2024年高考考前信息必刷卷二（新高考新题型）数学及答案

绝密★启用前2024年高考考前信息必刷卷（新高考新题型）02数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）随着九省联考的结束，全国陆续有多个省份宣布在2024年的高考数学中将采用新题型模式。新的试题模式与原模式相比变化较大，考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解1题，多选题由原来的0分、2分、5分“部分选对得部分分，满分为6分”5155值依次为13分、15分、15分、17分、17分。新的试题模式与原模式相比，各个题目的考查内容、排列顺序进行了大幅度的调整。多年不变的集合题从单选题的第1题变为填空题，且以往压轴的函数与导数试题在测试卷中安排在解答题的第1题，难度大幅度降低；概率与统计试题也降低了难度，安排在解答题的第2题；在压轴题安排了新情境试题。这些变化对于打破学生机械应试的套路模式，对促使学生全面掌握主干知识、提升基本能力具有积极的导向作用。九省联考新模式的变化，不仅仅体现在题目个数与分值的变化上，其最大的变换在于命题方向与理念的变化，与以往的试题比较，试题的数学味更浓了，试卷没有太多的废话，也没有强加所谓的情景，体现了数学的简洁美，特别是最后一道大题，题目给出定义，让考生推导性质，考查考生的数学学习能力和数学探索能力，这就要求考生在平时的学习中要注重定理、公式的推导证明，才能培养数学解决这类问题的思维素养。试卷的命制体现“多想少算”进有序，难度结构合理，中低难度的题目平和清新，重点突出；高难度的题目不偏不怪，中规中矩，体现了良好的区分性，可有效的引导考生在学习过程中从小处着手，掌握基本概念和常规计算；从大处着眼，建构高中数学的知识体系。8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．aax)61．的展开式中x3的系数为，则（）24D.A.2B.C.4S9S6n（2．设Sn是等比数列a的前项和，若Sa4568，则）n3735337A．2B．C．D．s3．某学校运动会男子100m决赛中，八名选手的成绩（单位：）分别为：13.09，13.15，12.90,13.16，12.96，13.11，x，13.24，则下列说法错误的是（）A．若该八名选手成绩的第75%百分位数为13.155，则x13.15B．若该八名选手成绩的众数仅为13.15，则x13.15C．若该八名选手成绩的极差为0.34，则xD．若该八名选手成绩的平均数为13.095，则x13.15πACBC5ABC4．在ABC中，C，AB13，，则的面积为（）3A．B．23C．33D．433π175．已知0A．0,sinsin,coscos，则cos2（）21010247B．C．D．12525619“”5名大学生将前往3,B,C开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆AB仅有2个场馆名志愿者的概率为（）32150634A．B．C．D．511π7ABCD中，AB2AD4，BAD，E，H分别为AB，CDVADE沿直线3DE折起，构成如图所示的四棱锥ABCDE，F为C的中点，则下列说法不正确的是（）A．平面BFH//平面B．四棱锥BCDE体积的最大值为3C．无论如何折叠都无法满足A'DBCD．三棱锥DEH表面积的最大值为23438．曲线C是平面内与三个定点F1,0，F1,0和F0,1的距离的和等于22的点的轨迹.给出下列四个12结论：①曲线C关于x轴、轴均对称；y223②曲线C上存在点P，使得PF3；③若点P在曲线C上，则△FPF的面积最大值是1；12④曲线C上存在点P，使得1为钝角.2其中所有正确结论的序号是（A．②③④B．②③）C．③④D．①②③④3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数fxcos44）x23sinxcosxsinx，则下列说法正确的是（A．最小正周期为B．函数fx在区间π,π内有6个零点πC．fx的图象关于点,0对称12πD．将fx的图象向左平移个单位，得到函数gx的图象，若gx在t上的最大值为g0，则t45π的最大值为610．已知直线l:a2xa1y10与圆交于点，点,BP,AB中点为C:x2y24Q，则（）A．的最小值为22B．的最大值为4C．为定值D．存在定点M，使得为定值f10，且对任意11．已知函数fx及其导函数fx的定义域均为R，若fx是奇函数，f2x,yRfxyfxfyfxfy，则（，）1A．ff60B．220242024f(k)1D．f(k)1C．k1k1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．i202312．若复数z，则zz1a2c13．已知三个实数a、b、c，当c0时，b2ac且bca2，则的取值范围是．b14．已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1g(x)x4ax2xx2x．215．（13分）已知函数4(1)当a1时，求g(x)的图象在点g处的切线方程；a(2)若g(x)0，求实数的取值范围．x2y221216．（15分）已知椭圆C:(1)求椭圆C的方程；ab0)的右焦点2与抛物线y24x的焦点重合，且其离心率为.a2b(2)已知与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于M，NMN的中点为PkMNkOP（O为坐标原点）为定值.17．（15分）如图，在正四棱台ABCD中，AB2AB4.111111(1)求证：平面ABCD平面1A；13(2)若直线BC与平面ACCA所成角的正切值为，求二面角B1A的正弦值.111618．（17分）某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求．（1）现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据0.100的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？就餐区域性别合计南区北区男女333871107434588合计171（2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为21323一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为，；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去1414112甲，乙餐厅的概率均为．张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为，，．2（ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率；天他去甲餐厅用餐的概率nnN*p．n（ⅱ）求第n(adbc)22,nabcd；附：abcdacbd0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.63519．（17分）已知定义域为R的函数hxxR，都有hx2πhxh2π，则称函hxP.数具有性质fx2x,gxcosx是否具有性质P；（直接写出结论）（1）判断函数（2）已知函数3252πsinx,fx，使函数fx,，判断是否存在2具有性质P？,若存在，求出的值；若不存在，说明理由；fx2π上的值域为gxsinfx函数，满（3）设函数具有性质P，且在区间f0,f2π.gx2πgx，且在区间0,2π上有且只有一个零点求证：f2π2π.足.绝密★启用前2024年高考考前信息必刷卷（新高考新题型）02数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）随着九省联考的结束，全国陆续有多个省份宣布在2024年的高考数学中将采用新题型模式。新的试题模式与原模式相比变化较大，考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解1题，多选题由原来的0分、2分、5分“部分选对得部分分，满分为6分”5155值依次为13分、15分、15分、17分、17分。新的试题模式与原模式相比，各个题目的考查内容、排列顺序进行了大幅度的调整。多年不变的集合题从单选题的第1题变为填空题，且以往压轴的函数与导数试题在测试卷中安排在解答题的第1题，难度大幅度降低；概率与统计试题也降低了难度，安排在解答题的第2题；在压轴题安排了新情境试题。这些变化对于打破学生机械应试的套路模式，对促使学生全面掌握主干知识、提升基本能力具有积极的导向作用。九省联考新模式的变化，不仅仅体现在题目个数与分值的变化上，其最大的变换在于命题方向与理念的变化，与以往的试题比较，试题的数学味更浓了，试卷没有太多的废话，也没有强加所谓的情景，体现了数学的简洁美，特别是最后一道大题，题目给出定义，让考生推导性质，考查考生的数学学习能力和数学探索能力，这就要求考生在平时的学习中要注重定理、公式的推导证明，才能培养数学解决这类问题的思维素养。试卷的命制体现“多想少算”进有序，难度结构合理，中低难度的题目平和清新，重点突出；高难度的题目不偏不怪，中规中矩，体现了良好的区分性，可有效的引导考生在学习过程中从小处着手，掌握基本概念和常规计算；从大处着眼，建构高中数学的知识体系。8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．aax)61．的展开式中x3的系数为，则（）A.4B.2C.42D.【答案】Dax)6展开式的通项为r1Cr6axr（其中0r6且rN【解析】二项式r3可得TC4ax3C64a3x3，所以C46a3160，解得a2.46令故选：DS9S6n（2．设Sn是等比数列a的前项和，若Sa4568，则）n3735337A．2B．C．D．【答案】BSS8SS84812，【解析】由题意得，6363S,SS,SS成等比数列，故SS32S3S9S6因为，363966824S912S28，解得，9即故S928S61273.故选：Bs3．某学校运动会男子100m决赛中，八名选手的成绩（单位：）分别为：13.09，13.15，12.90,13.16，12.96，13.11，x，13.24，则下列说法错误的是（）A．若该八名选手成绩的第75%百分位数为13.155，则x13.15B．若该八名选手成绩的众数仅为13.15，则x13.15C．若该八名选手成绩的极差为0.34，则xD．若该八名选手成绩的平均数为13.095，则x13.15【答案】A【解析】对A,因为875%6，当x,八名选手成绩从小到大排序12.90,12.96,13,13.09,13.11,13.15,13.16,13.24,，故该八名选手成绩的第75%百分位数为13.1513.1613.155，但2x1313.15，故A错误；对B,由众数是出现次数最多的数据，B正确；对C,当x12.9，极差为当x，极差为13.2412.90.34，符合题意x12.90.3413.24x0.34，不符合题意舍去；当x13.24，极差为不符合题意舍去，综上，x，正确；C12.9012.9613.0913.1113.1513.1613.24x对D,平均数为13.095,解得x13.15，故D正确.8故选：AπACBC5ABC4.在ABC中，C，AB13，B．23，则的面积为（）3A．C．33D．343【答案】Dπ【解析】在ABC中，C，ABc13，ACBCba5，3π(24，由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos=a+b-2ab-ab，解得31π13所以SABC故选：D5．已知0=absin=´4´=3，2322π17,sinsin,coscos，则cos2（）21010247A．0B．C．D．12525【答案】A【解析】已知sinsin17,coscos，10107145则)coscossinsin，1010173)coscossinsin，10105ππ00,0π，，22345)1cos2)，)1cos)2则则，5cos2))cos())sin()34430.5555故选：A.619“”5名大学生将前往3,B,C个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A时，场馆B仅有2名志愿者的概率为（）32150634A．B．C．D．511【答案】B25A23CCC35A33150，【解析】不考虑甲是否去场馆A，所有志愿者分配方案总数为222,B,C的概率相等，所以甲去场馆B或C150100，甲去场馆甲不去场馆A，分两种情况讨论，情形一，甲去场馆B，场馆B有两名志愿者共有C4的总数为31C13A2224种；12种，情形二，甲去场馆C，场馆B场馆C均有两人共有C41C23场馆B场馆A均有两人共有C426种，所以甲不去场馆A时，241264221场馆B仅有2名志愿者的概率为.10010050故选：B．π7ABCD中，AB2AD4，BAD，E，H分别为AB，CDVADE沿直线3DE折起，构成如图所示的四棱锥ABCDE，F为C的中点，则下列说法不正确的是（）A．平面BFH//平面B．四棱锥BCDE体积的最大值为3C．无论如何折叠都无法满足A'DBCD．三棱锥DEH表面积的最大值为234【答案】C【解析】选项A，平行四边形ABCD,所以BE//DH，又AB2AD4,E,H分别为AB,CD中点，所以BEDH,即四边形BEDH为平行四边，所以BH//DE,又BH平面A¢DEDE平面ADE,所以FH//平面A，故A正确；,¢DE所以BH//平,面A¢DEF是ACFH//AD,又FH平面A¢DE,AD平面A¢¢DE,又FHBHH,FH,BH平面BHF,所以平面BHF//平面ADEπBCDE,四棱锥BCDE的体积最大，因为BAD选项B，当平面ADE平面，所以最大值为31243V33,故B正确；32BCB,BDBB,B,BD平面ADB所以平面选项C，根据题意可得BCDB只要,,BCDADB，即,故C错误；AEH,ADH,DHD,DEH表选项DEHAE根据对称性可得此时121面积最大，最大值为SSDESDHSDEHSEH232222234,选项D正确.2故选：C8．曲线C是平面内与三个定点F1,0，F1,0和F0,1的距离的和等于22的点的轨迹.给出下列四个123结论：①曲线C关于x轴、轴均对称；y223②曲线C上存在点P，使得PF3；③若点P在曲线C上，则△FPF的面积最大值是1；12④曲线C上存在点P，使得1为钝角.2其中所有正确结论的序号是（A．②③④B．②③【答案】C【解析】设曲线C上任意一点）C．③④D．①②③④Px,y，由题意可知C的方程为x12y2x12y2x2y1222.①错误，在此方程中用x取代x，方程不变，可知C关于轴对称；y同理用取代，方程改变，可知C不关于x轴对称，故①错误.yy223423②错误，若PF3，则PFPFFF，1212曲线C不存在，故②错误.③正确，PF2PF2PF2，113x2P应该在椭圆D：y12212OF，曲线C与椭圆D有唯一的公共点F0,1，此时的面积最大，最大值是，故③正确；233当点P为点时，F△1PF13FFF902④正确，由③可知，取曲线C上点F0,1，此时，313y1下面在曲线C上再寻找一个特殊点Py，0，则21y把21y整理得3y2221y22，221y两边平方，(242)y4250，42242)425y1或解得y因为0，即.634254251，则取点P，33此时FPF90.故④正确．21故答案为：C．3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数fxcos44）x23sinxcosxsinx，则下列说法正确的是（A．最小正周期为B．函数fx在区间π,π内有6个零点πC．fx的图象关于点,0对称12πDfx的图象向左平移gxgx在t上的最大值为g0t45π的最大值为6【答案】AD【解析】fxcos4x23sinxcosxsinx4xcosxsinx23sinxcosxcos2xsin222cos2x3sin2xπ2sin2x，62π对于A：Tπ，A正确；2ππ13πππxπxfx时对于的的值为函数在区对于Bπ,π时，2x2x分别取π,0,π,2π6666间上的零点，只有个，B错误；4πππππfx的对称中心，C错误；对于C：f2sin22sin30，故点,0不是12126312ππ46π2cos2x对于D：由已知gx2sin2x，6πππ当0xt时，2xt,t0，666πt上的最大值为gxg02cos在因为，6ππ5π所以t0t，解得，D正确.666故选：AD.10．已知直线则（l:a2xa1y102y24,B交于点P,ABQ，C:x与圆，点中点为）A.B.的最小值为22的最大值为4C.为定值D.存在定点M，使得【答案】ACD为定值l:a2xa1y10【解析】直线，axy2xy10，即故直线过定点,且圆的圆心为0，半径为y4P1C:x222,在圆内，4，故P11122C对于A，当和直线l垂直时，圆心到直线的距离最大，距离dCP2，AB2此时最小，AB=24d=22，故A正确；对于B，当AB=4时，AB为圆的直径，此时直线过圆心，a20a1010方程无解，故直线不可能过圆心，故B错误；对于C，设，则Ax,y,Bx,y21121y2yy2，12PAPB=x1x1y1yxxxx12121212当直线l斜率不存在时，l:x1，联立圆C:x2y24得，y3，此时PA1322=2y1kx，联立圆C:x2y42当直线l斜率存在时，设直线，2x2kx，即k421x22k2kxk222k30，得22k2kk12xx12，k2k32xx122k1x12，1ykx22k21y2kx11kx11=kxx2kk2xx21k2,12121PAPB=xxxx1y2yy2=k1xx2k211x2k1,121212122带入得：PAPBk22k32k2k2k12，2故为定值2，故C正确；对于D，AB中点为Q，故CQAB在AB上，P1,且所以CQPQ,故△是直角三角形，112212,=PC当M为中点时，为定值，故正确.D22故选：ACDf10，且对任意11．已知函数fx及其导函数fx的定义域均为R，若fx是奇函数，f2x,yRfxyfxfyfxfy，则（，）1A．ff60B．D．220242024f(k)1f(k)1C．k1k1【答案】ABDfxyfxfyfxfy，【解析】因为12xy1f22f1f1f2f10f1令得：，又因为，所以，故A正确；fx为偶函数fx是定义域为的奇函数，所以Rf00.因为，且①y1fx1fxf1fxf1令，可得：x再用代替可得：xf1xfxf1fxf1fxf1fxf1fxfxffxf②fxfx2fxffxfxfx②得：①fx2fx1fx所以：，fx3fx2fx1fx1fxfx1fxfxf3f00，故正确f6B.所以是周期为3的周期函数，所以：f1f2f30，所以：，f00f2f1f1f20因为：所以：又因为，2024fk674f1f2f30Cf1f2，故错误；k112x2ff2f亦为周期为3的周期函数，且为偶函数，所以f令x1，y0fff0ff0f01f3可得：，f1f2f30.所以2024f1fk674f1f2f3f21.D正确.所以：故k1故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．i202312．若复数z，则zz115【答案】15i12iiii(12i)25i2i∴z，则zzz.【解析】∵z，12i12i2i)(12i)55a2c13．已知三个实数a、b、c，当c0时，b2ac且bca2，则的取值范围是．b19,【答案】【解析】当c0时满足：„2ac且bca2，a2aaca()2„0„„3„2ac，即a22acc20，进而2，解得．cccc13c1所以或，aaacc2cca2c2f()，ba2aac13t,t,1，令a1241ftt22tt，8131由于t,1，1,单调递减，fttt所以在单调递增，在3f3，1311当t时，f=，当t1时，3919所以ft1，故答案为：．9148的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为248π【答案】【解析】如图：△ABC的中心111设O为正四面体PABC的外接球球心，O为,H为的中心,M为BC的中点，1PABCPH，因为正四面体棱长为8，易得平面383易得8，PH平面，AH平面BCD，33833863则AH,82()2，由正四面体外接球球心为O，则O在，则OPOAR为外接球半径，833863由22BO2得()2(R)2R2，解得R26，即PO26,222323326PABC222，PO22在正四面体中，易得O，所以11111333463POPO，11AO21O23,12则该八面体的外接球半径12所以该球形容器表面积的最小值为4π2348π.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1g(x)x4ax2xx2x．21513分）已知函数4(1)当a1时，求g(x)的图象在点g处的切线方程；a(2)若g(x)0，求实数的取值范围．141）当a1时，g(x)x4x22xx2x，求导得g(x)x2x2lnx，3559则g1，而g，于是y(x，即xy0，4449g(x)gxy0.处的切线方程是所以的图象在点41g(x)x4ax22xx2x定义域为(0,)，求导得g(x)x32ax2lnx，（2）函数42lnx2lnx2ax2f(x)x2,x0，g(x)0由，得，令xx22lnx2x32x2h(x)2x2lnxx0，3求导得f(x)2x，令函数x2x2h(x)(0,)h00x1h(x)0f(x)0，显然函数在上单调递增，而h(x)0f(x)0f(x)(，则当时，，当x1时，，，函数在上递减，在)上递增，f(x)minf1，1因此a1，解得a，212a所以实数的取值范围是a.x22y22121615分）已知椭圆C:(1)求椭圆C的方程；ab0)的右焦点2与抛物线y24x的焦点重合，且其离心率为.ab(2)已知与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于M，NMN的中点为PkMNkOP（O为坐标原点）为定值.y4x的焦点为0，1）∵抛物线2∴椭圆C的半焦距为c1，c12又e，得a2，ba2c3.2ax2y2∴椭圆C的方程为143ymk0（2）证明：由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为ym，，得34kx228kmx4m120.2联立x22y143Δ0，即m24k3，2Nx,y，2Mx,y设，112834k6m34k则12yykxx2m，1212，22434km34kP,∴，22m2334kk.∴OP434k4k23∴kMNkOP为定值41715分）如图，在正四棱台ABCD中，AB2AB4.111111(1)求证：平面ABCD平面1A；13(2)若直线BC与平面ACCA所成角的正切值为，求二面角B1A的正弦值.11161）延长,,,交于一点，连接1PBD交AC于O；111由正四棱台定义可知，四条侧棱交于点P，且四棱锥PABCD为正四棱锥，即PAPBPCPD，又点O分别为AC,BD的中点，POAC,POBDACBDOAC,BD，平面故，而ABCD，故平面ABCD，又PO平面1A，1ACCAABCD1A平面；1故平面平面ABCD，即平面两两垂直，x,y,z11（2）由（1）知,OB,OP故分别以,OB,OP为轴建立空间直角坐标系，C22,0,0,B2,h,B0,22,0,C2,0,h设棱台的高为h，则1A，11BC22,2,h，而1，m0又平面的法向量可取为13BC1A由题意知直线与平面所成角的正切值为，，11631则其正弦值为(3)2(6)213|mBC|21sin1h4，解得，则|m||BC|13h2101BC22,22,0,BB2,4所以，1BCn22x22y01Bnx,y,z，则设平面的法向量为，1BBn2y4z01，令z1，则n22,22,1mn2217cosm,n[0,π]，故，而二面角范围为mn2231717故二面角B1A的正弦值为1()2.1718.（17分）某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求．（10.100的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？就餐区域性别合计南区北区男女333871107434588合计171（2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为21323在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为，；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐1414112厅的概率均为．张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为，，．2（ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率；天他去甲餐厅用餐的概率nnN*p．n（ⅱ）求第n(adbc)22,nabcd；附：abcdacbd0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.63588(33710220.8372.7060.1，1）依据表中数据，43457117依据0.100的独立性检验，没有充分证据推断H不成立，因此可以认为H成立，即认为在不同区域00就餐与学生性别没有关联．ii“第i天去乙餐厅用餐”，i“第i天去丙餐厅用餐”，（2）设“第i天去甲餐厅用餐”，i,nA、B、C两两独立，i则．ii1412121312,PACiPAPB,PC,PAAi,PAi根据题意得，111i1i1i111223iPBA,PBC,PCB．i1ii1ii12BBABC，结合全概率公式，得1（ⅰ）由22121111138PBA21PAPBAPCPBC112PB，22112422238因此，张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为．nnN*p,q,r（ⅱ）记第天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为，由全概率公式，得，nnn112pq,r则1114PAAnBACpnPAnnn1n1nn1PAAPABPACn1nn1nn1nPAPAAPBPABPCPACn1n1nn1n1nn1n1n11312rn2n1pnpn1qn1故①211rn2n1qnpn1同理②2223qn1n2rn③pqr1④nnn1pqq由①②，，，nnn13p1n1r由④，n1n1111113qqqnn12代入②，得：，即，nn132213112q故是首项为，公比为的等比数列，n12n1n1121111122qn1即n，所以33于是，当n2时n1nn11112111411992pqq12nnn139314,n1p综上所述：nn1411,n299219．（17分）已知定义域为R的函数hxxR，都有hx2πhxh2π，则称函hxP.数具有性质fx2x,gxcosx是否具有性质P智慧学库（1）判断函数3252πsinx,fx，使函数具有性质P？若存（2）已知函数,fx,，判断是否存在2在，求出的值；若不存在，说明理由；fx2π上的值域为gxsinfx函数，满足（3）设函数具有性质P，且在区间f0,f2π.gx2πgx，且在区间0,2π上有且只有一个零点求证：.f2π2π.fx2x2πfx，又1）因为，则2(x2π)2x4πf2π4π，fx2π，故函数f(x)f(2π)fx2x具有性质P；所以因为gxcosxgx2πcos(x2π)cosx1g2πcos2π，，则，又g(x)g(2π)cosx1g(x2π)gxcosx，故不具有性质P.f02πf(0)sin0（2）若函数fx具有性质P，则0f(0)f(2π)，即，πfxx)；因为，所以，所以f(2π)02f(2π)0fx2πf(x)f(2π)，若得，不妨设，由f2πf(0)(2π)(2π)(kZ)（*[，只要k充分大时，(2π)将大于1，而fx的值域为成立，3ππ5π，f(2π)0故等式（*）不可能成立，所以必有3252sin(2π)0即，因为，所以fxsin2x所以π4π，则2，此时，fx2πsin2(x2π)sin2x则，f(x)f(2π)sin2xsin4πsin2xfx2πf(x)f(2π)成立，而，即有0fx使函数2，P.具有性质P及（）可知，所以存在具有性质0，（3）证明：由函数fx2f(0)gx2πgxgx是以为周期的周期函数，则2πg2πg(0)，由可知函数sin(f(2π))sin(f(0))0f(2π)πkZ，；即由，所以f(0)0f(2π)π，以及题设可知，2π的值域为kπ，所以k0；fxkZ且函数在fxfx2πgxsinfx0，当k2，π及时，均有gx0,2π这与在区间上有且只有一个零点矛盾，因此k1或k2；当k1时，，函数，fx在2π的值域为πf(2π)πgx0,1，此时函数的值域为fx2π2π,4πfx在π,2π，的值域为f(x)π，于是函数而gx0，的值域为此时函数gxsinfxx2πx2π,4π时和时的取值范围不同，函数在当gx与函数是以2π为周期的周期函数矛盾，故k2，即f(2π)2π，命题得证.2024年高考考前信息必刷卷（新高考新题型专用）02数学·答案及评分标准（考试时间：120分钟试卷满分：150分）8540分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。12345678DBADABCC3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011ADACDABD第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。151，12．13．14．48π9四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1513分）11）当a1时，g(x)x4x2xx2x……1，分2432x2lnx，…………………2分求导得g(x)x则g而g1，………………3分5，………………4分459于是y(x，即xy0，449g(x)gxy0.……………5处的切线方程是分所以的图象在点41g(x)x4ax22xx2x定义域为(0,)，求导得g(x)x32ax2lnx，…………6分（2）函数42lnx2ax2g(x)0，…………7分由令，得x2lnxf(x)x2,x0，…………8分x22lnx2x2x23求导得f(x)2x，…………9分x2x2令函数h(x)2x32lnxx0，h(x)(0,)在h0，显然函数上单调递增，而h(x)0f(x)0，则当0x1时，h(x)0f(x)0，，当x1时，，，分函数f(x)(上递减，在)上递增，f(x)minf1…………11112因此a1，解得aa，所以实数的取值范围是a.…………13分21615分）4x的焦点为0，…………………1分…………………21）∵抛物线y2∴椭圆C的半焦距为c1，分c12又e，得a2，ba2c3.…………………4分2ax2y2∴椭圆C的方程为1…………………5分43（2）证明：由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，ymk0设直线l的方程为，…………………6分ym，得34kx分228kmx4m2120.…………………8联立x22y143Δ0，即m24k3，…………………9分2Nx,y，2Mx,y设，112834k6m34k则12，yykxx2m，…………………11分221212434km34kP,∴∴，…………………12分22m2334k4k.…………………14分OP4k34k23∴kMNkOP为定值…………………15分41715分）1）延长,,,交于一点，连接1PBD交AC于O；…………………1分111由正四棱台定义可知，四条侧棱交于点P，且四棱锥PABCD为正四棱锥，……2分即PAPBPCPD，又点O分别为AC,BD的中点，POAC,POBDACBDOAC,BD，平面故，而ABCD，故平面，ABCD……4分又PO平面1A，……5分1ACCAABCD1A……5平面；分1故平面（2）由（1）知平面ABCD，即平面两两垂直，x,y,z11,OB,OP故分别以,OB,OP为轴建立空间直角坐标系，……6分C22,0,0,B2,h,B0,22,0,C2,0,h设棱台的高为h，则1A，11BC22,2,h，而1，……8m0又平面的法向量可取为分13BC1A1由题意知直线与平面所成角的正切值为，，1631则其正弦值为(3)2(6)213|mBC|21sin1h4……10，解得，分则|m||BC|13h2101BC22,22,0,BB2,4所以，……11分1BCn22x22y01Bnx,y,z，则设平面的法向量为，1BBn2y4z01，令z1，则n22,22,1……13分mn2217cosm,n[0,π]，……14分故，而二面角范围为mn2231717故二面角B1A的正弦值为1()2.……15分171717分）88(33710220.8372.7060.1，…………2分1）依据表中数据，43457117依据0.100的独立性检验，没有充分证据推断H不成立，因此可以认为H成立，即认为在不同区域00就餐与学生性别没有关联．……3分ii“第i天去乙餐厅用餐”，i“第i天去丙餐厅用餐”，（2）设“第i天去甲餐厅用餐”，i,nA、B、C两两独立，i则．ii1412121312,PACiPAPB,PC,PAAi,PAi根据题意得，111i1i1i11123iPBA,P