排列组合复习

排列组合复习

计数的基本原理排列组合排列数Anm公式组合数Cnm公式组合数的两个性质应用本章知识结构分类计数原理

完成一件事,有n类办法,在第1类办法中,有m1种不同的方法,在第2类办法中,有m2种不同的方法……在第n类办法中,有mn种不同的方法,则完成这件事有N=m1+m2+……+mn种不同的方法分步计数原理

完成一件事,需要分成n个步骤,在第1步中,有m1种不同的方法,在第2步中,有m2种不同的方法……在第n步中,有mn种不同的方法,则完成这件事有N=m1×m2×……×mn种不同的方法分类计数原理与分步计数原理之间的区别与联系1．分类计数原理中各类方法之间是互相独立的，每一类每一种方法都能直接完成这件事情，分步计数原理中，各个步骤之间是相互联系的，依次完成所有步骤才能完成这件事情．2．分类计数原理的重点在一个“类”字，分步计数原理的重点在一个“步”字，应用加法原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性，在各类办法中彼此是独立的，并列的．应用分步计数原理时，要注意“步”与“步”之间的连续性，做一件事需分成若干个步骤，每个步骤相继完成，最后才算做完整个工作练习1：书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？答案：N＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．N=m1×m2×m3=90．练习2：

由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数（各位上的数字允许重复）？解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数字，有4种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选法；第三步确定个位上的数字，仍有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位整数的个数是

N=4×5×5=100．

答：可以组成100个三位整数．

从n个不同的元素中，任取A个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出A个元素的一个排列。排列与排列数所有排列的个数叫做排列数，用表示。判断下列几个问题是不是排列问题?①从班级5名优秀团员中选出3人参加上午的团委会②1000本参考书中选出100本给100位同学每人一本③1000名来宾中选20名贵宾分别坐1～20号贵宾席组合

④两个组合的元素完全相同为相同组合注①n个不同元素②m≤n③组合与元素的顺序无关排列与元素的顺序有关

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示方法Cmn从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合组合数的两个性质性质1性质2Cnm=AnmAmm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m﹗例2

计算:

C10

7(2)C7

4(1)C有条件的排列问题有条件的排列问题

例3七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。a)若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？解：将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有

种排法，而三个女孩之间有种排法，所以不同的排法共有：（种）。捆绑法有条件的排列问题七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。b)若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法？不同的排法有：（种）说一说捆绑法一般适用于问题的处理。相邻有条件的排列问题七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。c)若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？解：先把四个男孩排成一排有种排法，在每一排列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入空档中有种方法，所以共有：（种）排法。有条件的排列问题七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家