流体力学（清华大学张兆顺54讲） PPT课件 76-2-4流体力学（中）（第二章 流体运动学）

流体力学彭杰清华大学航天航空学院第二章流体运动学采用数学分析和几何描述的方法研究流体运动的规律，不研究运动产生和变化的原因2023/4/621.描述流体运动的两种方法2.流场的几何描述3.流体微团运动分析4.流场的旋度5.给定流场散度和旋度求速度场§2.1描述流体运动的两种方法在流体力学中主要采用两种方法来描述流体的运动拉格朗日法：

以流场中个别质点的运动作为研究出发点，从而进一步研究整个流体的运动，这种方法是质点系力学研究方法的自然延续。欧拉法：

以流体流过空间某点时的运动特性作为研究的出发点，从而研究流体在整个空间里的运动情况。2023/4/63Joseph-LouisLagrangeLeonhardEuler§2.1描述流体运动的两种方法拉格朗日法格朗日法通过两个方面来描述流场：某一运动的流体质点各种物理量随时间的变化(时间)；相邻质点间这些物理量的变化（空间）。拉格朗日法实现的关键是建立识别每个质点的标记方法。流体质点初始时刻的坐标与流体质点一一对应可用来标记流体质点2023/4/64§2.1描述流体运动的两种方法2023/4/65以质点在时刻的坐标作为标记在时刻质点的位置其中为常数，表明研究的是质点§2.1描述流体运动的两种方法2023/4/66对任意质点，在任意时刻的位置其中为自变量，称为拉格朗日变量称为流体质点的位移函数固定：表示某个确定质点的运动轨迹固定：表示时刻各质点的位置§2.1描述流体运动的两种方法2023/4/67位移函数的两个基本性质：1、在初始时刻，欧拉变量与拉格朗日变量的转换2、任意时刻和是一一对应的连续函数意义：§2.1描述流体运动的两种方法2.欧拉法

欧拉法通过以下两个方面来描述整个流场：在空间固定点上流体物理量随时间的变化（时间）；在相邻空间点上这些物理量的变化（空间）。 空间点上的物理量指占据这些位置的各个流体质点的物理量，在不同时刻由不同流体质点占据，从而引起空间点上物理量的变化。2023/4/68§2.1描述流体运动的两种方法2023/4/69在欧拉法中，流动物理量是时间和空间坐标的函数其中为自变量，称为欧拉变量欧拉法是一种场的描述方法定常流场：与时间无关的欧拉速度场§2.1描述流体运动的两种方法2023/4/6103.欧拉描述与拉格朗日描述的相互转换1）拉格朗日描述变为欧拉描述

？§2.1描述流体运动的两种方法2023/4/611例：给定拉格朗日的位移表达式其中为常数，为拉格朗日变量，求欧拉速度场由拉格朗日的位移表达式求拉格朗日速度表达式由位移表达式求反演代入拉格朗日速度表达式定常流动§2.1描述流体运动的两种方法2023/4/6122）欧拉描述变为拉格朗日描述

？§2.1描述流体运动的两种方法2023/4/613例：已知欧拉速度场求质点位移和速度的拉格朗日表达式由初始条件§2.1描述流体运动的两种方法2023/4/6144.质点导数(MaterialDerivative)定义：流体质点的物理量对于时间的变化率称作该物理量的质点导数在拉格朗日描述中，的质点导数

例如：加速度是速度的质点导数§2.1描述流体运动的两种方法2023/4/615在欧拉描述中时刻质点的物理量时刻质点的物理量时间内该质点物理量的增量的质点导数§2.1描述流体运动的两种方法2023/4/616欧拉描述中物理量的质点导数局部导数，由流场的非定常性引起迁移导数，由流场的非均匀性引起质点的加速度=局部加速度+迁移加速度第二章流体运动学采用数学分析和几何描述的方法研究流体运动的规律，不研究运动产生和变化的原因2023/4/6171.描述流体运动的两种方法2.流场的几何描述3.流体微团运动分析4.流场的旋度5.给定流场散度和旋度求速度场§2.2流场的几何描述2023/4/6181.迹线(Pathline,Trajectory)定义：流体质点运动的轨迹称为迹线方程：拉格朗日描述欧拉描述§2.2流场的几何描述2023/4/619例：已知流体的速度场在直角坐标中为求时位于的质点的轨迹由初始条件迹线的参数方程或§2.2流场的几何描述2023/4/6202.流线(streamline)定义：流线是速度场的向量线，它是某一固定时刻的空间曲线，该曲线上任意一点的切线方向与在该点的流体速度方向一致。直角坐标系中流线方程：说明与比较：迹线是同一质点在不同时刻的运动轨迹，迹线方程中是自变量；流线是同一时刻不同质点上的速度场向量线，流线方程中是参变量，积分时做为常数。§2.2流场的几何描述2023/4/621例：已知流体的速度场在直角坐标中为求时通过的流线方程所求的流线方程为§2.2流场的几何描述2023/4/622流线的性质：一般情况下流线不能相交，同一时刻通过一点只有一根流线； 三个例外：驻点（速度为零），奇点（速度为无限大），相切流场中每一点都有流线通过，由这些流线形成流谱；垂直于流线方向的速度分量为零；流线形状与选定的坐标系有关；定常流动中，流线与迹线重合。源汇§2.2流场的几何描述2023/4/623例：已知流体的速度场在直角坐标中为求流线和迹线方程流线：迹线：消去：流线和迹线相同§2.2流场的几何描述2023/4/624迹线：基本的拉格朗日几何描述方法流线：基本的欧拉几何描述方法§2.2流场的几何描述2023/4/625脉线（streakline）和时间线（timeline）：实验上易于实现§2.2流场的几何描述2023/4/6263.流管（stream-tube）在给定瞬时，通过任一非流线的曲线上各点作流线，这些流线组成的曲面称为“流面”在给定瞬时，通过任一非流线的封闭曲线上各点作流线，由这些流线构成的管状曲面称为“流管侧面”,该曲面包围的空间称为“流管”流管的性质：流管侧面不可能有流体通过；流管不可能在流场内部中断：流管只能始于或终于流场边界、或成环形、或伸展到无穷远处§2.2流场的几何描述2023/4/6274.光滑流体线与光滑流体面的保持性流体线：同一时刻由确定的一组连续排列的流体质点所组成的线，称为流体线处处连续且可微的流体线称为光滑流体线。流体面：同一时刻由确定的一组连续排列的流体质点所组成的面，称为流体面处处连续且可微的流体面称为光滑流体面。光滑流体线（面）的保持性：光滑流体线（面）在运动过程中始终保持为光滑流体线（面），且其上流体质点的排列顺序不随时间变化，因此处于流体线两端的流体质点始终处于两端，处于流体面边界上的流体质点始终位于流体面边界上。§2.2流场的几何描述2023/4/628数学描述：设光滑流体界面的方程为由于流体运动，界面也随之运动，在时刻，它的方程为因为它是光滑流体面且具有保持性，对上式进行Taylor展开第二章流体运动学采用数学分析和几何描述的方法研究流体运动的规律，不研究运动产生和变化的原因2023/4/6291.描述流体运动的两种方法2.流场的几何描述3.流体微团运动分析4.流场的旋度5.给定流场散度和旋度求速度场§2.3流体微团运动分析2023/4/6301.几何分析正交微元六面体经过微小时间间隔将变成斜平行六面体平行移动：六面体整体平移到新位置；线变形：六面体经过O点的三条正交流体线伸长或缩短，引起六面体体积膨胀或压缩；角变形：过O点有三个正交流体面，每个正交流体面的两正交流体线之间角度的变化，引起六面体形状变化；转动：六面体象刚体一样转动。§2.3流体微团运动分析2023/4/6312.线变形率单位时间内流体线的相对伸长，称为线变形速率流体微团的体积在单位时间内的相对变化，称为流体微团体积膨胀速率流体微团体积膨胀速率=三个方向线变形速率之和

=流体散度不可压缩流体§2.3流体微团运动分析2023/4/6323.流体旋转角速度过同一点的任意两条正交微元流体线，在它们所在的平面上的旋转角速度的平均值，称为该点流体的旋转角速度在垂直该平面方向的分量§2.3流体微团运动分析2023/4/6334.角变形率微元平面上两垂直线段夹角在单位时间内减小量之半称为该面的角变形率，用表示，下标表示线段所在的平面。§2.3流体微团运动分析2023/4/634线变形率角变形率旋转角速度上述物理量是相互独立的，从中可以有如下9个独立控制量§2.3流体微团运动分析2023/4/6355.流体的速度梯度张量流体微团上任一点的速度由参考点的速度和线变形率、角变形率以及旋转角速度控制流体的速度梯度张量（二阶张量）§2.3流体微团运动分析2023/4/636流体的速度梯度张量(二阶张量)可分解为一个对称张量和一个反对称张量变形率张量二阶对称张量，6个独立分量旋转张量二阶反对称张量，3个独立分量§2.3流体微团运动分析2023/4/6376.海姆霍兹速度分解定理某参考点附近任一点上的速度可以分为三个部分与参考点相同的平移速度；变形在该点引起的速度；绕参考点转动在该点引起的速度。有旋流动和无旋流动流动无旋流动有旋流体微团的运动=平动+变形+转动有旋与无旋分开联系变形率与应力§2.3流体微团运动分析2023/4/638流动有旋：流体微团自身旋转例：分别求以下两个流场中流体质点的迹线和准刚体旋转的角速度流场定常，流线和迹线重合(a)(b)第二章流体运动学采用数学分析和几何描述的方法研究流体运动的规律，不研究运动产生和变化的原因2023/4/6391.描述流体运动的两种方法2.流场的几何描述3.流体微团运动分析4.流场的旋度5.给定流场散度和旋度求速度场§2.4流场的旋度2023/4/640涡量场的向量线称为涡线；给定瞬间，通过某一曲线（非涡线）的所有涡线构成的曲面称为涡面；

涡面对于涡量具有不可穿透性管状涡面的内域称为涡管。1.涡量场及其性质定义：速度场的旋度称为涡量。性质：涡量场是管式场（散度为零）。涡线、涡面和涡管§2.4流场的旋度2023/4/641通过某一开口曲面的涡量总和称为涡通量在给定瞬间，沿涡管各截面上的涡通量大小相等，并将该涡通量的绝对值称为涡管强度涡通量和涡管强度推论：在流场中涡管不能消失，只能两端延伸到无穷远、或形成封闭涡环、或中止于物面及其它边界上§2.4流场的旋度2023/4/6422.速度环量定义：在速度场中，速度沿封闭周线的线积分称为绕该周线的速度环量定理：速度环量等于张在封闭周线上任意曲面的涡通量，其中曲面法向与的方向由右手规则确定对于无旋流动,一定存在一个标量函数，使得,称为速度势3.无旋流动和速度势流动无旋速度有势2023/4/643引入流线坐标系，流线单位矢导数流动沿密切面而行，涡量在副法线方向投影涡量在流动密切面法向分量的分解2023/4/644曲率涡量和切变涡量从运动学的角度，流线弯曲和速度切变梯度是出现涡量的两要素涡量在流动密切面法向分量的分解2023/4/645例3

平面泊肃叶流,流线是直线

与例1相同

与例1大小相等，符号相反

涡量在流动密切面法向分量的分解第二章流体运动学采用数学分析和几何描述的方法研究流体运动的规律，不研究运动产生和变化的原因2023/4/6461.描述流体运动的两种方法2.流场的几何描述3.流体微团运动分析4.流场的旋度5.给定流场散度和旋度求速度场§2.5给定流场散度和旋度求速度场2023/4/6471.由速度场的散度和旋度确定速度场的唯一性定理定理：已知域内速度场的散度和旋度以及边界上的法向速度，则可唯一确定域内的速度场。给定则的解是唯一的。速度场的求解可分为三个部分：

是无旋有散的一个解

是无散有旋的一个解

是无散无旋满足边界条件的一个解§2.5给定流场散度和旋度求速度场2023/4/6482.由速度场的散度求速度场§2.5给定流场散度和旋度求速度场2023/4/649设速度场的散度为函数例：点源诱导的速度场为包含的任意体积点源球坐标中§2.5给定流场散度和旋度求速度场2023/4/6503.由速度场的旋度求速度场散度方程自动满足令1）若选择使得，则毕奥-萨法尔公式（涡诱导速度公式）§2.5给