天津理工大学大学物理：电介质省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

导体静电平衡条件当一带电体系中电荷静止不动，从而电场分布不随时间改变时，该带电体系就到达了静电平衡。导体特点是其体内存在自由电荷，它们在电场作用下可移动，从而改变原有电荷分布。反过来电荷分布改变又会影响到原有电场分布。可见有导体存在时电荷分布和电场分布是相互影响、相互制约。并不是电荷和电场任何一个分布都是静电平衡分布。导体静电平衡条件此平衡条件可论证以下：若导体内电场E不处处为零，则在E不为零地方，自由电荷将会移动，亦即导体没有到达静电平衡。换句话说，当导体到达静电平衡时，其内部场强必定处处为零。体内场强处处为零1第1页从上述导体静电平衡条件出发，可直接得到以下几点推论：①在到达静电平衡以后，导体是个等势体，导体表面是等势面。因导体内任意两点P、Q之间电势差为若场强E处处为零，则导体内部全部各点电势相等，从而导体表面是个等势面。②在到达静电平衡以后，导体外场强处处与它表面垂直。

因为电力线处处与等势面正交，所以导体外场强必定与它表面垂直。2第2页电荷分布

可用高斯定理证实。假定导体内部某处有未被抵消净电荷q，则可取一个完全在导体内部闭合高斯面S，将它完全包围起来。据高斯定理，经过S电通量为q/

0是一非零值。即在S上面最少有些点场强E不等于零。S面上场强不为零这些地方就达不到静电平衡，电荷就会重新分布，直到场强处处为零体内电荷完全抵消为止。所以据静电平衡条件要求，在到达静电平衡状态后，导体内部必定处处没有未被抵消净电荷，电荷只能分布在导体表面上。

在到达静电平衡时，导体内部处处没有未被抵消净电荷（=0），电荷只能分布在导体表面。Sq.3第3页S导体壳（壳内无其它带电体）上面是实心导体情况。假如是一个导体壳，当导体壳内没有其它带电体时在静电平衡条件下，导体壳内表面上处处没有电荷，电荷只能分布在外表面，空腔内没有电场，或者说空腔内电势处处相等。证实：在导体壳内、外表面之间取一闭合曲面S将空腔包围起来。因为闭合面S完全处于导体内部，据平衡条件其上场强处处为零，所以没有电通量穿过它。按照高斯定理，在S内部（即导体壳内表面上）电荷代数和为零。4第4页--++S深入还需证实，在导体壳内表面上不但电荷代数和为零，而且各处面电荷密度也为零。利用反证法，假定内表面上不处处为零，因为电荷代数和为零，必定有些地方＞0，有些地方＜0，而电力线只能从正电荷出发终止于负电荷，不能在没有电荷地方中止。这么空腔内就有电力线从＞0地方出发终止于内表面上＜0地方。5第5页--++S假如存在这么一根电力线，电场沿此电力线积分必不为零。即这电力线两个端点之间有电势差，但这电力线两端都在同一导体上，静电平衡要求这两点电势相等，所以上述结论与平衡条件相违反。可见在到达静电平衡时，导体壳内表面上必须处处为零，既然内表面上没有电荷，腔内就不可能有电力线，即腔内场强为零。没有电场就没有电势差，故腔内空间各点电势处处相等。6第6页导体壳（壳内有其它带电体）导体壳空腔内有其它带电体时，在静电平衡状态下，导体壳内表面所带电荷与腔内电荷代数和为零。比如腔内有物体带电q，则内表面带电-q。证实：如图，在导体壳内、外表面之间作一高斯面S，因为高斯面处于导体内部，在静电平衡时场强处处为零。所以经过S电通量为零。据高斯定理，高斯面内∑q=0。若导体壳内有一带电体带电q，则内表面必定带电-q。--------q++++q+S7第7页BA+3++++--------3+++++++比如，导体球B被同心导体球A所包围。若分别给A、B两导体以电量+5微库仑和+3微库仑，那么A球外表面带电多少？

构想先不给A球带电，则它内表面必定要出现－3微库仑电量，这实际上是一个静电感应现象。因为内球B带正电而把－3微库仑电量吸引到A球内表面，多出+3微库仑电量排斥到外表面。当再给A球+5微库仑电量时，它将分布在外表面，使外表面共取得+8微库仑电量。5+3=88第8页面电荷密度与场强关系尖端放电

在静电平衡状态下，导体表面之外附近空间场强E与该处导体表面面电荷密度有以下关系9第9页导体静电平衡条件:体内场强处处为零几点推论：①导体是个等势体，导体表面是等势面。②导体外场强处处与它表面垂直。电荷分布:在到达静电平衡时，导体内部处处没有未被抵消净电荷（=0），电荷只能分布在导体表面。导体壳（壳内无其它带电体）在静电平衡条件下，导体壳内表面上处处没有电荷，电荷只能分布在外表面，空腔内没有电场，或者说空腔内电势处处相等。导体壳（壳内有其它带电体）导体壳空腔内有其它带电体时，在静电平衡状态下，导体壳内表面所带电荷与腔内电荷代数和为零。比如腔内有物体带电q，则内表面带电-q。10第10页1一个不带电空腔导体球壳，内半径为R。在腔内离球心距离为a处(a<R)放一点电荷+q，如图所表示。用导线把球壳接地后，再把地线撤去，选无穷远处为电势零点，则球心0处电势为[]D0R∙+qa不接地内表面带电-q，外表面带电+q，接地后再把地线撤去，外表面不带电。q场在0点产生电势内表面上电荷-q场在0点产生电势球心0处总电势11第11页4.带电导体到达静电平衡时，其正确结论是（A）导体表面上曲率半径小处电荷密度较小（B）表面曲率较小处电势较高（C）导体内部任一点电势都为零（D）导体内任一点与其表面上任一点电势差等于零。[]D尖端放电，与曲率半径成反比。曲率半径越小，电荷面密度越大。在到达静电平衡以后，导体是个等势体，导体表面是等势面。12第12页5两个同心薄金属球壳，半径分别为R1和R2(R2>R1)，若内球壳带上电荷Q，则二者电势分别为（选无穷远处为电势零点）。现用导线将两球壳相连接，则它们电势为R1QR2-Q[]D用导线将两球壳相连接后，内球壳变为外球壳内表面一部分，即电荷Q全部分布在外球壳表面。13第13页4如图所表示，在静电场中有一立方形均匀导体，边长为a。已知立方体中心0处电势为V0，则立方体顶点A电势为_________。0AaV0静电平衡，导体等电势14第14页1.一均匀带电球体如图所表示，总电荷+Q。其外部同心地罩一内、外半径分别为r1、r2金属球壳，设无限远处为电势零点，则球壳内半径为r处场强和电势分别为[]２一金属球壳内外半径分别为R1和R2，带电荷为Q。在球心处有一电荷为q点电荷，则球壳外表面上电荷面密度=__________。练习：∙r1+Qpr2rR1R2Q∙q15第15页1.一均匀带电球体如图所表示，总电荷+Q。其外部同心地罩一内、外半径分别为r1、r2金属球壳，设无限远处为电势零点，则球壳内半径为r处场强和电势分别为∙r1+Qpr2r静电平衡，导体内部场强为零等电势[]B16第16页２一金属球壳内外半径分别为R1和R2，带电荷为Q。在球心处有一电荷为q点电荷，则球壳外表面上电荷面密度=__________。R1R2Q∙q电荷Q分布在外表面，内表面有感应电荷-q，外表面有感应电荷+q，因另外表面有电荷Q+q。球壳外表面上电荷面密度：17第17页1孤立导体电容

所谓孤立导体，就是说在这导体附近没有其它导体和带电体。+++++++++++q

构想使一个孤立导体带电q，它将含有电势U。理论和试验都表明，伴随q增加U将按百分比地增加。这么一个百分比关系能够写成式中C与导体尺寸和形状相关，它是一个与q、U无关常数，称为孤立导体电容。它物理意义是每升高单位电势所需电量。18第18页对于一个孤立导体球故它电容为电容国际制单位为法拉，简称法，用F表示，这是一个非常大单位。如将地球看作孤立导体，其电容只有709×10-6法，所以通常采取微法

F(=10-6F)或微微法pF(=10-12F)为单位。19第19页ACDqAqDqC2电容器及其电容假如在一个导体A附近有其它导体，则这导体电势UA不但与它自己所带电量qA多少相关，还取决于周围其它导体相对位置和形状。这是因为qA使邻近导体表面产生感应电荷，它们将影响周围空间电势分布和每个导体电势。在这种情况下，不可能再用一个常数C=qA/UA来反应UA和qA之间依赖关系了。要想消除其它导体影响，可采取静电屏蔽方法。20第20页ABCDqA-qA

如图所表示，用一个封闭导体壳B把A包围起来，并将B接地（UB=0）。这么一来，壳外导体C、D等就不会影响A电势了。这时若使A带电qA，导体壳B内表面将带电-qA，伴随qA增加，UA将按百分比地增大，所以可定义它电容为当然这时CAB已与导体壳B相关了。21第21页ABCDqA-qA其实导体壳B也可不接地，此时它电势UB≠0。即使这时UA、UB都与外界导体相关，但电势差UA－UB仍不受外界影响，且正比于qA，比值不变。这种由导体壳B和腔内导体A所组成导体系，叫做电容器。比值叫做它电容。电容器电容与两导体尺寸、形状和它们相对位置相关，与q和U无关。组成电容器两导体叫做电容器极板。22第22页实际中，对电容屏蔽性要求并不象上面所述那样苛刻。如图，一对平行平面导体，A、B面积很大而且靠得很近，电荷将集中在两极板相正确表面上，电力线集中在两极板之间狭窄空间里。这时外界干扰对二者之间电势差影响实际上是能够忽略，也可把这种装置看成电容器。+++++++-----AB--23第23页ⅰ平行板电容器实际惯用绝大多数电容器可看成是由两块彼此靠得很近平行金属极板导体A、B所组成，设两极板面积均为S，分别带有+q、-q电荷，内表面之间距离是d，在极板面线度远大于它们之间距离(S＞＞d2)情况下，除边缘外两极板之间电场可视为匀强电场。+++++++-----AB--d+-S电容定义24第24页电荷面密度分别为电场强度两极板间电势差电容对于电容器电容常略去脚标不写，即+++++++-----AB--d+-S25第25页+++++++-----AB--d+-S此式表明，C正比于极板面积S，反比于极板间隔d。它指明了加大电容器电容量路径。首先必须使电容器极板间间隔小，但因为工艺制作困难，这有一定程度；其次要加大极板面积，势必要加大电容器体积。为得到体积小、电容量大电容器，需要选择适当绝缘介质。这个问题留待下节讨论。26第26页ⅱ同心球形电容器0RARBAB如图所表示，电容器由两个同心球形导体A、B所组成，其半径分别为RA和RB（RA＜RB）。设A、B分别带电荷±q，利用高斯定理可知，两导体之间电场强度方向沿径向两球形电极A、B之间电势差为27第27页0RARBAB于是得电容为28第28页1电容器储能假如把一个已充电电容器两极板用导体短路而放电，可见到放电火花。利用放电火花甚至能够熔焊金属，即所谓“电容焊”。放电火花势能必定是由充了电电容器中储存电能转化而来。那么电容器储存电能又是从哪里来呢？下面会看到，在电容器充电过程中，电源必须作功才能克服静电场力把电荷从一个极板搬运到另一个极板上。这能量以电势能形式储存在电容器中，放电时就把这部分能量释放出来。七静电场能量能量密度对于电场能量以电容器为例来进行讨论+++++++-------

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029第29页--+-+-设电容器每一极板所带电量绝对值为Q，两极板间电压为U。为了计算这电容器储存了多少电能，先分析一下电容器充电过程。充电过程可用下列图表示。电子从电容器一个极板被拉到电源，并从电源被推到另一极板上去。这时被拉出了电子极板带正电；推上电子极板带负电。如此逐步进行下去。设充电完成时，电容器极板上带电量绝对值到达Q。完成这个过程要靠电源作功，从而消耗了电源储存化学能，使之转化为电容器储存电能。30第30页--+-+-设在充电过程中某一瞬间，电容器极板上带电量绝对值为q，电压为u，这里u是指正极板电势u+减去负极板电势u-，若在这一瞬间电源把-dq电量从正极板搬运到负极板，从能量守恒观点看来，这时电源所作功应等于电量-dq从正极板迁移到负极板后电势能增加，即继续充电时，电池要继续作功。此功不停地积累为电容器电能，所以在整个充电过程中储存于电容器电能总量应由以下积分计算31第31页--+-+-积分下限0表示充电开始时电容器电能总量，上限Q表示充电结束时每一极板上电量绝对值。由得到这就是电容器储能公式。利用Q=CU，则可写成及式中Q与U都是充电完成时最终值。32第32页--+-+-通常电容器充电后电压值都是给定，这时用第三种表示式来讨论比较方便。此式表明：在一定电压下，电容C大电容器储能多，在这个意义上说，电容C也是电容器储能本事大小标志。对同一个电容器来讲，电压越高，储能越多，但不能超出电容器耐压值，不然就会把里面电介质击穿而烧毁电容器。33第33页2三块相互平行导体板之间距离d1和d2比板面积小得多，假如d2=2d1，外面二板用导线连接，中间板上带电。设左右两面上电荷面密度分别为

1和2，如图所表示，则1/2为(A)1(B)2(C)3(D)4d1d2

2

1相当于两电容器并联，U相等。由Q=CU知[]B34第34页6当平行板电容器充电后，去掉电源，在两极板间充满电介质，其正确结果是（A）极板上自由电荷降低（B）两极板间电势差变大（C）两极板间电场强度变小（D）两极板间电场强度不变两极板间电场强度变小两极板间电势差变小[]C去掉电源，极板上自由电荷不变35第35页8一个平行板电容器，充电后断开电源，使电容器两极板间距离变小，则两极板间电势差U12、电场强度大小E、电场能量W将发生以下改变：(A)U12减小，E减小，W减小．(B)U12增大，E增大，W增大．(C)U12增大，E不变，W增大．(D)U12减小，E不变，W减小．

[]Dd减小，则C增大。电源断开，电荷不变。E亦不变。C增大，则U减小。C增大，W减小。36第36页9两空气电容器C1和C2串联起来接上电源充电，充满电后将电源断开，再把一电介质板插入C1中，如图所表示。则（A）C1上电荷增加，C2上电荷降低（B）C1上电荷降低，C2上电荷增加（C）C1上电荷增加，C2上电荷增加（D）C1上电荷不变，C2上电荷不变。C1C2E[]D断开电源后总电荷不变。串联，每个电容器极板所带电量相等。插入介质，C1增大，U1减小。电源断开，Q不变。37第37页C1、C2是两空气电容器并联以后接电源充电，在电源保持连接情况下，在C1中插入一电介质板，如图所表示，则（A）C1极板上电荷不变，C2极板上电荷降低（B）C1极板上电荷不变，C2极板上电荷增加（C）C1极板上电荷增加，C2极板上电荷不变（D）C1极板上电荷降低，C2极板上电荷不变。并联U相同，Q1=C1U，Q2=C2U。电源保持连接，U不变，插入介质板，C1电容增大，Q1增大，Q2不变。[]CC1C2E38第38页11有两只电容器，C1=8F，C2=2F，分别把它们充电到V，然后将它们反接（如图所表示）此时C1两极板间电势差为（A）600V（B）200V（C）0V（D）1200VC1C2++--[]D充电后：并联：39第39页7一平行板电容器，充电后与电源保持连接，然后使两极板间充满相对介电常数为

r各向同性均匀电介质，这时两极板上电荷是原来________倍；电场强度是原来________倍；电场能量是原来________倍。充电后与电源保持连接，U不变，两极板间充满电介质，C增大到原来

r倍。

r1

r40第40页9.一平行板电容器充电后切断电源，若使两极板间距离增加，则两极板间电势差为_________，电容为_________。（填增大或减小或不变）d增大，则C减小。电源断开，电荷不变。C减小，则U增大。增大减小41第41页3一个平行板电容器，充电后断开电源，使电容器两极板间距离拉大，则两极板间电势差U12、电场强度大小E、电场能量W将发生以下改变：(A)U12减小，E减小，W减小．(B)U12增大，E增大，W增大．(C)U12增大，E不变，W增大．(D)U12减小，E不变，W减小．

[]练习：4图为二分之一径为a、带有正电荷Q导体球。球外有一内半径为b、外半径为c不带电同心导体球壳。设无限远处为电势零点，试求内球和球壳电势。0acbQ42第42页3一个平行板电容器，充电后断开电源，使电容器两极板间距离拉大，则两极板间电势差U12、电场强度大小E、电场能量W将发生以下改变：(A)U12减小，E减小，W减小．(B)U12增大，E增大，W增大．(C)U12增大，E不变，W增大．(D)U12减小，E不变，W减小．

[]Cd增大，则C减小。电源断开，电荷不变。E亦不变。C减小，则U增大。C减小，W增大。43第43页4图为二分之一径为a、带有正电荷Q导体球。球外有一内半径为b、外半径为c不带电同心导体球壳。设无限远处为电势零点，试求内球和球壳电势。0acbQ解：球壳内表面将出现负感应电荷－Q，外表面为正感应电荷Q．按电势叠加原理(也可由高斯定理求场强，用场强线积分计算)导体球电势为球壳电势44第44页练习：6

一电容器由两个同心球形导体壳A、B所组成，A、B间为真空。其半径分别为RA和RB（RA＜RB）。设A、B分别带电荷±q，求（1）两同心球形导体壳之间某点p电场强度大小；（2）两同心球形导体壳A、B间电势差；（3）此球形电容器电容。5平行板电容器可看成是由两块彼此靠得很近平行金属极板A、B所组