北京市首都师大附中2024届八年级数学第二学期期末统考试题含解析

北京市首都师大附中2024届八年级数学第二学期期末统考试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为18，则PD+PE+PF＝（）A．18 B．93C．6 D．条件不够，不能确定2．如果平行四边形一边长为12cm，那么两条对角线的长度可以是（）A．8cm和16cm B．10cm和16cm C．8cm和14cm D．10cm和12cm3．将一元二次方程配方后，原方程可化为（

）A． B． C． D．4．菱形和矩形一定都具有的性质是（）A．对角线相等 B．对角线互相垂直C．对角线互相平分 D．对角线互相平分且相等5．已知一次函数的图象与轴交于点，且随自变量的增大而减小，则关于的不等式的解集是（）A． B． C． D．6．一次考试考生约2万名，从中抽取500名考生的成绩进行分析，这个问题的样本是（）A．500 B．500名 C．500名考生 D．500名考生的成绩7．小苏和小林在如图①所示的跑道上进行米折返跑.在整个过程中，跑步者距起跑线的距离（单位：）与跑步时间（单位：）的对应关系如图②所示.下列叙述正确的是（）.A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C．小苏前跑过的路程大于小林前跑过的路程D．小林在跑最后的过程中，与小苏相遇2次8．据有关实验测定，当室温与人体正常体温（37℃）的比值为黄金比时，人体感到最舒适，这个室温约（精确到1℃）（）A．21℃ B．22℃ C．23℃ D．24℃9．如图，一次函数y＝mx+n与y＝mnx（m≠0，n≠0）在同一坐标系内的图象可能是（）A． B．C． D．10．如图，在ΔABC中，AC=6，BC=8，AB=10，P是AB边上的动点，PE⊥AC，PF⊥BC，则EF的最小值为（）A．125 B．245 C．5二、填空题(每小题3分,共24分)11．若ab，则32a__________32b（用“＞”、“”或“＜”填空）．12．已知﹣=16，+=8，则﹣=________．13．如图，在中，，，，过点作且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以/秒的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以/秒的速度运动，在线段上取点，使得，设点的运动时间为秒．当__________秒时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．14．已知一组数据：10，8，6，10，8，13，11，10，12，7，10，11，10，9，12，10，9，12，9，8，把这组数据按照6~7，8~9，10~11，12~13分组，那么频率为0.4的一组是_________．15．阅读后填空：已知：如图，∠A=∠D=90∘，AC=DB，AC、DB相交于点求证：OB=OC.分析：要证OB=OC，可先证∠OCB=∠OBC；要证∠OCB=∠OBC，可先证ΔABC≅ΔDCB；而用______可证ΔABC≅ΔDCB（填SAS或AAS或HL）.16．若分式方程1x-3-2=k3-x有增根,则17．若方程的两根，则的值为__________．18．如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH=BD其中正确结论的为______（请将所有正确的序号都填上）．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，在平面直角坐标系中如图所示：完成下列问题：(1)画出△ABC绕点O逆时针旋转90∘后的△ABC;点B1的坐标为___；(2)在(1)的旋转过程中，点B运动的路径长是___(3)作出△ABC关于原点O对称的△ABC;点C的坐标为___.20．（6分）如图，中，，两点在对角线上，．（1）求证：；（2）当四边形为矩形时，连结、、，求的值．21．（6分）如图，以△ABC的三边为边在BC同侧分别作等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．(1)四边形ADEF为__________四边形；(2)当△ABC满足条件____________时，四边形ADEF为矩形；(3)当△ABC满足条件____________时，四边形ADEF为菱形；(4)当△ABC满足条件____________时，四边形ADEF不存在．22．（8分）为推动阳光体育活动的广泛开展，引导学生积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用．现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图①和图②，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为人，图①中的m的值为，图①中“38号”所在的扇形的圆心角度数为；（2）本次调查获取的样本数据的众数是，中位数是；（3）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买36号运动鞋多少双？23．（8分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点A（2，3）与点B（0，5）．（1）求此一次函数的表达式；（2）若点P为此一次函数图象上一点，且△POB的面积为10，求点P的坐标．24．（8分）（1）计算（2）下面是小刚解分式方程的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题.解方程解：方程两边乘，得第一步解得第二步检验：当时，.所以，原分式方程的解是第三步小刚的解法从第步开始出现错误，原分式方程正确的解应是.25．（10分）某工厂准备购买A、B两种零件，已知A种零件的单价比B种零件的单价多20元，而用800元购买A种零件的数量和用600元购买B种零件的数量相等（1）求A、B两种零件的单价；（2）根据需要，工厂准备购买A、B两种零件共200件，工厂购买两种零件的总费用不超过14700元，求工厂最多购买A种零件多少件？26．（10分）已知，梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，AB＝AD，连接BD（如图a），点P沿梯形的边，从点A→B→C→D→A移动，设点P移动的距离为x，BP＝y．（1）求证：∠A＝2∠CBD；（2）当点P从点A移动到点C时，y与x的函数关系如图（b）中的折线MNQ所示，试求CD的长．（3）在（2）的情况下，点P从A→B→C→D→A移动的过程中，△BDP是否可能为等腰三角形？若能，请求出所有能使△BDP为等腰三角形的x的取值；若不能，请说明理由．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【解析】

因为要求PD+PE+PF的值，而PD、PE、PF并不在同一直线上，构造平行四边形，把三条线段转化到一条直线上，求出等于AB，根据三角形的周长求出AB即可．【详解】延长EP交AB于点G，延长DP交AC与点H．∵PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，∴四边形AFPH、四边形PDBG均为平行四边形，∴PD=BG，PH=AF．又∵△ABC为等边三角形，∴△FGP和△HPE也是等边三角形，∴PE=PH=AF，PF=GF，∴PE+PD+PF=AF+BG+FG=AB=183故选C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．2、B【解析】

根据平行四边形对角线的性质、三角形三边关系定理逐项判断即可得．【详解】如图，设四边形ABCD是平行四边形，边长为，对角线AC、BD相交于点O则A、若，则，不满足三角形的三边关系定理，此项不符题意B、若，则，满足三角形的三边关系定理，此项符合题意C、若，则，不满足三角形的三边关系定理，此项不符题意D、若，则，不满足三角形的三边关系定理，此项不符题意故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的对角线性质、三角形的三边关系定理，掌握理解平行四边形的性质是解题关键．3、C【解析】

根据配方法对进行计算，即可解答本题．【详解】解：∵x2﹣4x+1＝0，∴（x﹣2）2﹣4+1＝0，∴（x﹣2）2＝3，故选：C．【点睛】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．4、C【解析】

菱形的对角线互相垂直且平分，矩形的对角线相等且平分．菱形和矩形一定都具有的性质是对角线互相平分．【详解】菱形和矩形一定都具有的性质是对角线互相平分．故选C．【点睛】本题考查了菱形及矩形的性质,熟知菱形和矩形的对角线的性质是解决本题的关键．5、B【解析】

根据一次函数随自变量的增大而减小，再根据一次函数与不等式的关系即可求解.【详解】随自变量的增大而减小，当时，，即关于的不等式的解集是．故选：．【点睛】此题主要考查一次函数与不等式的关系，解题的关键是熟知一次函数的图像.6、D【解析】

样本是指从总体中抽取的部分个体，据此即可判断【详解】由题可知，所考查的对象为考生的成绩，所以从总体中抽取的部分个体为500名考生的成绩.故答案为：D【点睛】本题考查了样本的概念，明确题中考查的对象是解题的关键.7、D【解析】

A.由图可看出小林先到终点，A错误；B.全程路程一样，小林用时短，所以小林的平均速度大于小苏的平均速度，B错误；C.第15秒时，小苏距离起点较远，两人都在返回起点的过程中，据此可判断小林跑的路程大于小苏跑的路程，C错误；D.由图知两条线的交点是两人相遇的点，所以是相遇了两次，正确.故选D.8、C【解析】

根据黄金比的值可知，人体感到最舒适的温度应为37℃的0.1倍．【详解】解：根据黄金比的值得：37×0.1≈23℃．故选C．【点睛】本题考查了黄金分割的知识，解答本题的关键是要熟记黄金比的值为≈0.1．9、C【解析】

根据m、n同正，同负，一正一负时利用一次函数的性质进行判断．【详解】解：①当mn＞0时，m、n同号，y＝mnx过一三象限；同正时，y＝mx+n经过一、二、三象限，同负时，y＝mx+n过二、三、四象限；②当mn＜0时，m、n异号，y＝mnx过二四象限，m＞0，n＜0时，y＝mx+n经过一、三、四象限；m＜0，n＞0时，y＝mx+n过一、二、四象限；故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．10、B【解析】

先由矩形的判定定理推知四边形PECF是矩形；连接PC，则PC=EF，所以要使EF，即PC最短，只需PC⊥AB即可；然后根据三角形的等积转换即可求得PC的值．【详解】如图，连接PC．∵在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，∴AB2=AC2+BC2，∴∠C=90°．又∵PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F．∴∠CEP=∠CFP=90°，∴四边形PECF是矩形．∴PC=EF．∴当PC最小时，EF也最小，即当PC⊥AB时，PC最小，∵12BC•AC=12AB•PC，即PC=∴线段EF长的最小值为245故选B．【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短．利用“两点之间垂线段最短”找出PC⊥AB时，PC取最小值是解答此题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【解析】

根据不等式的性质进行判断即可【详解】解：∵ab，∴2a2b∴32a32b故答案为：＜【点睛】本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．12、2【解析】

根据平方差公式即可得出答案.【详解】∵，∴故答案为2.【点睛】本题考查的是平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键.13、或14【解析】

根据点P所在的位置分类讨论，分别画出图形，利用平行四边形的对边相等列出方程，从而求出结论．【详解】解：①当点P在线段BE上时，∵AF∥BE∴当AD=BC时，此时四边形ABCD为平行四边形由题意可知：AD=x，PE=2x∵PC=2cm，∴CE=PE－PC=（2x－2）cm∴BC=BE－CE=（14－2x）cm∴x=14－2x解得：x=；②当点P在EB的延长线上时，∵AF∥BE∴当AD=CB时，此时四边形ACBD为平行四边形由题意可知：AD=x，PE=2x∵PC=2cm，∴CE=PE－PC=（2x－2）cm∴BC=CE－BE=（2x－14）cm∴x=2x－14解得：x=14；综上所述：当秒或14秒时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．故答案为：秒或14秒．【点睛】此题考查的是平行四边形的性质和动点问题，掌握平行四边形的对边相等和行程问题中的公式是解决此题的关键．14、【解析】

首先数出数据的总数，然后数出各个小组内的数据个数，根据频率的计算公式，求出各段的频率，即可作出判断．【详解】解：共有10个数据，其中6～7的频率是1÷10=0.1；

8～9的频率是6÷10=0.3；

10～11的频率是8÷10=0.4；

11～13的频率是4÷10=0.1．

故答案为．【点睛】本题考查频数与频率，掌握频率的计算方法：频率=频数÷总数．15、H【解析】

根据HL定理推出Rt△ABC≌Rt△DCB，求出∠ACB=∠DBC，再根据等角对等边证明即可．【详解】解：HL定理，理由是：∵∠A=∠D=90°，

∴在Rt△ABC和Rt△DCB中

BC＝CBAC＝DB

∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），

∴∠ACB=∠DBC，

∴OB=OC【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理、等腰三角形的判定等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，AAS，ASA，SSS，直角三角形全等还有HL定理．16、-1【解析】

增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x-7=0，所以增根是x=7，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．【详解】解：方程两边都乘（x-3），得

1-2（x-3）=-k，

∵方程有增根，

∴最简公分母x-3=0，即增根是x=3，

把x=3代入整式方程，得k=-1．

故答案为：-1．【点睛】考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：

①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．17、1【解析】

根据根与系数的关系求出，代入即可求解．【详解】∵是方程的两根∴=-=4，==1∴===4+1=1，故答案为：1．【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知=-，=的运用．18、①③④【解析】

根据已知先判断△ABC≌△EFA，则∠AEF=∠BAC，得出EF⊥AC，由等边三角形的性质得出∠BDF=30°，从而证得△DBF≌△EFA，则AE=DF，再由FE=AB，得出四边形ADFE为平行四边形而不是菱形，根据平行四边形的性质得出AD=4AG，从而得到答案．【详解】解：∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC，∵∠BAC=30°，∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，∵F为AB的中点，∴AB=2AF，∴BC=AF，∴△ABC≌△EFA，∴FE=AB，∴∠AEF=∠BAC=30°，∴EF⊥AC，故①正确，∵EF⊥AC，∠ACB=90°，∴HF∥BC，∵F是AB的中点，∴HF=BC，∵BC=AB，AB=BD，∴HF=BD，故④说法正确；∵AD=BD，BF=AF，∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，∴∠DFB=∠EAF，∵EF⊥AC，∴∠AEF=30°，∴∠BDF=∠AEF，∴△DBF≌△EFA（AAS），∴AE=DF，∵FE=AB，∴四边形ADFE为平行四边形，∵AE≠EF，∴四边形ADFE不是菱形；故②说法不正确；∴AG=AF，∴AG=AB，∵AD=AB，则AD=4AG，故③说法正确，故答案为①③④．考点：菱形的判定；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．三、解答题(共66分)19、（1）图见解析，;（2）；（3）图见解析，（2，3）.【解析】

（1）如图，画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△ABC；（2）如图，根据弧长公式，计算点B运动的路径长；画出△ABC后的△ABC；（3）如图，画出△ABC关于原点O对称的△ABC．【详解】(1)如图所示：点B1的坐标为(3,−4)；故答案为：(3,−4)(2)由勾股定理得：OB==5，∴故答案为：；(3)如图所示,点C2的坐标为(2,3)故答案为：(2,3).【点睛】此题考查作图-旋转变换，掌握作图法则是解题关键20、（1）证明见解析；（1）1．【解析】

（1）证明△ABE≌△CDF，根据全等三角形的对应边相等即可证得；

（1）根据四边形AECF为矩形，矩形的对角线相等，则AC=EF，据此即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD．

∴∠1=∠1．

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（SAS），

∴AE=CF．

（1）解：∵四边形AECF为矩形，

∴AC=EF，

∴，

又∵△ABE≌△CDF，

∴BE=DF，

∴当四边形AECF为矩形时，=1．【点睛】此题考查平行四边形的性质，矩形的性质，理解矩形的对角线相等是解题关键．21、(1)平行；(2)∠BAC=150°；(3)AB=AC且∠BAC≠60°；(4)∠BAC=60°.【解析】

（1）可先证明△ABC≌△DBE，可得DE=AC，又有AC=AF，可得DE=AF，同理可得AD=EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形ADEF是平行四边形；（2）如四边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；（3）利用菱形的性质与判定得出即可；（4）根据∠BAC=60°时，∠DAF=180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．【详解】（1）证明：∵△ABD，△BCE都是等边三角形，∴∠DBE=∠ABC=60°-∠ABE，AB=BD，BC=BE．在△ABC和△DBE中，∴△ABC≌△DBE（SAS）．∴DE=AC．又∵AC=AF，∴DE=AF．同理可得EF=AD．∴四边形ADEF是平行四边形．（2）∵四边形ADEF是平行四边形，∴当∠DAF=90°时，四边形ADEF是矩形，∴∠FAD=90°．∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°．则当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；故答案为：∠BAC=150°；（3）当AB=AC且∠BAC≠60°时，四边形ADEF是菱形，理由是：由（1）知：AD=AB=EF，AC=DE=AF，∵AC=AB，∴AD=AF，∵四边形ADEF是平行四边形，AD=AF，∴平行四边形ADEF是菱形．故答案为：AB=AC且∠BAC≠60°（或AB=AC≠BC）；（4）当∠BAC=60°时，∠DAF=180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在；故答案为：∠BAC=60°．【点睛】本题考查了等边三角形的性质及三角形内角和为180°、平行四边形和矩形的判定等知识，熟练掌握相关的定理是解题关键．22、（1）40，15，1°；（2）35，1；（3）50双.【解析】

（1）根据条形统计图求出总人数即可；由扇形统计图以及单位1，求出m的值即可；用“38号”的百分比乘以10°，即可得圆心角的度数；（2）找出出现次数最多的即为众数，将数据按照从小到大顺序排列，求出中位数即可；（3）根据题意列出算式，计算即可得到结果．【详解】（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为6+12+10+8+4=40，图①中m的值为100-30-25-20-10=15；10°×10%=1°；故答案为：40，15，1°．（2）∵在这组样本数据中，35出现了12次，出现次数最多，∴这组样本数据的众数为35；∵将这组样本数据从小到大得顺序排列，其中处于中间的两个数都为1，∴中位数为（1+1）÷2=1；故答案为：35，1．（3）∵在40名学生中，鞋号为1的学生人数比例为25%，∴由样本数据，估计学校各年级中学生鞋号为1的人数比例约为25%，则计划购买200双运动鞋，1号的双数为：200×25%=50（双）．【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．23、(1)y=﹣x+5;(2)（4，1）或（﹣4，9）．【解析】

（1）设此一次函数的表达式为y=kx+bk≠0.由点A、B（2）设点P的坐标为a,-a+5.根据三角形的面积公式即可列出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论.【详解】解：(1)设一次函数的表达式为y=kx+b，把点A(2,3)和点b=52k+b=3解得：b=5k=-1此一次函数的表达式为：y=-x+5，(2)设点P的坐标为(a,-a+5)，∵B(0,5∴OB=5，又∵△POB的面积为10，∴1∴|a|=4，∴a=±4，∴点P的坐标为(4,1)或【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数表达式；（2）找出关于a的含绝对值符号的一元一次方程.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键.24、（1）；（2）一,【解析】

（1）利用完全平方公式和单项式除以单项式的法则进行计算，然后合并同类项化简；（2）按照解分式方程的步骤进行判断发现小刚在第一步去分母时，常数项2漏乘，然后进行正确的解方程计算，从而求解即可.【详解】解：（1）====（2）小刚的解法从第一步开始出现错误解方程解：方程两边乘，得解得检验：当时，.所以，原分式方程的解是故答案为：一,【点睛】本题考查整式的混合运算及解分式方程，掌握完全平方公式的结构及解分式方程的步骤，正确计算是本题的解题关键.25、（1）A种零件的单价为1元，B种零件的单价为60元；（2）最多购进A种零件2件.【解析】

（1）设A种零件的单价是x元，则B种零件的