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文档简介

第五章定积分及其应用

第一节定积分的概念及性质

目录一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的性质一、定积分问题举例

由连续曲线y=f(x)(f(x)

0),直线x

=

a,x

=

b(a

<

b)及x轴所围成的平面图形的面积实例：求曲边梯形的面积yo基本想法：用矩形面积近似取代曲边梯形面积一、定积分问题举例显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积。abxyo（四个小矩形）abxyo（九个小矩形）一、定积分问题举例if()iyy=f(x)aAbBOxx1xi-1xn+1xi一、定积分问题举例曲边梯形面积为一、定积分问题举例（1）分割（3）求和（4）取极限（2）近似二、定分的定义任一种分法任取收敛于极限I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,记作即此时称f(x)在[a,b]上可积.1.定义二、定分的定义x为积分变量b为积分上限a为积分下限f(x)为被积函数[a,b]称为积分区间积分和被积表达式说明2：定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字

母表示无关,即：二、定分的定义如果不论对[a,b]怎样的分法，也不论在小区间点

i怎样的取法，就称f在[a,b]上可积，总有S趋于确定的极限I，说明1：只要

，2.定积分的几何意义：曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和二、定分的定义y123y=x-3Ox二、定分的定义

定理1.定理2.且只有有限个间断点3.可积的充分条件：例2.利用定义计算定积分解:将[0,1]n等分,分点为取二、定分的定义二、定分的定义说明3：有界是可积的必要条件,无界函数一定不可积；

说明4：可积的充分条件：

作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分三、定积分的性质(k为常数)证:=右端性质1性质2性质3性质4证:当时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取c为分点,于是三、定积分的性质性质5比如分析：三、定积分的性质问题：如果c不在a与b中间，结论成立否？性质6.若在[a,b]上则证:推论1.若在[a,b]上则三、定积分的性质推论2.证:即三、定积分的性质性质7.设则三、定积分的性质性质8.积分中值定理则至少存在一点使证:则由性质7可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.三、定积分的性质三、定积分的性质积分中值定理的几何解释：上的平均值。

例3求①②解：①

②y轴两边所围面积相等符号相反，所以为0三、定积分的性质作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂练习：求主观题10分例4估计解:

因为，得驻点可能的极值仅有，又比较得函数在[-2，1]上的最小值为-7，最大值为2，所以.的大小三、定积分的性质例5比较下列各对积分值的大小.（1）与（2）与解（1）由于时时；而当时

.（2）由于三、定积分

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