高考数学复习第三章导数及其应用第2讲导数的应用第一课时利用导数研究函数的单调性理市赛课公开课一等奖省

第2讲导数应用1/33最新考纲

1.了解函数单调性与导数关系；能利用导数研究函数单调性，会求函数单调区间(其中多项式函数普通不超出三次)；2.了解函数在某点取得极值必要条件和充分条件；会用导数求函数极大值、极小值(其中多项式函数普通不超出三次)；会求闭区间上函数最大值、最小值(其中多项式函数普通不超出三次)；3.利用导数研究函数单调性、极(最)值，并会处理与之相关方程(不等式)问题；4.会利用导数处理一些简单实际问题.2/33知

识

梳

理1.函数单调性与导数 (1)在区间D上，若f′(x)≥0，且f′(x)＝0不连续成立⇔函数f(x)在区间D上_______； (2)在区间D上，若f′(x)≤0，且f′(x)＝0不连续成立⇔函数f(x)在区间D上_______； (3)在区间D上，若f′(x)＝0恒成立⇔函数f(x)在区间D上是_________.递增递减常函数3/332.函数极值与导数条件f′(x0)＝0x0附近左侧f′(x)___0，右侧f′(x)___0x0附近左侧f′(x)___0，右侧f′(x)___0><<>4/33图象形如山峰形如山谷极值f(x0)为极___值f(x0)为极___值极值点x0为极___值点x0为极___值点大小大小5/333.函数最值与导数 (1)在闭区间[a，b]上连续函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则____为函数最小值，____为函数最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则____为函数最大值，____为函数最小值.f(a)f(b)f(a)f(b)6/33诊

断

自

测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

精彩PPT展示 (1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(

) (2)假如函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.(

) (3)函数极大值不一定比极小值大.(

) (4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点充要条件.(

) (5)函数最大值不一定是极大值，函数最小值也不一定是极小值.(

)7/33解析(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.(4)x0为f(x)极值点充要条件是f′(x0)＝0，且x0两侧导数符号异号.答案

(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

(5)√8/332.(选修2－2P32A4改编)如图是f(x)导函数f′(x)图象，则f(x)极小值点个数为(

)A.1 B.2C.3 D.4解析由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正.答案

A9/333.函数f(x)＝ex－x单调递增区间是(

) A.(－∞，1] B.[1，＋∞) C.(－∞，0] D.(0，＋∞)

解析令f′(x)＝ex－1>0得x>0，

所以f(x)递增区间为(0，＋∞).

答案

D10/334.函数f(x)＝lnx－ax在x＝1处有极值，则常数a＝________.答案

111/335.(·全国Ⅱ卷改编)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k取值范围是________.答案[1，＋∞)12/33第1课时利用导数研究函数单调性13/3314/33规律方法

(1)确定函数单调区间步骤：①确定函数f(x)定义域；②求f′(x)；③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内部分为单调递增区间；④解不等式f′(x)<0，解集在定义域内部分为单调递减区间.(2)个别导数为0点不影响所在区间单调性，如函数f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(x＝0时，f′(x)＝0)，但f(x)＝x3在R上是增函数.15/3316/3317/3318/3319/33所以x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；20/3321/33规律方法利用导数研究函数单调性关键在于准确判定导数符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集影响进行分类讨论.分类讨论时，要做到不重不漏.22/3323/3324/3325/3326/3327/33规律方法利用单调性求参数两类热点问题处理方法(1)函数f(x)在区间D上存在递增(减)区间.方法一：转化为“f′(x)>0(<0)在区间D上有解”；方法二：转化为“存在区间D一个子区间使f′(x)>0(<0)成立”.(2)函数f(x)在区间D上递增(减).方法一：转化为“f′(x)≥0(≤0)在区间D上恒成立”问题；方法二：转化为“区间D是函数f(x)单调递增(减)区间子集”.28/33易错警示

对于①：处理函数单调性问题时，应先求函数定义域；对于②：h(x)在(0，＋∞)上存在递减区间，应等价于h′(x)<0在(0，＋∞)上有解，易误认为“等价于h′(x)≤0在(0，＋∞)上有解”，多带一个“＝”之所以不正确，是因为“h′(x)≤0在(0，＋∞)上有解即为h′(x)<0在(0，＋∞)上有解，或h′(x)＝0在(0，＋∞)上有解”，后者显然不正确；对于③：h(x)在[1，4]上单调递减，应等价于h′(x)≤0在[1，4]上恒成立，易误认为“等价于h′(x)<0在[1，4]上恒成立”.29/3330/33答案

(1)－3

(2)(－∞，－1]31/33[思想方法]1.已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′(x)>0，f′(x)<0解区间，并注意函数f(x)定义域.2.含参函数单调性要注意分类讨论，经过确定导数符号判断函数单调性.3.已知函数单调性求参数能够利用给定已知区间和函数单调区间包含关系或转化为恒成立问题两种思绪处理.32/33[易错防范]1.求单调区间应遵照定义域优先标准.2.注意两种表述“函数f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数f(x)减区间为(a，b)”区分.3.在某区间内f′(x)>0(f′