高数d26一元函数积分学二(62p)省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

第二章五、历年试题解析第三节机动目录上页下页返回结束一元函数积分学(二)(62)第1页令已知机动目录上页下页返回结束五、历年试题解析且f(1)=0,则f(x)=___.解:则代入由f(1)=0,得c=0.故应填注释:了解和不定积分.处理这类问题方法是先作变量代换求出本题考查对于导函数然后积分就可求得例1.(04.4分)题型(一)

不定积分计算(3-38)第2页例2.(99.3分)解:F(x)是f(x)原函数,机动目录上页下页返回结束设f(x)是连续函数,则().则因为f(x)原函数F(x)可表示为:故(A)正确选项.(A)当f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数.(B)当f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数.(C)当f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数.(D)当f(x)是单调增函数时,F(x)必是单调增函数.A注释:本题考查原函数概念及变上限函数表示法.经过举例即知选项(C)与(D)均不正确.对于选项(A),(3-29)第3页例3.(93.5分)机动目录上页下页返回结束解法1:被积函数是两类函数相乘,

应使用分部积分法.

原式=

计算

原式=又(3-15)第4页机动目录上页下页返回结束解法2:则令本题考查不定积分换元积分法与分部积分法.注释:第5页解法1:机动目录上页下页返回结束例4.(01.6分)求(3-33）第6页解法2:令则机动目录上页下页返回结束注释:本题考查不定积分分部积分法和换元积分法.第7页例5.(94,5分)求原式=机动目录上页下页返回结束解法1:(3-18)第8页解法2:由半角公式得机动目录上页下页返回结束第9页解法3:用万能代换,令则机动目录上页下页返回结束注释:本题考查三角函数有理式不定积分.第10页

设f(x)连续,则f(x)=_____________.机动目录上页下页返回结束题型(二)定积分积分计算例1.(89.3分)

且解:令则f(x)=x+2a.代入得由此得则f(x)=x–1.应填x–1.

x–1

注释:本题考查定积分计算.本题关键是搞清是个常数,只要定出这个常数,

f(x)就可求得.(3-6)第11页例2.(90.5分)求解:机动目录上页下页返回结束原式=注释:本题考查定积分分部积分法.(3-9)第12页例3.

(92.5分)设解:求机动目录上页下页返回结束令则原式=且x=1时,t=–1,

注释:本题考查定积分换元积分法.

x=3时,t=1.(3-11)第13页例4.(98.6分)原式=解:因为所以机动目录上页下页返回结束求由夹逼原理可知,而(3-26)第14页例5.(00.3分)机动目录上页下页返回结束解法1:解法2:由定积分几何意义知,注释:定积分表示圆所围成面积此圆半径为1,其面积为故本题考查定积分换元积分法.解法2利用定积分应填表达了填空题解题技巧,应注意掌握.几何意义求解,(3-31)第15页例6.(07.4分)机动目录上页下页返回结束注释:应填解:本题考查定积分分部积分法.(3-42)第16页例7.(02.3分)注释:解:机动目录上页下页返回结束1本题考查广义积分计算.应填1.(3-34)第17页例8.(05.11分)曲线C方程为y=f(x),如图,点(3,2)是它一个拐点,机动目录上页下页返回结束直线分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处切线,其交点为(2,4),设函数f(x)含有三阶连续导数,计算定积分解:由点(3,2)是曲线y=f(x)拐点知,由直线分别是曲线

y=f(x)在点(0,0)与(3,2)处切线知,(3-41)第18页机动目录上页下页返回结束利用定积分分部积分法可得:注释:本题是综合题.解题关键是从图上得到上述条件.第19页机动目录上页下页返回结束题型(三)变上限积分例1.(87.8分)求正常数a与b,使等式成立.解:由洛必达法则知:原式=所以b=1.原式=注释:本题考查带有变上限积分未定式极限,求这但要注意洛必达法则类极限普通都是用洛必达法则,与等价无穷小代换结合,以简化运算.(3-2)第20页机动目录上页下页返回结束设f(x)为已知连续函数,例2(87.3分)其中s>0,t>0,则I值().(A)依赖于s和t;(B)依赖于s,t,x;(C)依赖于t和x,不依赖于s;(D)依赖于s,不依赖于t.解:可见I值只与s相关,故选项(D)正确.D注释:本题表面上看是变上限积分,实际上只需作变量代换并利用定积分概念即可得到结果.(3-3)第21页例3(88.3分)且f(7)=_____.机动目录上页下页返回结束等式令x=2,得解:设f(x)是连续函数,两边对x求导数得:应填注释:本题考查变上限积分求导.则而令

x=2是解题关键.(3-4)第22页机动目录上页下页返回结束且则解:设f(x)是连续函数,例4.

(90.3分)由知故选项(A)正确.A注释:本题考查变上限积分求导.用直接法解此题.(3-8)第23页令机动目录上页下页返回结束例5(93.3分)解:解得则F(x)单调降低区间为注释:本题考查变上限积分求导和函数单调性判定.单调降低区间为_________.函数(3-12)第24页例6.(93.3分)解:机动目录上页下页返回结束设则当x→0时,因为所以应选(B).(A)等价无穷小;(B)同阶但非等价无穷小;(C)高阶无穷小;(D)低阶无穷小.B注释:本题考查变上限积分求导及无穷小比较.

f(x)是g(x)().故当x→0时,

f(x)是g(x)同阶但非等价无穷小.(3-13)第25页例7.(94.5分)第二节目录上页下页返回结束设在求注释:值.解:本题考查变上限积分求导和参数方程求导数.(3-17)第26页例8(95.3分)因为注释:本题考查变上限积分求导.机动目录上页下页返回结束所以应填注意:解:在变上限积分中,

t是积分变量,x是参变量,一经取定不再改变,故可提到积分号外面.另外,因为积分是“积不出来”,所以积分无须计算!(3-19)第27页例9(96.3分)机动目录上页下页返回结束解:f(0)=0,且当x→0时,设f(x)

有连续导数,无穷小,是同阶则k等于().

(A)1;(B)2;(C)3;(D)4.约去xC(3-20)第28页机动目录上页下页返回结束分子

而分式极限存在且为非零常数,

则k=3

.故应选(C).

本题考查变上限积分求导,注释:洛必达法则及无穷小阶比较.第29页机动目录上页下页返回结束例10.(97.3分)则F(x)().设本题考查变上限积分法导数及定积分性质.注释:(A)为正常数;(B)为负常数;(C)恒为零;(D)不为常数.解:因为则而故选项(A)正确.A(3-23)第30页(A为常数),机动目录上页下页返回结束例11.(97.6分)设f(x)连续,求并讨论在x=0处连续性.解:由题设知

(0)=0,f(0)=0.令xt=u,由导数定义知则有因为所以在x=0处连续.注释:本题考查定积分换元积分法,变上限积分求导,导数定义求导,函数在一点连续性.即有(3-24)第31页例12.(98.3分)设f(x)连续,则机动目录上页下页返回结束注释:本题考查变上积分求导.解:则t=0时,t=x时,u=0.故选项(A)正确.A这类问题通常是通过变量代换将被积函数中参变量x换到积分限上去.(3-25)第32页例13.(99.3分)当t=0时,u=x;机动目录上页下页返回结束解:t=x时,u=0,则有

应填

注释:本题考查换元积分法和变上限积分求导.

(3-28)第33页例14.(98.6分)设f(x)是区间[0,1]上任一非负连续机动目录上页下页返回结束函数.(1)试证存在使得在区间上以为高矩形面积等于在区间上以y=f(x)为曲边曲边梯形面积.(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导,证实(1)中是唯一.分析:先写出欲证式子:存在将此式凑成罗尔定理结论(3-27)第34页形式并满足对应条件,即结构

(x),为了证实机动目录上页下页返回结束注释:本题考查罗尔定理,变上限积分求导,函数单调性.唯一性,只要证实单调,即证为定号即可.证:令则

(x)在[0,1]上满足罗尔定理条件,所以存在使这就证实了唯一性.第35页

在点

(0,0)处切线相同,并求极限机动目录上页下页返回结束例15.(02.7分)已知两曲线y=f(x)与写出此切线方程,分析:可求得然后用导数即可.解:由题设条件知f(0)=0,故所求切线方程为y=x.两曲线y=f(x)与

在点

(0,0)处切线相同,定义求极限(3-35)第36页例16(04.4分)把排列起来,机动目录上页下页返回结束时无穷小量使排在后面是前一个高阶无穷小,则正确排列次序是().(A)

,

,

;(B)

,

,

;(C)

,

,

;(D)

,

,

.解:因为所以时

是比

高阶无穷小量.因为所以时

是比

高阶无穷小量.故选项(B)正确.B(3-39)第37页例17.

(08.10分)证实函数设f(x)是连续函数,机动目录上页下页返回结束且(Ⅱ)当f(x)是以2为周期周期函数时,(Ⅰ)利用定义证实函数可导,所以有也是以2为周期周期函数.(Ⅰ)证:对任意x,因为f(x)是连续函数,(3-44)第38页其中

介于x与x+x之间,所以函数F(x)在点x处可导,机动目录上页下页返回结束又因为f(x)连续性,所以有当x0时,

x.且要证实G(x)是以2为周期函数,(Ⅱ)证:即要证实对任意x,都有G(x+2)=G(x).因为即有G(x+2)–G(x)=0.所以第39页机动目录上页下页返回结束因为f(x)是以2为周期函数,所以证毕.注释:本题考查微积分基本定理证实,周期函数变上限积分.所以即有所以G(x)是以2为周期函数.第40页例18.

(09.4分)设函数f(x)在区间[–1,3]上图形为机动目录上页下页返回结束则函数图形为().(3-45)第41页机动目录上页下页返回结束由题设知,当则有注释:本题考查变上限积分性质与其导函数关系.故选项(A)错误.时,因为从而F(x)单调增,解:因为则F(0)=0,显然选项(C)错误.又因为时,则当时,故选项(B)错误.由排除法,选项(D)正确.第42页题型(四)定积分性质(积分中值定理)本题要证存在分析:设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,机动目录上页下页返回结束例1.(91.7分)证实在(0,1)内存在一点c,且首先应联想到罗尔定理,所以证实关键是要找出使f(x)函数值相等两个点.证:由积分中值定理知即有又也即有f(x)在[0,

]上满足罗尔定理条件,所以存在证毕.（3-10）第43页例2.(00.6分)机动目录上页下页返回结束设函数f(x)在[0,

]上连续,且试证:在(0,

)最少存在两个不一样点分析:结构函数显然若能证实在[0,

]有三个零点,由罗尔定理知在(0,

)上最少存在两个不一样点即因为F(0)=0,F(

)=0,使所以只要证实在(0,)内最少还有F(x)一个零点即可.（3-21）第44页证:机动目录上页下页返回结束则设知最少又因若不然,则在(0,

)内或恒为正,或恒为负,均与矛盾.因为时,故由此证得再对F(x)在[0,

]和[

,]上分别应用罗尔定理,存在即证毕.第45页例3(94.3分)解:机动目录上页下页返回结束设则有().所以有P<M<N.分析:题中三个积分积分区间都关于原点对称,所以(A)N<P<M;(B)M<P<N;(C)N<M<P;(D)P<M<N.首先应考虑被积函数奇偶性.由被积函数奇偶性可知:M=0.选项(D)正确.D（3-16）第46页机动目录上页下页返回结束题型(五)定积分应用(几何)例1.(87.3分)由曲线y=lnx与两直线y=(e+1)−x及y=0所围成平面图形面积是________.解:分析:求平面图形面积题普通应先画图,然后确定积分表示式.注释:依题意画图.所求图形面积为:得交点坐标为(e,1).由以y为积分变量,本题考查用定积分求面积,本题以y为积分变量计算简单!（3-1）第47页机动目录上页下页返回结束双纽线例2(93.3分)所围成区域面积用定积分表示为().解:所围成图形关于x轴y轴都对称,A所求面积应为第一象限4倍.而双纽线极坐标方程为双纽线设双纽线在第一象限所围面积为则有所求面积为在第一象限

取值范围是所以选项(A)正确.(双纽线图形见书P346图(14))（3-14）第48页例3(03.10分)在点机动目录上页下页返回结束(1)求D面积A;解:过坐标原点作曲线y=lnx切线,(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体体积V.依题意画图以下.所求图形面积为(1)设切点横坐标为该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.则曲线lnx切线方程为因为该切线过原点,所以有即有该切线方程为（3-36）第49页机动目录上页下页返回结束体积微元为图中阴影部分窄条绕直线x=e旋转所得(2)用微元法.旋转体体积为注释:本题考查平面图形面积和旋转体体积计算.处理这类问题关键是熟练掌握定积分微元法.第50页例4.

(07.4分)如图,连续函数y=f(x)在区间[−3,−2],机动目录上页下页返回结束分别是直径为2下、上半圆周.则以下结论正确是[2,3]上图形分别是在区间[–2,0],[0,2]上图形C直径为1上、下半圆周,().且（3-43）第51页解:

机动目录上页下页返回结束

注释:本题考查定积分几何意义.由所给图形知f(x)是奇函数,由排除法应选(C).则是偶函数.从而所以选项(A),(B),(D)均不正确,第52页令机动目录上页下页返回结束例5(97.3分)解:由题设条件对f(x)图形进行分析,则有().设在区间[a,b]上f(x)>0,易知曲线f(x)在x轴上方,单调下降且为凹弧,并依题意画示意图.表示曲边梯形ABCD面积,表示矩形ABCE表示梯形ABCD面积,显然有故选项(B)正确.B面积,（3-21）第53页例6.(88.9分)面图形面积机动目录上页下页返回结束设函数f(x)在区间[a,b]上连续,(a,b)内3倍.依题意画示意图以下:在(a,b)内存在唯一

,

y=f(x)与两直线y=f(

),x=a所围平面图形面积是曲线y=f(x)与两直线y=f(

),x=b所围平证实:且在使曲线分析:（3-5）第54页先用变上限积分表示机动目录上页下页返回结束结构辅助函数然后由题设使问题转化为证实函数

F(x)在(a,b)内有唯一零点

问题.证:令其中显然F(x)在[a,b]上连续.第55页又有第二节目录上页下页返回结束于是即由连续函数介值定理知,使F(

)=0,最少存在一点即使

唯一性可由F(x)单调性得到.所以F(x)在[a,b]上单调增加,故在(a,b)内只有一个

,证毕.第56页例7(96.5分)求心形线注释:本题考查极坐标表示曲线弧长计算.机动目录上页下页返回结束全长,其中a>0是常数.解题解:分析:心形线是一条关于x轴对称封闭曲线,当曲线由极坐标r=r(

)表示时,弧微分由对称性可知,所求心形线全长为关键是要记住用定积分求弧长公式,并能正确确定参数改变范围0≤

≤

.（3-21）第57页机动目录上页下页返回结束抓斗抓起污泥重N,

为去除井底污泥,例1(99.6分)井底,用缆绳将抓斗放入抓起污泥后提出井口.已知井深30m