2023-2024学年吉林省长春市高二年级上册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年吉林省长春市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.如图，直线//，4/的斜率分别为匕内向A，则（）

A.k4<k3<k2<ktB.&<kA<k2<kx

C.kA<ky<<k2D.<k4<kt<k2

【正确答案】D

【分析】直接由斜率的定义判断大小即可.

【详解】由斜率的定义知，…

故选：D.

2.在等比数列｛%｝中,。5%=6,/+%=5数％等于

。10

2T3232-3

A.一二或一彳B.-C.-D.§或孑

【正确答案】D

【详解】：｛q,｝为等比数列，.,.%%=。2即）=6,又。2+40=5

%。为/-5x+6=0的两个不等实根,

...,=2或任=3

Uio=31«10=2

二八|或1=1

.•.正=d=3或2

故选D

3.直线x+N+l=O被圆/+_/-2r+2y+l=0截得的弦长为（）

A.2B.J2C.1D.立

2

【正确答案】B

【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，利用垂径定理可求得结果.

【详解】由圆的方程知其圆心为（LT）,半径厂=；«+4-4=1；

••・圆心到直线x+y+l=O的距离d=变，

V22

•••所求弦长为2，所-/==V2.

故选：B.

方法点睛：圆的弦长的求法：

（1）几何法，设圆的半径为「，弦心距为d,弦长为贝

（2）代数法，设直线与圆相交于4（玉,弘），8（七,外）,联立直线与圆的方程

y-kx-^-m

,/、2（,\22,消去》得到一个关于工的一元二次方程，从而可求出玉+M，%看，

（工一。）-\-yy-b）=r

根据弦长公式|/8|=石，7?.1（占+%）-4中2,即可得出结果.

4.有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不

能同时为男生或女生，则这样的排法种数是

A.144B.216C.288D.432

【正确答案】D

【详解】先排与老师相邻的:GC&=18,再排剩下的：团，所以共有18H=432种排法种

数，选D.

点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：

（1）元素相邻的排列问题——“捆邦法''；（2）元素相间的排列问题——“插空法”；（3）元素有顺

序限制的排列问题——“除序法”：（4）带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间

接法.

5.若双曲线上+己=1"为非零常数）的离心率是否，则双曲线的虚轴长是（）

A.6B.8C.12D.16

【正确答案】B

【分析】根据题意得到。，Ac,进而根据离心率求出片,而后得到“最后求出答案.

【详解】由题意，k<0,则a=2,6=Q,c="^,双曲线的离心率

e=1亘=石=-%=16,所以，b=4,即虚轴长为&

2

故选：B.

6.设尸为抛物线C:/=4x的焦点，点/在C上，点8(3,0),若|月日=怛日，则|"8|=()

A.2B.272C.3D.3拒

【正确答案】B

【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点

A坐标，即可得到答案.

【详解】由题意得,*1,0),则尸|=|8尸|=2,

即点A到准线x=-l的距离为2,所以点A的横坐标为-1+2=1,

不妨设点A在x轴上方，代入得，71(1,2),

所以|/阴二^/(3-1)2+(0-2)2=272.

故选：B

一+」-T的二项展开式中的常数项为()

2xJ

15315

-B.—C.D.—

16164

【正确答案】A

【分析】利用二项式的通项公式即可得出.

【详解】解：二项式的展开式的通项公式为

令12—3r=0,解得：尸=4,

二项式的展开式中的常数项为3.

216

故选：A.

本题考查了二项式的通项公式的应用，属于基础题.

8.若等差数列｛七｝与等差数列低｝的前〃项和分别为S.和4,且*=矍|,则告=（）

21-13-35-37

A.—B.—C.—D.—

23114447

【正确答案】C

【分析】根据等差数列的性质和求和公式，得到鲁=生，即可求解.

“加

【详解】由等差数列的性质和求和公式，可得

15（《+45）

ax_at+als_2_品_2xl5+5_35

4+九一15他+如）一元-3xl5-1-44

故选：C.

二、多选题

9.若方程W_+E=l所表示的曲线为c,则下面四个说法中错误的是（）

3-tt-1

A.若则C为椭圆

B.若C为椭圆，且焦点在y轴上，则2<3

C.曲线C可能是圆

D.若C为双曲线，贝卜<1

【正确答案】AD

根据题意依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，当f=2时，曲线为C表示圆，故不正确；

对于B选项，当曲线C为焦点在夕轴上的椭圆时，则f-l>3-f>0,解得2</<3,故正确;

对于C选项，当f=2时，曲线为C表示圆的方程，故正确；

对于D选项，当曲线C为双曲线时，则（3—冲-1）<0,解得t<l或,>3,故错误：

综上，错误的是AD.

故选：AD.

本题考查椭圆，双曲线的方程，考查运算能力，是基础题.

22

10.已知M是椭圆C：1_+?=1上一点，耳，鸟是其左右焦点，则下列选项中正确的

是（）

A.椭圆的焦距为2B.椭圆的离心率e=^

2

C.用+|屿|=4近D.△吟鸟的面积的最大值是4

【正确答案】BCD

【分析】根据椭圆的性质同、定义计算出焦距、离心率、焦点三角形面积并判断各选项.

22

【详解】由椭圆方程二+-=1得a=26，b=2,所以c=2,

84

焦点为2c=4,A错；离心率为e=：=J^=孝，B正确；|阿|+|叫|=2a=4正，C正

确；当"短轴端点时，△加尸内的面积的最大，最大值为:x4x2=4,D正确.

故选：BCD.

22022

11.若（IT严2=斯+axx+a2xH---Fa2022x，贝U（）

A.展开式中所有的二项式系数之和为22°22

B.展开式中二项式系数最大的项为第1012项

C.=1

D.4+。2+。3+",+。2022=0

【正确答案】ABC

【分析】利用二项式系数的性质可以判定AB;利用赋值法可以判定CD.

【详解】展开式中所有项的二项式系数和为。卜2+C；022+…+C；修=产22,故A正确：

展开式中第1012项的二项式系数为是所有项的二项式系数中的最大值，故B正确；

在二项式展开式中，令x=0可得。。=1,故C正确；

令X=1可得+41+…+。2022=0，,a\+…+。2022=一旬=-1,故D错误.

故选：ABC

12.设数列｛4｝的前〃项和为，，若存在实数A,使得对任意〃eN\都有|S"|<N,则称

数列｛见｝为"T数列''.则以下结论正确的是（）

A.若｛《,｝是等差数列，且《>0,公差d<0,则数列｛〃“｝是“T数列”

B.若｛%｝是等比数列，且公比4满足|如<1,则数列｛/｝是“T数列”

〃+2

C.若4,=-;^_BT，则数列｛%｝是“7数列”

n(n+1)2

,5

D.若%=口_,则数列｛%｝是“7数列

4/?~-1

【正确答案】BC

写出等差数列的前〃项和结合“7数歹的定义判断4写出等比数列的前〃项和结合“T数列”

的定义判断&利用裂项相消法求和判断C；当〃无限增大时，|七|也无限增大判断。.

【详解】在/中，若｛4｝是等差数列，且q>0,公差d<0,则S“=?〃2+K]〃，当〃

无限增大时，|S,J也无限增大，所以数列｛。.｝不是“T数列"，故/错误.

在8中，因为｛勺｝是等比数列，且公比4满足

所以B，l=叱:)=言-图|言+凿<21言卜所以数列｛%｝是“7数列”，故8

正确.

〃+21

在。中，因为勺=,所以

n（n+l）2n+,n-2"（n+l）-2"+,

-----；---------7-------7-------1+-I4=—/。一所以数列

1x2'2x222x223x23n-28+1）-2"123+1）"

｛%｝是“7数列”，故C正确.

n211

在。中，因为乙=1+,所以

4n2-l-44n2-\

〃-1---F---------F----z---+4/f-l,当〃无限增大时，|S,J也无限增大，所以数

S.]34x2-4x32-1

列｛对｝不是"T数列”，故。错误.

故选：BC.

方法点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突

破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)7匚不=-一

nyn+k)k\nn+kJ

潟+64"-町⑶（2-1）；2〃+1）中止r*

2"（2-'-1）-（2"-1）11

；此外，需注意裂项之后相消的过程中

（2,,-1）（2,,+|-1）-（2n-l）（2"+l-l）-2"-\~2"+'-\

容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.

三、填空题

13.有3名男演员和2名女演员，演出的出场顺序要求2名女演员之间恰有1名男演员，则不

同的出场顺序共种

【正确答案】36

【分析】本道题目是一个排列问题，先将2名女生和1名男生捆绑，然后排列，在作为一个

整体参与全排，即可.

【详解】采用捆绑法，将2名女演员和1名男演员捆绑有3x4；=6,然后在全排，有《=6,

共有36种方法.

本道题目考查的是排列问题，可以采取捆绑法进行解答.

14.若直线4：2、+什-2=0与直线小x-y+a=O平行，则直线4与4之间的距离为.

【正确答案】立

【分析】先根据直线4与4平行求出参数。，再由两平行直线间的距离公式可得答案.

【详解】；直线4与4平行，•••?===二，解得。=-2,

1-1a

・，・直线4：X—y—l=O,直线4：x—y—2=0,

...直线/,与1之间的距离d12

2=I~^Z)I=显.

Vi+T

衅

15./(x)=d-，利用课本中推导等差数列前〃项和的公式的方法，可求得

2x-1

+…+H=.

U021J-U021J1.2021)------

【正确答案】2020

【分析】先证得/(力+/(1-无)=2,利用倒序相加法求得表达式的值.

“、”、2x2(l-x)2(2x-l)

【详解】解：由题意可知/x+/I—=2,

2x-l2(l-x)＜-l一:2x-l「

+.••+/

卜/(2021

人nIS=//(2200220J、+//(2200129J、+…+A1A

两式相加得，2s=2020x2

S=2020.

故填：2020

本题考查借助倒序相加求函数值的和，属于中档题，解题关键是找到/")+/(l-x)=2的

规律.

\PA\,

16.在平面上给定相异两点4B,设尸点在同一平面上且满足扁=2，当％>0且4x1时,

P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿

工22

波罗尼斯圆，现有双曲线J_y_=1a>0b>0A,8为双曲线的左、右顶点，C,。为双

af

|PJ|64

曲线的虚轴端点，动点尸满足身=2,"48面积的最大值为?，APC。面积的最小值为

3

4,则双曲线的离心率为.

【正确答案】7

【分析】根据48为双曲线的左、右顶点可设/=(-。,0),8何,0),尸(3》,由两点间距离公式

并化简可得动点P的轨迹方程.由48为双曲线的左、右顶点可知当尸位于圆的最高点时

AP/8的面积最大,根据面积最大值求得〃.当P位于圆的最左端时APCD的面积最小,结合最

小面积可求得b,即可求得双曲线的离心率.

【详解】设/=(-。,0),巩。,0),尸(xj),

依题意，得|尸闻=21冏，

即J(x+r)2+丁=2yl(x-a)2+y2,

两边平方化简得,则圆心为半径/=

当P位于圆的最高点时”48的面积最大，最大面积为51x20x54〃=：64,

解得。=4；

当P位于圆的最左端时APCD的面积最小，最小面积为

解得b=3,

故双曲线的离心率为e=Jl+f=：.

故答案为：（

本题考查了两点间距离公式的应用，轨迹方程的求法，圆与双曲线的综合应用,双曲线离心率

的求法，属于中档题.

四、解答题

17.已知+展开式的二项式系数之和为256

⑴求〃；

（2）若展开式中常数项为3瞪5，求现的值;

8

【正确答案】（1）8

(2)±|

【分析】（1）根据二项式系数之和为2"=256,可得〃的值;

（2）根据二项式的通项得到从而得到〃=4,即可得到答案.

【详解】（1）+展开式的二项式系数之和为256,

2"=256,解得"=8

（2）+的通项公式：=

令8-2「=0,解得r=4,则

8

解得加=±;

18.已知等差数列｛%｝的前"项和为S“=/+〃,

⑴求｛叫的通项公式；

⑵求数列心忐不

，的前”项和骞.

【正确答案】(l)a“=2”(，?eN*)

n

(2)7；,=

2774-1

\S-S.,n>2

【分析】(1)根据公式%=;7n可求得4.

凡〃=1

1\(11、

(2)结合⑴得/—=--—j-三再根据裂项相消法求数列的和.

【详解】(1)解：因为S〃=〃2+”，

当〃=1时，q=S[=2

22

当〃22时，an=Sn-SZJ_!=n+n-(w-l)-(/?-l)=2w

又6=2也适合上式

所以勺=2〃(〃wN,)

(2)解：由(1)知%=2〃(〃EN")

一]_[_1_____

=9

所以，(a„+l)-(a,f-l)(2«-l)(2n+l)2n-\2n+l)

.1乙1111111、1、n

所以，T〃=-1---1------F-----F...H------------=-41-----=-----

〃21335572/7-12/7+1J2(2//+1J2/1+1

19.如图①所示，长方形48CD中，AD=\,48=2,点M是边C。的中点，将△力DW沿

4"翻折到连结P8,PC,得到图②的四棱锥P-45cM.

(1)求四棱锥尸-48CW的体积的最大值;

(2)若棱心的中点为N,求CN的长；

(3)设P-/A/-O的大小为e,若。=60。，求平面P4W和平面尸8c夹角的余弦值.

【正确答案】(1)也

【分析】(1)作出辅助线，得到当平面P4WJ■平面/8CM时，P点到平面/8CM的距离最

大，四棱锥P-/8cM的体积取得最大值，求出尸G=从而得到体积最大值；

22

(2)作出辅助线，证明出四边形CNQM为平行四边形，从而得到CN=M。即可得所求值;

(3)作出辅助线，得到NPG。为的平面角，即NPGO=60。，建立空间直角坐标

系，求解平面尸和平面P8C的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得即可.

【详解】(1)解：取4”的中点G,连接PG,

当平面尸4W_L平面/8CM时，P点到平面/8CW的距离最大，四棱锥尸-Z8CA/的体积取

得最大值，

此时PG_L平面Z8CM,且PG=2/A/=变，

22

13

底面/8CM为梯形，面积为(l+2)xlx：=:，

22

则四棱锥尸-48CM的体积最大值为_Lx3x』l=1

3224

(2)解：取4P中点。，连接NQ,MQ,

则因为N为尸8中点，所以NQ为尸28的中位线,

所以NQ//AB且NQ=,

因为〃为CD的中点，四边形N8C。为矩形，

所以CM///8且

2

所以CM"NQ且CM=NQ,

故四边形CN0M为平行四边形，

所以CN=MQ=J]1)+12;

(3)连接。G,过户作PH_LOG于点H,由题意得尸”_L平面/8CM,

因为D4=CM,所以。G_L/M,

所以NPG。为尸-4〃-。的平面角，即NPGD=60。，

所以HG，PG=LDG=2,HP=BPG='DG=虫，

224224

过点。作DzJ.平面/8CQ,以。为坐标原点，分别以。/,DC,OZ所在直线为x轴，y

轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则网,0,0),M(0,l,0),8(1,2,0),C(0,2,0),P,

l七7

cfT(31

设平面P/W的法向量为4=区,必，4),又4A1=(-l,l,0),21=

-玉+乂=0士=必..

则1yj~6，令ZI=2,则〃|=(跖疯2),

3〃「

%=F4

17_如］

设平面P8C的法向量为〃2=(X2,%,Z2)，又因为CB=(l,0,0),PC=-4’4’4『

x2=0I%?=0

则1J卡「,JL，令Z[=7,可得：〃,=(0,V6,7)，

一产+井-722=0产=7芍

设两平面夹角为。，

0+6+145/55

则COS弭，“2=F

所以平面和平面P8C夹角余弦值为叵.

11

20.已知点尸在抛物线。:/=2眇(0>0)上，且点P的纵坐标为1,点尸到抛物线焦点尸的

距离为2

(1)求抛物线C的方程；

(2)若抛物线的准线与〉轴的交点为“，过抛物线焦点尸的直线/与抛物线C交于A,B,

且求|4用一|8尸|的值.

【正确答案】(1)x2=4y(2)4

【分析】(1)由抛物线定义，点尸到抛物线焦点厂的距离为2,故1+£=2,可得解

2

(2)AB工HB可转化为女艰•=-I，代入坐标可得(必—1)(%+1)+中2=0,即=16,

M尸|一|8尸|=必+1-%-1=：储-芯)可得解

【详解】(1)设尸(x0,l),由抛物线定义，点P到抛物线焦点厂的距离为2

故1+勺2;.p=2

故抛物线C的方程为：X2=4P；

(2)抛物线f=4y的焦点为尸(0,1),准线方程为y=-l,"(0,-1)；

设/(占,%)8(3,%),

直线的方程为y=履+1,代入抛物线方程可得x2-4kx-4=0,

：.再+x2=4k,x,x2=-4,...①

由可得砥1&.=一1

.y,-1.y.+1

又^rAB=^AF=，^HB=1

演X2

.21Z1.A±1,

>•=1,

%x2

•••(必-1)(夕2+1)+'俨2=。，

BPf-X1--1jf—X2+1)+X]/=。，

焉X\X2+jI；-X；)-

把①代入②得，X；-¥=16,

本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档

题

12

21.已知数列｛“J满足3《用=%+三，4=§，设2=3"””.

（1）证明：也｝为等差数列:

（2）求数列｛《,｝的前〃项和S“

52〃+5

【正确答案】）证明见解析：）

（1（24-4-3w,

【分析】（1）根据等差数列的定义,证明也用为常数，即可得到答案;

（2）求出数列的通项公式，再利用错位相减法求和：

,+|

【详解】（1）3«„+|=«„+y=>3-a,l+l^3'+bn+l-b„=],

也｝为等差数列;

(2)b]=3-a,=2,:.bn=2+(//-1)=/?4-1,

n+1

­**Sn=«|+«2++"”=2,§+3.承+(〃+l).尹，①

/.—S=2-r-+3,-r++(〃+1)•j,(^)

3