2023-2024学年上海市向东中学高二年级上册期末数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年上海市杨浦区高二上册期末数学模拟试题

一、填空题

1.“两条直线没有公共点”是"两条直线是异面直线”的条件.

【正确答案】必要不充分

【分析】两条直线没有公共点，得到异面或者平行，异面可以得到没有交点，得到答案.

【详解】两条直线没有公共点，则两条直线平行或者异面

两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点

“两条直线没有公共点''是"两条直线是异面直线”的必要不充分条件.

故答案为必要不充分

本题考查了充分必要条件，属于基础题型.

2.已知向量方=(3,5,—1)方=(2,1,3)忑=。,-1,一2),则向量的坐标为.

【正确答案】(5,0,-12)

【分析】根据向量坐标运算法则即可求解.

【详解】由题意可知，加+4=(3,5,—1)-(2,1,3)+40,-1,—2)=(5,0,-12).

故(5,0,-12)

9兀

3.已知球的体积是万，则该球的半径为.

3

【正确答案】-##1.5

2

【分析】根据球的体积公式夕=当公，代入就可求得半径.

47rQjr,74

【详解】设球的半径为凡根据球的体积公式-==*=?,即外=?,解得及=；.

3282

3

故答案为

2

4.从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上

的数字之积是2的倍数的概率为.

4

【正确答案】-##0.8

【分析】列举出所有情况，及数字之积是2的倍数的情况，从而利用古典概型求概率公式求

出答案.

【详解】6张卡片中无放回随机抽取2张，有以下情况:

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2⑸,(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),

（4,5）,（4,6）,（5,6）,共有15种情况,

其中数字之积是2的倍数的情况有

（1,2）,（1,4）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,4）,（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,6）,

174

共12种情况，故概率为行=《

吧

5.用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为4正，那么原正方形的面积为.

【正确答案】16

【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积.

【详解】设原正方形的边长为。，根据斜二测画法的原则可知。c"，。,八;。

高4。=。7对1145。=儿整=也。,

224

«2=16,故原正方形的面积为16,

6.将边长分别为3cm和2cm的矩形，绕边长为3cm的一边所在直线旋转一周得到一个圆柱,

则该圆柱的体积为cm5.

【正确答案】12兀

【分析】确定圆柱的底面半径和母线长，利用侧面积求解公式可得.

【详解】解：由题知，圆柱的底面半径为/•=2cm,母线长为/=3cm,

所以该圆柱的体积为，=Ttr2/=12Kcm3

故127t.

7.棱长为2的正四面体（所有棱长都相等）的侧棱与底面所成角的大小是.

【正确答案】arctan&

【分析】设正四面体的顶点P在平面/BC中的投影为点O,进而得NPC。是侧棱PC与底面

/8C所成角，再根据几何关系求解即可.

【详解】解：如图，设正四面体的顶点户在平面N8C中的投影为点。，

所以，由正四面体的性质可知，OP，平面N8C,且0为等边三角形Z8C的中心，

所以，NPC。是侧棱PC与底面/8C所成角，且OC是等边三角形/8C的边的中线,

因为正四面体P-48C的棱长为2,

所以，。。=述，OP=YIPC2-OC2=,

33

OPI—

所以，在RtAPOC中，tanZPCO=—=V2,

所以，侧棱与底面所成角的大小是arctan应

故arctan&

P

B

8.圆锥底面半径为3,其侧面展开图是一个圆心角为牛的扇形，则此圆锥的侧面积为

【正确答案】27兀

【分析】侧面积即为扇形面积，底面周长为扇形弧长，由此可得扇形半径，后可得答案.

【详解】因底面半径为3,则底面周长即扇形弧长为2兀x3=67t,又圆心角为与，则扇形半

径为.五二则扇形面积即圆锥侧面积为」x—x92=27n

T23

故27兀

9.正三棱锥尸-48。底面边长为2百，侧棱长为4,则二面角P-的大小为.

【正确答案】arccos'至

13

【分析】根据题意分析可得二面角P-BC-Z的平面角为NPM4,利用余弦定理运算求解.

【详解】取8c的中点连接

,/PB=PC=PA=4,AB=AC=BC=m，则PM±BC,AM±BC,

故二面角P-8C-/的平面角为NPA",

由题意可得：PM=屈,AM=3,PA=4,

..PM2+AM1-PA1V13n/*4u「n”l

.cosZ-PMA-----------------=---,且w«e[u,兀],

2PAAM13

故二面角P-BC-A的大小为arccos'亘.

10.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4,母线（原圆雉母线在圆

台中的部分）长为9,则原圆锥的母线长.

【正确答案】12

【分析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果.

【详解】由题意可得，几何体如下图所示：

取轴截面可知，圆台的上、下底面半径的比为C兰D；=；1,且CD//AB,BD=9,

AB4

设圆锥的母线长为/,根据相似比可CD得＜ED=胃I=-广9=:1,解得/=12,

ABEBI4

即原圆锥的母线长为12.

故答案为.12

11.在棱长为。的正方体力88-44G4中，M,N分别是正方形/88、正方形功℃

的中心，则过点A,M,N的平面截正方体的截面面积为.

【正确答案】—a2

2

【分析】连接NC，与C,N4,找到过点/、M,N的平面截正方体的截面,确定其形状，求

得截面边长，即可求得答案.

【详解】如图连接AC,则AC过点M连接8c，则8c经过点N,连接AB,,

则过点4、M、N的平面截正方体的截面为等边ACB},

因为正方体棱长为。，故4cBM长为6a，面积为正.（缶了=正/,

故旦2

2

12.设一组样本数据玉，王:，…,*8的方差为6,则数据加+1,3电+1,…,3%+1的方差是.

【正确答案】54

【分析】设%,毛的平均数为1结合再，马，…，须的方差为6,根据平均数和方差的计算

公式得到3%+L3%+L…,3%+1的平均数和方差.

【详解】设玉,々，…，4的平均数为1则芭+々+…+毛=盛，且

故3%+1,3叫+1广・,3鼻+1的平均数为

=3x+1,

(3玉+1—3x-1)一+(3%2+1-3x-1J---H(34+1-3x—1lj-

方差为

8

22

9(x,-x)+(x2-x)+---+(xg-xj^

8

故54

二、单选题

13.若直线/的方向向量为了，平面a的法向量为口能使/〃a的是()

A.尸=(1,0,0),万=(一1,0,0)B.尸=(1,一2,3),万=(0,3,2)

C.r=(O,l,l),n=(-l,O,-l)D.尸=(1,3,5),万=(1,0,-1)

【正确答案】B

【分析】由题意知，要使/〃a,则直线/的方向向量产与平面a的法向量为垂直，即产•万=0.

【详解】若/〃a,则产•万=0；

对于A：r=(l,0,0),«=(-1,0,0),；-«=(1,0,0)-(-1,0,0)=-1^0,故A错误；

对于B：r=(l,-2,3),»=(0,3,2),；.«=(1,-2,3)-(0,3,2)=0,故B正确；

对于C：r=(O,l,l),n=(-1,0-1),；w=(0,l,l)(-l,0-l)=-1^0,故C错误；

对于D：7=(1,3,5),方=(1,0,-1),〉7=(1,3,5)«,0,-1)=-4*0,故D错误；

故选：B.

14.下列命题中真命题是()

A.四边形一定是平面图形

B.相交于一点的三条直线只能确定一个平面

C.四边形四边上的中点可以确定一个平面

D.如果点A,B,Ce平面a,且A,8,Ce平面尸，则平面a与平面尸为同一平面

【正确答案】C

【分析】利用平面的基本性质逐一判断即可.

【详解】对于A,四边形有平面四边形和空间四边形，由不共面的四个点构成的四边形为空

间四边形，故A错误：

对于B,三棱锥三条侧棱所在的直线相交于一点，但这三条直线不共面，故B错误；

对于C,由四边形四边上的中点连线为平行四边形，平行四边形对边平行，所以四边形四边

上的中点可以确定一个平面，故C正确：

下面证明四边形四边上的中点连线为平行四边形.

证明：如图为四边形Z8CD,其中E,F,G,H分别为4D,AB,BC,CO的中点,

连接8。，FE,GH,

由E,F为4D,AB,则尸E〃8£>,Q.FE=^BD,同理G〃〃8D,且

22

所以FEGH,且FE=GH,所以四边形ErGH为平行四边形.

立体四边形平面四边形

对于D,当点A,B,C在一条直线上时，平面a和与平面尸也可能相交，故D错误.

故选：C.

15.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人

来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为

A工--D-

A-10uB'8JC8u'10

【正确答案】B

【详解】试题分析：因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿

灯的概率为40三-1户5=5[,故选B.

几何概型

【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度'’要有正确的认识，它只与大小有关，而与

形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的

求解方法.

16.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的

调查数据整理得到如下频率分布直方图：

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

【正确答案】C

【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作

为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计

值，计算后即可判定C.

【详解】因为频率直方图中的组距为1,所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图

中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.

该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.02+0.04=0.06=6%,故A正确；

该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.04+0.02x3=0.10=10%,故B

正确；

该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为

0.10+0.14+0.20x2=0.64=64%>50%,故D正确;

该地农户家庭年收入的平均值的估计值为

3x0.02+4x0.04+5x0.10+6x0.14+7x0.20+8x0.20+9x0.10+10x0.10+11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02

（万元），超过6.5万元，故C错误.

综上，给出结论中不正确的是C.

故选：C.

本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的

频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可

以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于慧X组距.

组距

三、解答题

17.某高中高一、高二、高三年级共有学生800名，各年级男、女生人数如下表:

高一高二高三

男生（人数）149Xy

女生（人数）143130Z

已知在三个年级的学生中随机抽取1名，抽到高二年级男生的概率是0.16

⑴求x的值；

（2）现用分层抽样的方法在三个年级中共抽取32名学生，应从高三年级抽取多少名？

【正确答案】（1）128.

（2）10名.

【分析】（1）根据抽到高二年级男生的概率是0.16,列式计算，可得答案.

（2）求出高三年级的总人数，根据分层抽样的比例，列式计算，求得答案.

Y

【详解】(1)由题意可知丽=0.16,.・.x=128.

(2)高三年级人数为800-(149+143)-(128+130)=250,

故用分层抽样的方法在三个年级中共抽取32名学生，

应从高三年级抽取人数为125^0x32=10（名）.

800

18.甲乙两名射击运动员在某次选拔赛中的成绩的茎叶图为:

甲乙

11033

336779922366

88889

如果以这个成绩为依据选择一个人参加正赛，从平均水平和稳定性的角度出发应该选择谁?

用统计学相关数据说明你选择的理由.

【正确答案】选择甲，理由见解析

【分析】分别求出而，心和§3s3然后比较大小即可求解.

-88+88+93+93+96+97+97+99+101〜2

【详解】依题意,x甲=-----------------------------------=94-,

93

-88+89+92+92+93+96+96+103+103

x乙=-------------------------------------=94-,

93

=1^88-94^+(88-9用+193一9引+(93-9引H

96-9用+(97-941)+(97-9*)+(99-9*)+(101-9用=161

88-9用+(89—943+(92-9叫+(92-942+

93-94|)+(96-941)+(96-941)+1103-941)+(103-9*)=23<,

所以x甲=xz.,Sj<.

所以从平均水平和稳定性的角度出发应该选择甲.

19.三棱锥力-BCD中，O,E分别为8。，8c中点，CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=0.

(1)求证：/O_L平面5cD；

(2)求异面直线与CO所成角的大小.

【正确答案】(1)证明见解析.

八、^2

(2)arccos——.

【分析】(1)连接。C,证明NOLOC,根据线面垂直的判定定理即可证明结论;

(2)取/C的中点连接OM、ME、OE,找到异面直线48与CD所成角，求出相关线

段长，解三角形，即可求得答案.

【详解】(1)连接。C,,:AB=AD=E,。为8。的中点，

22

AAOA.BD,OD=^BD=i,S.Ao=->jAD-OD=V2^T=1,

又CA=CB=CD=BD=2,。为8。的中点，

•*-CO_L8。，且CO=y/CD2-OD2=74^1=TJ，

在NOC中，AO2+CO2=4=AC2,

，N/OC=90°,即

又。。(15。=。,0。,8。匚平面8(20,

.•.40，平面5。。.

(2)取NC的中点M,连接OM、ME、OE,

由£为BC的中点，知ME"ABQEHDC、

：,直线OE与EM所成的角就是异面直线AB与CD所成角或其补角,

在VOA/E中，EM=-AB=—,OE=-DC=\,

222

由NO_L平面8cD,OCu平面BCD,所以4010C,

•：OM是直角三角形ZOC斜边上的中线，.•.OA/=g/C=l,

|+:-1也

OE2^-EM2-OM2

在△OEM中，由余弦定理可得:cos/.OEM=

2OEEM2xlx——

2

由于异面直线所成角的范围为(0,自,

所以异面直线AB与C。所成角的大小为arccos也.

4

20.如图所示的正四棱柱/8C。-45GA的底面边长为1,侧棱，4=2,点E在棱CR上,

(A>0).

(1)当时，求三棱锥A-EBC的体积；

2

(2)当异面直线5E与。。所成角的大小为arccos］时，求4的值.

【正确答案】(1)7(2)^=—

64

【详解】试题分析：(1)正四棱柱力8C。-44GA中，AG，平面破c,可得

GEBC=；SRZD、G=1X1C£SC=1；(2)以。为原点，射线“4、DC、。。作x轴、

V轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，可得配=(0,1,-2),诙=(-1,0,22),利用空

间向量夹角余弦公式列方程求解即可.

一1___

试题解析：(1)由CE=；cq,得CE=1,又正四棱柱ABCD-44GA,则AGJ_平面EBC,

则L-&SC=ISR,A£ceWG=：X；CE■8C=；.

33ZO

*A

(2)以。为原点，射线D4、DC、。口作x轴、V轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标

系(如图)，

则80,1,0),£(0,1,22),4(0,0,2),C(0,l,0),

即麻=(0,1,-2),=(-1,0,22)

又异面直线BE与2。所成角的大小为arccos：,

2\D^C-BE|0X(-1)+1X0+(-2)-22||4A|

则5］麻H赤6川+4储J5+20D'

化简整理得16万=5,又2>0,即4=好.

【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求异面直线所成的角角，属于难题.空间向量解答

立体几何问题的一般步骤是：(1)观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；(2)写出相应点

的坐标，求出相应直线的方向向量；(3)设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为

零列出方程组求出法向量；(4)将空间位置关系转化为向量关系；(5)根据定理结论求出相

应的角和距离.

21.如图，等腰Rt4/08,。4=。8=2,点C是03的中点，498绕80所在的边逆时针

旋转一周.设。4逆时针旋转至0。，旋转角为。，。40,2劝.

D

(1)求48。旋转一周所得旋转体的体积/和表面积S；

7T

(2)当时，求点。到平面力8。的距离;

(3)若/C18D,求旋转角。.

【正确答案】(1)P=3■,5=4>6兀+2石兀.

⑵

7

24

(3)6=5兀或

【分析】(1)旋转体的体积为圆锥80与圆锥CO的体积之差；表面积S为圆锥80与圆锥CO

的侧面积之和；

(2)三棱锥8-40。与三棱锥O-力8。体积相等，使用等积转化法求点。到平面/I8O的距离；

⑶取。。中点E,连接CE,/E,得然1四，在RtZC£求得/E,在△/(?£中由余弦定理得

C0S40E,从而求得旋转角0.

【详解】(