【点评】本题主要考查命题的真假的应用，根据绝对值不等式的性质以及特称命题的性质是解决本题的关

键.

6.已知在菱形ABCD中，对角线BD=4,E为AD的中点，则BD=()

A.12B.14C.10D.8

【考点】9R：平面向量数量积的运算.

BE=BD+DE=BD-H-(DB+CA)

【分析】可作出图形，根据向量加法和数乘的几何意义可以得出4,这

BE^TBD+4-CA

样进行向量的数乘运算便可得出44,且瓦•而=0,IBD|=4,从而带入BE,BDa行

向量数量积的运算便可求出BE•丽的值.

【解答】解:如图,

根据条件:

BE-BD=(BD+DE)»BD

(BDiyDA)'BD

[BD+y(DB+H)]-BD

号而弓•以)•丽

yBD2+yCA-ro

3

7-X16+0

二4

=12.

故选A.

【点评】考查向量加法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，向量数量积的运算及计算公式，以及菱

形对角线互相垂直，向量垂直的充要条件.

7.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x20时，f(x)=log3(x+l)+a,则£(-8)等于()

A.-3-aB.3+aC.-2D.2

【考点】3L：函数奇偶性的性质.

【分析】根据奇函数的结论f(0)二0求出a,再由对数的运算得出结论.

【解答】解：・・•函数f(x)为奇函数，・・・f(0)=a=0,

f(-8)二・f(8)二・log3(8+1)=-2.

故选：C.

【点评】本题考查r对数的运算，以及奇函数的结论、关系式得应用，属于基础题.

8.某班有6位学生与班主任老师毕业前夕留影，要求班主任站在正中间且女生甲、乙不相邻，则排法的种

数为（）

A.96B.432C.480D.528

【考点】D3：计数原理的应用.

【分析】利用间接法，求出班主任站在正中间的所有情况；班主任站在正中间且女生甲、乙相邻的情况，

即可得出结论.

【解答】解：班主任站在正中间，有A66=720种；

班主任站在正中间且女生甲、乙相邻，有4A22A44=192种；

.••班主任站在正中间且女生甲、乙不相邻，排法的种数为720-192=528种.

故选：D.

【点评】本题考查计数原理的运用，考查排列知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

,71

9.已知Fl,F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且ZFj1PFN2=-3^-,则椭圆和双

曲线离心率倒数之和的最大值为（）

&473476

A.3B.3C.4D.3

【考点】KI：圆锥曲线的综合.

【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论.

【解答】解：设椭圆的长半轴为a,双曲线的实半轴为al,（a>al）,半焦距为c,

由椭圆和双曲线的定义可■知,

设|PFl|=rl,|PF2|=r2,|FlF2i=2c,

椭圆和双曲线的离心率分别为el,e2

兀71

VZF1PF2=3,则由余弦定理可得4c2=(rl)2+(r2)2-2rlr2cos3,①

在椭圆中，①化简为即4c2=4a2-3rlr2…②，

在双曲线中，①化简为即4c2=4al2+rlr2…③，

1___3_

~2-2

el-e2=4,

1

eeee

由柯西不等式得(1+3)(l+2)=(l+2xV3)2

J-J-W3

ee

.-.l+2«3

故选：B.

【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键.属于

难题.

10.已知点M(m,m2),N(n,n2),其中m,n是关于x的方程sin0*x2+cos0・x-1=0(0WR)的两

个不等实根.若圆0：x2+y2=l上的点到直线MN的最大距离为d,且正实数a,b,c满足abc+b2+c2=4d,

则Iog4a+log2b+log2c的最大值是()

5_3_

A.2B.4C.2>/2D.2

【考点】7F：基本不等式.

-cos8

【分析】m,n是关于x的方程sin0*x2+cos0*x-1=0(0gR)的两个不等实根.可得m+n=sin8,

122

一］m-n

mn=sin9,由直线MN的方程为：y-m2:m—n(x-m),化简代入可得：xcos0+ysin0-1=0.圆

0：x2+y2=l的圆心0(0,0)到直线MN的距离为1,可得圆0上的点到直线MN的最大距离为d=2,由正实

数a,b,c满足abc+b2+c2=4d二8,利用基本不等式的性质与对数的运算性质即可得出.

-cos8

【解答】解：Vm,n是关于x的方程sin。*x2+cos0*x-1=0(。WR)的两个不等实根..,.m+n二sin8

一1

mn-sin0,

直线MN的方程为：y-m2=(x-m),化为：y=(m+n)x-mn,Axcos9+ysin0-1=0.

10+0-11

圆0：x2+y2=l的圆心0(0,0)到直线MN的距离Me。S28+sin28=1,

...圆0上的点到直线MN的最大距离为d=l+l=2,

，正实数a,b,c满足abc+b2+c2=4d=8,

...82abc+2bc22'72ab2cI化为：ab2c2W8,当且仅当b=c=&,a=2时取等号.

(22)——

则Iog4a+log2b+log2c=064CWlog48=2,其最大值是2.

故选：D.

【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、同角三角函数基本关系式、点到直线的距离公式、

直线与圆的位置关系、对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

log.（X-1）

V彳

11.函数y=lx|-2的定义域为（1,2）.

【考点】33：函数的定义域及其求法.

【分析】由根式内部的代数式大于等于0,分式的分母不为0联立不等式组求得答案.

'|x|-2卉0

（logj（x-l）>0

【解答】解：要使原函数有意义，则I~2，解得l〈x<2.

log,(x-1)

V♦

.•.函数丫=1x1-2的定义域为(1,2).

故答案为：（1,2）.

【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了对数不等式的解法，是基础题.

1

y=—

12.已知曲线X与直线X=l,x=3,y=0围成的封闭区域为A,直线x=l,x=3,y=0,y=l围成的封闭区

ln3

域为B,在区域B内任取一点P,该点P落在区域A的概率为2.

【考点】CF：几何概型；67：定积分.

【分析】首先利用定积分求出封闭图形A/B的面积，然后利用几何概型的公式求概率.

J吐dx3

【解答】解：由题意A对应区域的面积为lx=lnx|I=ln3,B的面积为2,由几何概型的公式得到

ln3

所求概率为2；

ln3

故答案为：2.

【点评】本题考查了几何概型的概率求法以及利用定积分求封闭图形的面积：属于中档题.

2n_

13.已知aABC中，边a,b,c的对角分别为A,B,C,且a=圾，c=%，C=3,则△ABC的面积S=

返

2.

【考点】HP：正弦定理.

asinC1

【分析】由已知及正弦定理可得sinA=C=2,又结合大边对大角h]•得A为锐角，从而可求A,进而

利用三角形内角和定理可求B,利用三角形面积公式即可得解.

2兀

【解答】解：ZXABC中，，：a=近,c=V6,C=3,

.「V2X除

asinC_____z_

二由正弦定理可得：sinA=C=V6=2,

又♦.•a<c,A为锐角.

冗71

/.A=6,B=n-A-C=6,

.*.SAABC=2acsinB=22=2.

返

故答案为：2.

【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，三角形内角和定理，三角形面积公式在解三角形中的应

用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

14.棱锥P-ABC的四个顶点均在同一个球面上，其中PA_L平面ABC,△ABC是正三角形，PA=2BC=4,则该

112

球的表面积为3n.

【考点】LG：球的体积和表面积.

【分析】由题意把A、B、C、P扩展为三棱柱如图，求出上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，

然后求出球的表面积.

【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，

把A、B、C、P扩展为三棱柱，

上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，

PA=2BC=4,0E=2,ZiABC是正三角形，，AB=2,

AAE=3.

后乱停

(28112

所求球的表面积为：4n(N3")2=3n.

112

故答案为：3JT.

【点评】本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征

求出球的半径是解题的关键.

15.若函数y=f(x)的定义域D中恰好存在n个值xl,x2,…，xn满足f(-xi)=f(xi)(i=l,2,

n),则称函数y=f(x)为定义域D上的“n度局部偶函数”.已知函数g(x)=

rTT

sin(-z*x)-l,x<CO

<乙

是定义域_上的度局部偶函数”，则

logax(a>0,x>0(0)0(0>+oo)“3a

11

的取值范围是(4,2).

【考点】5B：分段函数的应用.

【分析】根据条件得到函数f(x)存在n个关于y轴对称的点，作出函数关于y轴对称的图象，根据对称

性建立不等式关系进行求解即可.

【解答】解：由“n度局部偶函数”的定义可知，

函数存在关于y对称的点有n个，

7T

当x<0时，函数g(x)=sin(2x)-1,

71

关于y轴对称的函数为y=sin(-2x)-1

n

=-sin(2x)-1,x>0,

n

作出函数g(x)和函数y=h(x)=-sin(2x)-1,

x>0的图象如图:

若g(x)是定义域为(-8,o)u(o,+8)上的“3度局部偶函数”，

7T

则等价为函数g(x)和函数k-sin(2x)-1,x>0的图象有且只有3个交点,

若a>l,则两个函数只有一个交点，不满足条件;

<g(2)>h(2)

当0<aVl时,则满足|g⑷<h(4),

fO<a<l

'0<a<l

.log2>-1

即|1叭4<-111_

即4<a<2,

【点评】本题主要考查函数图象的应用，根据条件得到函数对称点的个数，作出图象，利用数形结合是解

决本题的关键.综合性较强，有一定的难度.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(12分)(2016•济南二模)已知IT二(cosax,cos(GJx+n)),D=(sin^x,cosax),其

兀

—•----

中3>o,f(x)=ir-n,且f(x)相邻两条对称轴之间的距离为2.

_o_VI2L

(I)若f(2)=-4,ae(0,2),求cosa的值；

K

(U)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移6个单位,

得到函数y=g(x)的图象，求函数y=g(x)的单调递增区间.

【考点】HJ：函数y=Asin(<ox+<t>)的图象变换；H5：正弦函数的单调性.

【分析】(I)利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简f(x)的解析式，再利用正弦函数的图

象的对称性求得3的值，得到f(x)的解析式，从而利用同角三角函数基本关系、两角差的余弦公式，求

得cosa的值.

(II)根据y=Asin(3x+<t>)的图象变换规律，正弦函数的单调性，求得函数y=g(x)的单调递增区间.

【解答】解：f(x)=IT*D=sinwx,cos<ox+,'/3cos(wx+n)*cos<*>x

sin23xM人,c,、工

-----5------y-(l+cos2Wx)

=sinx*coswx-vOcoswx*coswx='_乙

兀返

=sin(2o>x-3)-2,

T7171

由于f(x)相邻两条对称轴之间的距离为2=23=2,.•.3=1.

故f(x)=sin(2x-3)-2.

a2L亚返兀M

(I)Vf(2)=sin(a-3)-2=-4,Asin(a-3)=4.

兀

・.,aG(0,2),.・.3G(-3,b),.-.cos(a-3)=V3=4

7T7T7171兀兀

.*.cosa=cos[(a-3)+3]=cos3)cos3-sin(a-3)*sin3

V131V3V3/-3

----------■一■--------------------------

=42-42=8.

(ID将函数y二f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,

兀返

可得y=sin(x-3)-2的图象，

K7T7TM7T我

然后向左平移6个单位，得到函数y=g(X)=sin[(x+6)-3]-2=sin(x-6)-2的图

象，

717r冗7T2冗

令2kn-2这X-6W2k“+2,求得2kn-3WxW2k"+3,

712兀

可得函数y=g(x)的单调递增区间为[2k”-3,2kn+3],k£Z.

【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，同角三角函数基本关系，两角差的余弦公

式，y=Asin(<JX+4>)的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题.

17.(12分)(2016•济南二模)一箱中放了8个形状完全相同的小球，其中2个红球，n(2WnW4)个

黑球，其余的是白球，从中任意摸取2个小球，两球颜色相同的概率是4.

(I)求n的值;

(II)现从中不放回地任意摸取一个球，若摸到红球或者黑球则结束摸球，用€表示摸球次数，求随机变

量&的分布列和数学期望.

【考点】CG：离散型随机变量及其分布列：CH：离散型随机变量的期望与方差.

【分析】(1)设“从箱中任意摸取两个小球，两球颜色相同”为事件A,由已知列出方程，由此能求出n.

(II)g的可能取值为1,2,3,4,分别求出相应的概率，由此能求出g的分布列及Eg.

【解答】解：(1)设“从箱中任意摸取两个小球，两球颜色相同”为事件A,

“C2十+c〜2十+c%2―

'1

由题意P(A)1=4,

解得n=3.

(II)，的可能取值为1,2,3,4,

_5

P(€=1)=8,

3Vz515

p(g=2)=87=56,

WxZx区旦

p(€=3)=876=56,

3/乂1&1

XXX1

P(€=4)=ITT=56,

4的分布列为:

€1234

P_51551

565656

lx+2X+3X+4X

E,=ffiM

【点评】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题

时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用.

18.(12分)(2016•济南二模)已知四边形ABCD为梯形，AB〃DC,对角线AC,BD交于点0,CE_L平面

.・—1——•

ABCD,CE=AD=DC=BC=1,ZABC=60°,F为线段BE上的点，EF=3EB.

(I)证明:OF〃平面CED；

(II)求平面ADF与平面BCE所成二面角的余弦值.

【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定.

【分析】(I)由余弦定理，求出AC=J$.AB=2,从而OF〃DE,由此能证明OF〃平面CED.

(II)以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ADF

与平面BCE所成二面角的余弦值.

一♦.1.•

【解答】证明：(I),•,EF=3EB,.,.FB=2EF,

又梯形ABCD中，AD=DOBOl,ZABC=60°,

/.ZADC=120°,

2-

由余弦定理，得：AC=V12+12X1X1Xcosl200=V3,

AB2+＞一(付2

cos600=2xABXI，解得AB=2,

DO_DC1EF

VAB//DC,OBAB2FB,.,.OF//DE,

又OFG平面CDE,DEu平面CDE,

...OF〃平面CED.

(H)由(I)知AC=VS,AB=2,

又BCE,/.ZACB=90°,AACiBC,

...以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，

M1

则A(Vs,0,0),B(0,1,0),E(0,0,1),D(2,-2,0),

―►-——.—►―►标J■而r~~

AEL(-2,-2,o),AFAE+EF-3=(-V3,3,3),

设平面ADF的法向量。=(x,y,z),

ii•而总尸0

最正Zix号鸿Z=0取f得］（一丑2“）,

则

平面BCE的法向量IT=(1,0,0),

一一1-

二cos<m,n>=41+3+124,

1

...平面ADF与平面BCE所成锐二面角的余弦值为4,

1

平面ADF与平面BCE所成钝二面角的余弦值为-4.

【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，注意向量法的合理运用.

19.(12分)(2016•济南二模)己知数列｛an｝满足al=l,a2=3,an+2=(2+cosnn)(an+1)-3(nGN*).

<1）求数列｛an｝的通项公式;

log3%

n=2k(k€N*)

*n2(n+2)

⑵令bn」an'"2k-l(k€N),Tn为数列｛bn｝的前n项和，求Tn.

【考点】8E：数列的求和;8H：数列递推式.

【分析】(1)an+2=(2+cosnn)(an+1)-3,n£N*.当n=2k-l时，an+2=an-2,，｛a2k-1)是等差

数列，首项为1,公差为-2.当n=2k时，an+2=3an,可得｛a2k｝是等比数列，首项为3,公比为3,即可

得出.

1Og3on

9,n=2k(k€N*)

n'(n+2)

an-n=2k-l(kCN*),『2k(kGN*)时，bn=2n(n+2)7(^7)；n=2k

(2)bn二

-1(k£N*)时，bn=2-n.对n分类讨论即可得出.

【解答】解：(1)Van+2=(2+cosnJi)(an+1)-3,n£N*.

・••当n=2k-l时，an+2=an-2,・・・｛a2k-1｝是等差数列，首项为1,公差为-2,

Aa2k-1=1-2(k-1)=3-2k,即n为奇数时an=2-n.

当n=2k时，an+2=3an,，｛a2k｝是等比数列,首项为3,公比为3,

n

~2

...a2k=3X3k-1,即n为偶数时an=3.

，2F,n为奇数

.-.an=l37,n为偶数.

■an

,n=2k(k€N*)

-n2(n+2)

(2)bn=lan'n=2k-l(k€N*)

n=2k(kGN*)时，bn=2n(n+2)=4nn+2.

n=2k-1(k£N*)时，bn=2-n.

.,.n=2k(k£N*)时，Tn=T2k=(bl+b3+-+b2k-1)+(b2+b4+-+b2k)

里噬组J*一…七法％一k2+卷修法)=2k一k2+

k•n

8k+8=n~+8n+16.

(n-])_(n-1)2n-1(nT).nT

n=2k-1(kEN*)时，Tn=Tn-l+bn=4+8n+24+2-n=l-4-8n+24.

【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法、分类讨

论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

20.(13分)(2016•济南二模)已知函数f(x)=x2-21nx-2ax(aCR).

(l)当a=0时，求函数f(x)的极值；

(2)当x£(1,+8)时，试讨论关于x的方程f(x)+ax2=0实数根的个数.

【考点】6D：利用导数研究函数的极值；54：根的存在性及根的个数判断.

【分析】(D将a=0代入f(x),求出f(x)的导数，解关于导函数的不等式，得到函数的单调区间，

求出函数的极值即可：

(2)令g(x)=f(x)+ax2=(a+1)x2-21nx-2ax,xG(1,,求出g(x)的导数，通过讨论a的

范围，确定g(x)的单调性，求出函数的最值，从而判断函数的零点即方程的实数根的个数.

【解答】解：(1)a=0时，f(x)=x2-21nx,(x>0),

22(x+l)(x-l)

伊(x)=2x-x=X,

令f'(x)>0,解得：x>l,令(x)<0,解得：x<l,

・・・f(x)在(0,1)递减，在(1,+8)递增，

Af(x)极小值=f(1)=1,无极大值；

(2)令g(x)=f(x)+ax2=(a+1)x2-21nx-2ax,x£(1,+°°),

22[(a+l)x+l](x-l)

gz(x)=2(a+1)x-X-2a=X,

1

①当-&+1这1即@忘-2,或a/-l时，

S'(x)>0在(1,+8)恒成立，

g(x)在(1,+8)递增，

.'.g(x)>g(1)=1-a,

若1-a》0,即aWl时，g(x)>0在(1,+8)恒成立，

即程f(x)+ax2=0无实数根,

若l-a<0,即a>l时，存在xO,使得g(xO)=O,

即程f(x)+ax2=0有1个实数根，

1

②当-a+1>1即-2<a<-1时，

1

令g'(x)>0,解得：o<x<-a+1,

1

令g'(x)<0,解得：x>-a+1,

11

:.g(x)在(i,-a+1)递增，在(-a+1,+8)递减，

1

而g(1)=1-a>0,故g(x)>0在(1,-a+1)上恒成立,

xf+8时，g(x)=(a+1)x2-21nx-2ax-»-

二存在xO,使得g(xO)=0,

1

即方程f(x)+ax2=0在(-a+1,+8)上有1个实数根，

综上：aW-2或-IWaWl时，方程无实数根，-2<aV-1或a>1时，方程有1个实数根.

【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想,

是一道综合题.

21.(14分)(2016•济南二模)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点是F,点D(1,y0)是抛物线上的

点，且|DF|=2.

(I)求抛物线C的标准方程;

(II)过定点M(m,0)(m>0)的直线与抛物线C交于A,B两点，与y轴交于点N,且满足：NA=XAM,

NB=uBM.

P

(i)当m=2时，求证：入+u为定值；

(ii)若点R是直线1：x=-m上任意一点，三条直线AR,BR,MR的斜率分别为kAR,kBR,kMR,问是否

存在常数t,使得.kAR+kBR=t«kMR.恒成立？若存在求出t的值；若不存在，请说明理由.

【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K7：抛物线的标准方程.

P

【分析】(D点D(1,y0)是抛物线上的点，且|DF|=2.利用抛物线等于可得1+2=2,解得p,即可得

出抛物线C的标准方程.

P

(II)(i)设A(xl,yl),B(x2,y2),当m=2=l时，M(1,0),直线AB的斜率存在且不为0,可

(0,工■)

设直线AB的方程为：x=ty+l(two),可得Nt.与