压杆稳定-压杆的临界应力（建筑力学）

压杆稳定三、超出比例极限时压杆的临界应力(一)经验公式在工程实际中，常遇到柔度λ小于λｐ的压杆，这类压杆的临界应力已超出比例极限，所以不能再用欧拉公式来计算临界力。对于这类压杆，通常采用以试验结果为依据的经验公式，如直线公式、抛物线公式等，工程中常用的抛物线公式为σcr=a－ｂλ2(8-13)式中,a、b为与材料的力学性能有关的两个常数，可以通过试验加以测定，使用时可从有关手册上查取。Q235钢σcr＝235－0.00668λ2Q345(16锰钢)σcr＝345－0.0142λ2式中，σcr的单位为MPa。(二)临界应力总图如果将式(8-10)和式(8-13)中的临界应力与柔度之间的函数关系绘在σcr～λ直角坐标系内，将得到临界应力随柔度变化的曲线图形，称为临界应力总图，如图8-3所示。由图8-3还可见，临界应力均随柔度λ的增大而呈逐渐衰减的变化规律。也就是说压杆越细越长，就越容易失去稳定。但对于柔度较小的短粗杆，其临界应力σcr接近材料的屈服极限σｓ,曲线的曲率比较平缓，一般可取σｓ或σb作为临界应力。这说明短粗杆的破坏不是失稳而是强度破坏了。【例8-1】松木制成的受压柱，矩形横截面为ｂ×ｈ＝100ｍｍ×180ｍｍ，弹性模量Ｅ＝10GPa，λｐ＝110，杆长l＝7m。在ｘOｚ平面内失稳时(绕ｙ轴转动)，杆端约束为两端固定(见图8-4(a))，在ｘOｙ平面内失稳时(绕ｚ轴转动)，杆端约束为两端铰支(见图8-4(b))。求木柱的临界应力和临界力。解：(1)在xOz(最小刚度)平面内的临界应力和临界力：此时μｙ＝0.5，横截面对y轴的惯性半径ｉｙ＝28.87（ｍｍ）。在此平面内λｙ＝μｙl/ｉｙ＝0.5×7×103/28.87＝121.2＞110符合欧拉公式的适用条件。临界应力为σcr＝π2Ｅ/λ2ｙ＝π2×10×103/121.22＝6.72(ＭＰａ)临界力为Ｆcr＝σcrＡ＝6.72×100×180×10－3＝121(kN)(2)在xOy(最大刚度)平面内的临界应力和临界力：此时μｚ＝1.0，横截面对z轴的惯性半径ｉｚ＝51.96(ｍｍ)。在此平面内λｚ＝μｚl/ｉｚ＝1.0×7×103/51.96＝134.7＞110临界应力为σcr＝5.44(ＭＰａ)临界力为Ｆcr＝σcr/Ａ＝5.44×100×180×10－3＝97.9(ｋＮ)

计算结果表明，木柱在最大刚度平面(ｘOｙ)内支承条件较弱，柔度λｚ较大，使其临界力较小而先失稳。本例说明，在不同平面内，当杆端支承条件不相同时，应分别计算λ，并取较大者计算临界应力(或临界力)，因为压杆总是在λ较大的平面内先失稳。

压杆稳定

一、临界应力与柔度将临界荷载Ｆcr除以压杆的横截面面积Ａ，即可求得压杆的临界应力σcr＝Ｆcr/Ａ＝π2EI/(μl)2Ａ(8-9)将截面对中性轴的惯性半径ｉ＝I／A引入上式，得σcr＝π2Ｅ/(μl/ｉ)2＝π2Ｅ/λ2(8-10)式(8-10)称为临界应力欧拉公式，式中λ＝μl/ｉ称为柔度或长细比，它是一个无量纲量。柔度综合考虑了压杆的长度、截面的形状与尺寸以及杆件的支承情况对临界应力的影响。式(8-10)表明，λ值愈大，压杆就愈容易失稳。

压杆的临界应力压杆稳定

压杆稳定二、欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围应该是临界应力不超过材料的比例极限σｐ，即σcr＝π2Ｅ/λ2≤σｐ或令(8-11)于是欧拉公式的适用范围可用柔度表示为λ≥λｐ(8-12)λｐ是与压杆材料性质有关的量。对于Ｑ