北京市西城区2023-2024学年高一上学期期末考试数学

北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高一数学2024.1本试卷共6页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，，那么（A）（B）（C）（D）（2）已知命题，则为（A），（B），（C），（D），（3）如图，在正六边形中，（A）（B）（C）（D）（4）若，则（A）（B）（C）（D）（5）已知，则函数的最小值为（A）（B）（C）（D）

（6）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（A）（B）（C）（D）（7）已知，，则（A）（B）（C）（D）（8）已知集合，，若，且，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）（9）已知为非零向量，且，，则“”是“存在实数，使得”成立的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（10）一种细胞的分裂速度（单位：个/秒）与其年龄（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：其中，而且这种细胞从诞生到死亡，它的分裂速度变化是连续的．若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则（参考数据：）（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）函数的定义域是_____．（12）下面茎叶图记录的是甲、乙两位篮球运动员在最近5场比赛中的得分，甲乙9708211011552则甲得分的中位数是_____，乙得分的方差为_____．（13）已知为一组不共线的向量，且向量，，能使得的一组实数的值可以为_____，_____.（14）函数若，则的值为_____；若有两个零点，则的取值范围是_____.（15）记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有则称函数具有性质.①所有偶函数都具有性质；②具有性质；③若，则一定存在正实数，使得具有性质；④已知，若函数具有性质，则.其中所有正确结论的序号是_____.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）已知函数.（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）用函数单调性定义证明：函数在上是减函数；（Ⅲ）写出函数的值域（结论不要求证明）.（17）（本小题13分）每年的3月21日是世界睡眠日，充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动，是国际社会公认的三项健康标准.某校高一某班学生某天睡眠时间的频率分布直方图如图所示（样本数据分组为［6,7），［7,8），［8,9），［9,10），［10,11］，单位：小时）.（Ⅰ）求图中的值，估计该校高一学生该天睡眠时间不小于9小时的频率；（Ⅱ）从该校高一学生中随机抽取2人，用频率估计概率，计算这两位学生至少有1人该天睡眠时间不小于9小时的概率.（18）（本小题14分）已知函数，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，使存在并且唯一，并完成下列问题.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）已知函数有两个不同的正数零点.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）若，求的值.条件①：；条件②：，；条件③：，.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.（19）（本小题15分）2023年10月17日至18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，成为纪念“一带一路”倡议十周年最隆重的活动.此次活动主题为“高质量共建‘一带一路’，携手实现共同发展繁荣”，而作为“一带一路”重要交通运输的中欧班列越来越繁忙.下表是从2018年到2022年，每年中欧班列运行的列数（单位：万列）.年份20182019202020212022运行列数0.630.821.241.51.6（Ⅰ）计算中欧班列从2018到2022年的平均运行列数；（Ⅱ）从2018年到2022年这5年中随机选取2年，求这两年运行列数和大于2.4（单位：万列）的概率；（Ⅲ）设2018年，2019年，2020年运行列数的方差为，2020年，2021年，2022年运行列数的方差为，从2018年到2022年这5年的运行列数的方差为，试判断，，的大小关系.（结论不要求证明）（20）（本小题15分）已知函数.（Ⅰ）求函数的零点；（Ⅱ）求函数的图象与函数的图象的交点坐标；（Ⅲ）若函数的图象恒在直线的下方，求的取值范围.（21）（本小题15分）对于函数，记所有满足，都有的函数构成集合；所有满足，都有的函数构成集合.（Ⅰ）分别判断下列函数是否为集合中的元素，并说明理由,①；②；（Ⅱ）若（）是集合中的元素，求的最小值；（Ⅲ）若，求证：是的充分不必要条件.北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高一数学答案及评分参考2024.1一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．A2．C3．C4．D5．B6．B7．B8．D9．A10．B二、填空题：本大题共5题，每小题5分，共25分.11．12．11，13．1，4（答案不唯一，即可）15．①②④14．1，注：第12题第一问2分，第二问3分；第13题满足得5分，不填或有错误得0分；第14题第一问2分，第二问3分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.16．（本小题13分）解：（Ⅰ）是奇函数.证明如下：的定义域为. 1分因为，都有，且， 3分所以是奇函数. 4分（Ⅱ）任取，且. 5分 6分， 8分因为，所以，，所以， 9分所以，所以函数在上是减函数. 10分（Ⅲ）函数的值域为. 13分17．（本小题13分）解：（Ⅰ）因为， 3分所以. 5分该校高一学生该天睡眠时间不少于9小时的频率为：. 7分（Ⅱ）由题知，该校高一学生该天睡眠时间为小时的频率分别为，，，，，用频率估计概率，该校高一学生该天睡眠时间为小时的概率分别为，，，，.记从该校高一学生中随机抽取2人，这两位学生至少有一人该天睡眠时间不小于9小时为事件， 8分则. 13分18．（本小题14分）解：选择条件①②： 1分（Ⅰ）由①得， 2分由②得的对称轴为， 3分所以，. 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以. 5分（ⅰ）因为有两个不同的正数零点，所以 8分即 9分解得， 10分所以的取值范围是.（ⅱ）因为， 12分所以， 13分又因为，所以. ……14分选择条件①③：（Ⅰ）由①得，由③得的对称轴为，所以，.（Ⅱ）同选择条件①②.19．（本小题15分）解：（Ⅰ）从2018年到2022年运行列数的平均值为. 4分所以中欧班列从2018到2022年的平均运行列数为万列.（Ⅱ）从2018年到2022年随机选取2年，所有可能的结果有10种，它们是：. 7分用表示“这两年运行列数和大于万列”这一事件， 8分则中的结果有4个，它们是. 10分所以，所求的概率. 12分（Ⅲ）. 15分20．（本小题15分）解：（Ⅰ）令，… 1分所以，即， 2分所以，所以零点为. 3分（Ⅱ）令，即， 5分所以，整理得， 7分，所以，.所以函数的图象与函数图象的交点坐标为. 9分（Ⅲ）由得. 10分由题意，在恒成立，即在恒成立. 12分所以在恒成立.令，则，所以.因为，所以，所以，.所以的取值范围为. 15分21．（本小题15分）解：（Ⅰ）①不是.当时，，，所以不是集合中的元素. 2分②是.,，所以是集合中的元素.