空间向量基本定理 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何1.2空间向量基本定理1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解.3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法.4.培养数学抽象、直观想象、数学运算等素养.教学目标正交分解1、共线向量定理:同一平面内两个不共线的非零向量a、b，对平面内任意向量p，有且只有一对实数x，y，使：p

=xa+yb．（a、b称基底）2、平面向量基本定理：ABCDO探索新知问题二

如果向量分别和向量a、b、c共线，能否用向量a、b、c表示向量问题一

右图中的向量是不共面的三个向量，请问向量与它们的关系？新课探究空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对于空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使p＝xa+yb+zc．OPP’AA’BB’C’C证明:存在性

设a、b、c不共面,过O作在平面OAB内，过作直线过点P作直线平行于OC交平面OAB于点，存在三个实数x，y，z，使所以唯一性：

设另有一组实数x'、y'、z'，

使得p＝x'a+y'b+z'c,则有

xa+yb+zc＝x'a+y'b+z'c，∴(x－x’')

a+(y－y')b+(z－z')c＝0．∵a、b、c不共面，∴x－x'＝y－y'＝z－z'＝0，即x＝x'且y＝y'且z＝z'．故实数x、y、z是唯一的．OPP’AA’BB’C’C（1）什么是基底？什么是基向量？（2）一个基底包含几个基向量？三个向量要构成一个基底需要满足什么条件？（3）什么是单位正交基底？（4）正交分解的定义是什么？空间向量间的运算

基向量间的运算转化三点说明①空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．②三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量．（零向量与任意非零向量共线，与任意两个非零向量共面）③一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量．CABMNPO典例分析1.已知向量是空间的一个基底．求证:向量能构成空间的一个基底.对应练习ABCDMNB1A1C1D1典例分析ABCDMNB1A1C1D1对应练习2.如图，已知平行六面体OABC-O'A'B'C'，点G是侧面BB'C'C的中心，且（1）是否构成空间的一个基底？（2）如果构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量：BCOA1B1C1O1AGCABDEFG典例分析CABDEFGCABDEFG【例4】

已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底.【变式训练4】

设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}.其中可以作为空间一个基底的向量组有()A.1个

B.2个C.3个

D.4个C【例5】

如图，在空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，用向量a，b，c表示向量.

【变式训练5】

如图，四棱锥P­OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，，，.

【例6】

如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，取向量，，为基底的基向量，在下列条件下，分别求x，y，z的值.(1)

；【例6】

如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，取向量，，为基底的基向量，在下列条件下，分别求x，y，z的值.(2)

.【变式训练6】如图，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量.(1)；