微分差分方程稳定性方法建模省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

数学模型•微分方程稳定性方法建模北京理工大学王宏洲第1页微分、差分方程稳定性理论微分和差分方程稳定理论，是研究方程解在自变量t→+

时发展趋势。反应在实际问题中，就是已知事物现在状态，希望了解其最终发展趋势。比如说准备修建拦河大坝，会对下游河床及周围生态系统产生怎样影响？建立稳定性模型能够对各种可能最终止果进行预测。第2页微分、差分方程稳定性理论介绍常微分方程稳定性理论差分方程稳定性理论第3页一、常微分方程稳定性理论1、一阶微分方程方程右端不显含t第4页一阶微分方程通常判断平衡点稳定性有两种方法，直接求解法和定性分析法。定性分析法1、若方程为线性，即f(x)=ax+b，则a<0稳定，

a>0不稳定；2、若方程为非线性，即x`(t)=f(x)，考虑f`(x0)。

f`(x0)<0稳定，f`(x0)>0不稳定。第5页2、二阶微分方程所以讨论二阶微分方程稳定性往往就归结为对二维一阶方程组讨论第6页二阶微分方程求方程组平衡点，即求解下面设法给出P0稳定判断准则。第7页二阶微分方程首先将方程组线性化：其系数矩阵为：第8页二阶微分方程二阶微分方程稳定性由p和q正负决定。p>0且q>0时平衡点P0稳定；p<0或q<0时平衡点P0不稳定.第9页3、一阶线性差分方程第10页4、二阶线性差分方程第11页5、一阶非线性差分方程第12页微分方程稳定性模型可再生资源管理生态系统建模差分形式阻滞增加模型经济发展蛛网模型军备竞赛模型第13页一、可再生资源管理模型可再生资源：与无限资源和有限资源相对而言。无限资源指阳光、空气等；有限资源指煤、铁等矿物和石油等。可再生资源指木材、粮食、蔬菜、肉类等，即使有限，但能够再生。建模目标：研究怎样管理可再生资源才能使人类最终有尽可能多收获。第14页1、问题背景

渔场矛盾渔场假如极少捕捞，那么经济效益会降低；假如捕捞太频繁或者太多，又会造成鱼群总数大量降低，影响渔场今后产量。问题分析只有在“捕捞量=鱼增加量”时，渔场鱼量才能保持稳定。设法给出渔场鱼量改变规律，分析鱼量稳定条件，并据此讨论：怎样制订捕捞策略才能使渔场效益实现最大化？第15页2、渔业资源开发模型记x(t)为t时刻渔场中鱼量。在没有捕捞情况下，鱼量增加能够视为有限环境中生物种群增加，即能够用Logistic模型来描述：第16页2.1假设（1）在无捕捞条件下，鱼自然增加量服从上面Logistic规律；（2）在有捕捞情况下，需要在Logistic模型中减去一个h(x,t)，即单位时间捕捞量。捕捞量函数反应就是捕捞策略。通常捕捞策略有两种：一是固定限额捕捞，即h(x,t)是一个常数；二是固定努力量捕捞，即取函数h(x,t)=Ex，E为常数，表现是捕捞努力程度。第17页2.2结构模型（Scheafer模型）对于这个模型，我们希望能分析出渔场应该使鱼量保持在怎样一个水平上，以及怎样才能保持鱼量稳定，即给出t→+

时，x(t)改变趋势。依据假设（2），建立模型：第18页2.3平衡点与稳定性分析令F(x)=rx(1-x/N)–Ex=0（求平衡点）得到两个解：x0=N(1-E/r)，x1=0两个平衡点稳定性及稳定条件：考虑F`(x)=r-E-2rx/N：F`(x0)=E-r，F`(x1)=r-E。由此可知：若E<r，则F`(x0)<0而F`(x1)>0，x0稳定而x1不稳定；若E>r，则F`(x0)>0而F`(x1)<0，x0不稳定而x1稳定。第19页2.4捕捞策略有了捕捞标准E<r，怎样使每年捕捞量Ex都能到达最高？设法给出明确捕捞策略，即确定每年最正确捕捞量。分别记f(x)=rx(1-x/N)，h(x)=Ex。直线族与抛物线交点都是稳定平衡点。y=E1xy=E0xy=rxOyxNx1N/2第20页2.5结论将捕捞能力控制在鱼群自然增加率二分之一左右，即Er/2，或者单位时间内只捕捞总鱼量二分之一，都能确保渔场长久产量最大化。依据这里分析结果，我们能够调整捕捞努力量，实现长久产量最大化。可是产量最大化是渔场目标吗？渔场真正目标是实现效益最大化。这时需要对模型进行调整。第21页3、最大经济效益模型综合考虑渔场捕捞成本和捕捞量及鱼市场价格，给出投入、产出之间最优结合点。第22页3.1假设（1）收获单位鱼量价格为p（固定）；（2）渔场捕捞成本与捕捞能力投入成正比，单位捕捞能力投入费用为C。依据假设，渔场收入=p•h(x)，成本=C•E，从而渔场经济效益=pEx–CE=(px–C)E=R。现在问题：求E，使渔场经济效益最高。第23页3.2模型分析产量稳定下来后，渔场收益R=pExR-CE=pEN(1-E/r)-CE令R’(E)=0，即R’(E)=pN-C-2pNE/r=0E=[1-C/(pN)]•r/2，xR=N(1-E/r)=N/2+C/2p，h(xR)=ExR=[1-C2/(p2N2)]rN/4。E=r/2，x0=N/2h(x0)=rN/4第24页3.3结论在最大经济效益标准下，渔场捕捞能力投入E和长久产量h(x)都应该比最大产量模型稍低。同时，渔场鱼保有总量略有增加。也就是说，有时候，产量最大并不能确保收益最大，这在企业经营当中是非经常见现象。第25页4.盲目捕捞模型假设经营者根本不顾久远利益，看到有利润就投入经营，没有利润就放弃经营，这么会对渔场产生什么样影响？这时经营者决议完全是由利润决定，只要有利润就捕捞，不考虑全局。考虑R(E)=pEN(1-E/r)-CE：令R(E)=0，得到Es=r(1-C/pN)。当E<Es时，R(E)>0，即有利可图，盲目经营者会继续增加捕捞能力，直到E>Es，使R(E)<0，即亏损经营。出现亏损，经营者又降低E……第26页盲目捕捞模型分析Es=r(1-C/pN)是盲目捕捞情况下临界状态，高于这个临界值则出现亏损，低于临界值则赢利。Es存在条件：C<pN，即p>C/N，相对于鱼总量，鱼价格必须大于成本才能确保临界点存在。在没有科学经营策略前提下，渔场应该一直把捕捞能力控制在Es以下。在盲目捕捞情况下，渔场稳定鱼量应该为：xs=C/p（将Es代入x0表示式得到）第27页盲目捕捞模型结论在盲目捕捞情况下，渔场稳定鱼量为：xs=C/p注意：这个稳定鱼量由两个原因决定，一是捕捞成本，二是鱼价格。这是一个经典市场经济结果，捕捞量(市场供给量)、捕捞努力量、渔场最终稳定保有量等等，完全由市场价格杠杆决定。完全自由市场经济并不可取，当代经济应该是一个结合了宏观调控市场经济。第28页二、两个生物种群竞争模型考虑两个生物种群竞争同一个有限资源问题。在自然条件下，适应环境能力弱种群将趋于灭亡，适应能力强种群将增加到环境允许最大数量。种群竞争模型现在已经被广泛地应用到描述企业、国家等社会实体之间竞争研究中。下面经过建立模型来解释这种现象，并分析出现各种结局条件。第29页1.模型建立设同一环境中有甲、乙两个种群，x1(t)、x2(t)分别记t时刻甲、乙种群数量；r1、r2为各自固有增加率，N1、N2为各自环境最大容量。据此建立下面模型：x1’(t)=r1x1(1-x1/N1-

1x2/N2)x2’(t)=r2x2(1-

2x1/N1-x2/N2)其中

1，2是非常关键指标，反应一个种群对另一个群竞争能力。第30页2.稳定性分析（竞争结局）2.1求平衡点令f(x1,x2)=g(x1,x2)=0，得到四个平衡点：P1(N1,0)，P2(0,N2)，P3(0,0)，第31页pq稳定条件P1r1-r2(1-

2)-r1r2(1-

2)P2-r1(1-

1)+r2-r1r2(1-

1)P3-(r1+r2)r1r2P4[r1(1-

1)+r2(1-

2)](1-

1

2)-1r1r2(1-

1)(1-

2)(1-

1

2)-1

2<1(1<1)

1>1(

2<1)不稳定

1<1

2<1p>0而且q>0第32页2.2平衡点稳定性依据前面方法不能给出各个平衡点全部稳定性条件。下面对

1和

2分情况讨论平衡点稳定性条件。考虑转到相平面上，即在x1-x2平面上研究方程解沿着t增加所表现出趋势。x1’(t)=r1x1(1-x1/N1-

1x2/N2)x2’(t)=r2x2(1-

2x1/N1-x2/N2)可知，在任意时刻，x1(t)和x2(t)是增是减由

=1-x1/N1-

1x2/N2

和

=1-

2x1/N1-x2/N2

决定。第33页1、

1<1，2>1S1S2S3ON1/

2N1x1x2N2/

1N2=0

=0这时=0和=0将相平面分为三个区域：S1：x’1>0,x’2>0;S2：x’1>0,x’2<0;S3：x’1<0,x’2<0.t增加时，全部解都将趋于P1，所以P1是稳定。第34页ON1x1x2N22、1>1，2<1，P2稳定3、1<1，2<1，P3稳定ON1N1/

2x1P3N2N2/

1x2第35页ON1/

2N2x1P3x2N2N2/

14、

1>1，2>1，方程解不存在统一发展趋势。第36页二(2)生物互惠共生模型甲乙两种群相互依存有三种形式1)甲能够独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增加。2)甲乙均能够独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增加。3)甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增加。第37页第一个情形模型假设甲能够独自生存，数量改变服从Logistic规律;甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增加。乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增加；乙增加又受到本身阻滞作用(服从Logistic规律)。模型乙为甲提供食物是甲消耗

1倍甲为乙提供食物是乙消耗

2倍第38页平衡点稳定性分析平衡点有三个：P1(N1,0),P3(0,0)第39页种群依存模型平衡点及稳定性P2是甲乙相互依存而共生平衡点稳定条件不稳定平衡点第40页0

1<1,

2>1,

1

2<1

P2稳定第41页模型结果分析

1

2<1~

2>1前提下P2存在必要条件

2>1~甲必须为乙提供足够食物——甲为乙提供食物是乙消耗

2倍

1<1~

2>1,

1

2<1需要，且

1必须足够小，才能在

2>1条件下使

1

2<1成立

P2稳定条件：

1<1,

2>1,

1

2<1甲能够独自生存乙不能独立生存第42页二(3)食饵-捕食者模型种群甲靠丰富天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫。

模型历史背景——一次世界大战期间地中海渔业捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞)，不过其中鲨鱼百分比却增加，为何？第43页食饵（甲）数量x(t),

捕食者（乙）数量y(t)甲独立生存增加率r乙使甲增加率减小，减小量与y成正比乙独立生存死亡率d甲使乙死亡率减小，减小量与x成正比方程(1),(2)无解析解食饵-捕食者模型(Volterra)a~捕食者掠取食饵能力b~食饵供养捕食者能力第44页Volterra模型平衡点及其稳定性平衡点稳定性分析P点稳定性不能用近似线性方程分析p=0,q>0P:临界状态q<0P´不稳定第45页tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.22.56493.94050.300023.97633.9269………5.10009.616216.72355.9.017316.2064………9.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用数学软件MATLAB求微分方程数值解x~y平面上相轨线第46页计算结果（数值，图形）x(t),y(t)是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线观察，猜测x(t),y(t)周期约为9.6xmax

65.5,xmin

6,ymax

20.5,ymin

3.9用数值积分可算出x(t),y(t)一周期平均值：x(t)平均值约为25,y(t)平均值约为10。第47页平衡点稳定性分析消去dt用相轨线分析点稳定性c由初始条件确定取指数第48页x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0在相平面上讨论相轨线图形用相轨线分析点稳定性相轨线时无相轨线以下设第49页稳定性分析Py0x0x2x1取定x[x1,x2],xy2y1第50页模型结果分析Py0x0对应于每一个c，都有一条闭轨线T3T2T4T1第51页模型解释r~食饵增加率d~捕食者死亡率b~食饵供养捕食者能力捕食者数量食饵数量a~捕食者掠取食饵能力捕食者数量与r成正比,与a成反比食饵数量与d成正比,与b成反比Pr/ad/b第52页模型解释一次大战期间地中海渔业捕捞量下降，不过其中鲨鱼百分比却在增加，为何？r

r-1,d

d+1捕捞战时捕捞r

r-2,d

d+2,2<1•••xy食饵(鱼)降低，捕食者(鲨鱼)增加自然环境还表明：对害虫(食饵)—益虫(捕食者)系统，使用灭两种虫杀虫剂,会使害虫增加，益虫降低。第53页食饵-捕食者模型(Volterra)缺点与改进Volterra模型改写多数食饵—捕食者系统观察不到周期震荡,而是趋向某个平衡状态,即存在稳定平衡点加Logistic项有稳定平衡点第54页三、差分形式阻滞增加模型连续型阻滞增加模型应用非常广泛，其平衡点为0，N，其中N是稳定。而且平衡点稳定性与参数r选取无关。能够用于描述：人口或其它生物在有限资源环境中生长；传染病在一个封闭区域传输规律；耐用消费品在有限市场上销售。第55页差分形式阻滞增加模型实用背景在现实问题研究中，采取差分形式更便于进行数值计算和计算机仿真；同时有些生物繁殖不是时间连续，而是按照固定周期进行。而且这是大量野生哺乳动物生活习性。所以研究离散(差分)形式阻滞增加模型是非常有实际意义。第56页差分形式阻滞增加模型将下面连续型阻滞增加模型离散化得到第57页差分形式阻滞增加模型这是一个一阶非线性差分方程，只要给出初始值x0，可得任何时刻kxk。第58页差分形式阻滞增加模型下面准备讨论是k时，xk以及yk发展趋势问题，即差分方程平衡点稳定性。1、求解平衡点解方程x=bx(1-x),得到x*=1–1/b，x0=0(对应y*=N，y0=0)第59页差分形式阻滞增加模型2、稳定性按照差分方程稳定性理论，这里f(x)=bx(1-x)f`(x)=b

(1-2x)x*=1–1/b，x0=0f`(x*

)=2-bf`(x0

)=b>0下面重点考虑非零平衡点x*

稳定条件。依据稳定性理论，|2–b|<1，即1<b<3时x*

是稳定平衡点。也就是说，0<r<2时，y*

=N是稳定平衡点。这与连续型模型中，r取任何值N都是稳定不一样第60页1<b<3时x*

是稳定，即xk

x*.

在x-y平面上分别做y=bx(1-x)和

y=x

图形O1<b<22<b<3O1/21xy1/2第61页差分形式阻滞增加模型图形分析表明：当1<b<2时，x*

<1/2，xk

x*过程是单调.

当2<b<3时，x*

>1/2，xk

x*过程展现交替.

当b>3时，即使x*存在，但不稳定。第62页差分形式阻滞增加模型另外，用计算机计算发觉，当3<b<3.449时，即使{xk}不收敛，{xk}有两个收敛子列：{x2k}和{x2k+1}它们各自都有自己收敛点：

x2k+1

x*1,x2k

x*2假如说1<b<3时，差分方程解是单周期收敛话，那么3<b<3.449时差分方程是双周期收敛。这在实际问题中也有一定实用背景。第63页四、市场经济中蛛网模型在自由竟争市场经济中，从生产者、消费者两方面来讨论商品生产随价格改变规律，即讨论生产数量与产品价格之间关系。第64页市场经济中蛛网模型市场经济中一个经典现象：供大于求价格下跌生产者减产供不应求价格上升生产者增产这么震荡有两种发展趋势：振幅越来越大导致经济瓦解；振幅趋于平稳。推出新品第65页下面设法建立模型来描述这个震荡过程，以及影响其发展趋势原因。一、图形法建模记x为生产数量，y为产品单价。从消费者角度出发，价格是数量减函数：

y=f(x)——需求函数，反应消费者对商品需求。从生产者角度出发，数量是价格增函数：

x=g(y)——供给函数，与生产者生产能力、经营水平相关。第66页蛛网模型时间是连续改变，但有