第2课时　集合的表示 高一数学

1.1

集合的概念第2课时

集合的表示自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑思想方法

自主预习·新知导学一、列举法1.设集合M是小于6的正整数组成的集合,集合M中的元素能一一列举出来吗?提示:能.1,2,3,4,5.2.上述集合M除了用自然语言描述外,还可以用什么方式表示呢?如何表示?提示:列举法.{1,2,3,4,5}.3.把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.4.方程x2-4x+3=0的所有实数根组成的集合为(

)A.{1,3} B.{1}C.{x2-4x+3=0} D.{x=1,x=3}解析:因为方程x2-4x+3=0的实数根为1,3,所以用列举法表示为{1,3},故选A.答案:A二、描述法1.“大于-2且小于2的整数”组成的集合,能用列举法表示吗?如果能,如何表示?提示:能.{-1,0,1}.2.“大于-2且小于2的实数”组成的集合,能用列举法表示吗?为什么?提示:不能.因为大于-2且小于2的实数有无数多个,用列举法是列举不完的,所以不能用列举法表示.3.设x为“大于-2且小于2的实数”组成的集合的元素,x有何特征?提示:x∈R,且-2<x<2.4.一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖线,写成{x∈A:P(x)}或{x∈A;P(x)}.5.下列用描述法表示的集合,错误的是(

)A.奇数集可以表示为{x∈Z|x=2k+1,k∈Z}B.“小于10的整数”组成的集合可以表示为{x|x<10}C.“被3除余2的正整数”组成的集合可以表示为{x|x=3k+2,k∈N}解析:项B,{x|x<10}表示“小于10的实数”组成的集合.“小于10的整数”组成的集合应该表示为{x∈Z|x<10}.答案:B【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为{1,1}.(×)(2)集合{(0,1)}中的元素是0和1.(×)(3){x|x>3}与{y|y>3}是同一个集合.(√)(4)集合{x∈N|x<5}与集合{0,1,2,3,4}表示同一个集合.(√)

合作探究·释疑解惑探究一

用列举法表示集合【例1】

用列举法表示下列集合:(1)方程x2-4x+4=0的所有实数根组成的集合;(2)由单词“look”的字母组成的集合;(3)由不大于8的所有非负偶数组成的集合;(4)直线y=2x-1与y轴的交点组成的集合.解:(1)方程x2-4x+4=0的实数根为x=2,所求集合为{2}.(2)单词“look”有三个互不相同的字母,分别为“l”“o”“k”,所求集合为{l,o,k}.(3)不大于8的非负偶数有0,2,4,6,8,所求集合为{0,2,4,6,8}.(4)直线y=2x-1与y轴的交点坐标为(0,-1),所求集合为{(0,-1)}.反思感悟1.用列举法表示集合,要分清是数集还是点集,如本例(1)是数集,本例(4)是点集.2.使用列举法表示集合时应注意以下几点:(1)在元素个数较少或较多(无限)但有规律时用列举法表示集合,如集合:{1,2,3},{1,2,3,…,100},{1,2,3,…}等.(2)“{}”表示“所有”的含义,不能省略;元素之间用“,”隔开,而不能用“、”;元素无顺序,满足无序性.【变式训练1】

用列举法表示下列集合:(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合;(2)绝对值小于3的所有整数组成的集合;解:(1)满足条件的数有3,5,7,所求集合为{3,5,7}.(2)绝对值小于3的整数有-2,-1,0,1,2,所求集合为{-2,-1,0,1,2}.探究二

用描述法表示集合【例2】

用描述法表示下列集合:(1)不等式3x-6≥0的解集;(2)所有偶数组成的集合;(3)函数y=2x-1的图象上的点组成的集合.解:(1)不等式3x-6≥0的解是x≥2,所求集合用描述法表示为{x|x≥2}({x:x≥2}或{x;x≥2}).(2)因为x=2k(k∈Z)是所有偶数的一个共同特征,所以所有偶数组成的集合可以表示为{x|x=2k,k∈Z}.(3)函数y=2x-1的图象上的点的坐标为(x,y),所求集合为{(x,y)|y=2x-1}.1.把本例(2)换成小于10的所有正偶数组成的集合,用描述法怎样表示?解:小于10的正偶数有2,4,6,8,用式子表示为x=2k,1≤k<5,且k∈Z,所求集合用描述法表示为{x|x=2k,1≤k<5,且k∈Z}.2.把本例(3)换成在平面直角坐标系中,第一、第三象限的点组成的集合,如何求解?解:第一、第三象限中的点(x,y)满足xy>0,所求集合可以表示为{(x,y)|xy>0}.反思感悟用描述法表示集合的具体步骤如下(1)写代表元素,分清楚集合中的元素是数还是点或是其他的元素.(2)明确元素的共同特征P(x),将P(x)写在竖线(冒号或分号)的后面.【变式训练2】

用描述法表示下列集合:(1)直线y=x上去掉原点的所有点组成的集合;(2)被5除余2的所有正整数组成的集合;(3)所有的正方形组成的集合.解:(1){(x,y)|y=x,x≠0}.(2)被5除余2的正整数可以表示为x=5k+2,k∈N,所求集合用描述法表示为{x|x=5k+2,k∈N}.(3)用描述法表示为{x|x是正方形}.探究三

集合的表示【例3】

用适当的方法表示下列集合:故该集合用列举法表示为{(4,-2)}.(2)集合的代表元素是数x,共同特征是x∈R,|x|≤3,故该集合用描述法表示为{x∈R||x|≤3}.(3)反比例函数

的自变量x∈R,且x≠0,故该集合用描述法表示为{x∈R|x≠0}.(4)抛物线y=x2-2x与x轴相交于点(0,0)和(2,0),故该集合用列举法表示为{(0,0),(2,0)}.反思感悟当集合的元素个数很少(很容易写出全部元素)时,常用列举法表示集合;当集合的元素个数较多(不易写出全部元素)时,常用描述法表示.对一些元素有规律的无限集,也可以用列举法表示,如正偶数集也可写成{2,4,6,8,10,…}.【变式训练3】

用适当的方法表示下列集合:(1)24的所有正因数组成的集合;(2)在平面直角坐标系中,两坐标轴上的点组成的集合;(3)三角形的全体组成的集合.解:(1)24的正因数有1,2,3,4,6,8,12,24,故该集合用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}.(2)集合的代表元素是(x,y),共同特征是x=0或y=0,即xy=0,故该集合用描述法表示为{(x,y)|xy=0}.(3)集合的代表元素是x,共同特征是x是三角形,故该集合用描述法表示为{x|x是三角形}.思想方法分类讨论思想在集合表示中的应用【典例】

若集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.审题视角:集合A中只有一个元素,说明关于x的方程kx2-8x+16=0只有一个或两个相等的实数根,此方程不确定为一元二次方程,需要对系数k分为k=0和k≠0讨论.解:当k=0时,原方程变为-8x+16=0,解得x=2.此时集合A={2}.当k≠0时,要使一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等的实数根,只需Δ=64-64k=0,即k=1.此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意.综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}.将本例改为“若集合A中至少有一个元素,求实数k的取值范围”,如何求解?解:由集合A中至少有一个元素可知,关于x的方程kx2-8x+16=0至少有一个根,分两种情况讨论:①方程kx2-8x+16=0只有一个根,由例题的解答过程可知k=0或k=1;②方程kx2-8x+16=0有两个不相等的根,需满足k≠0,且Δ=64-64k>0,解得k<1,且k≠0.