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静定结构的位移计算一、图乘法公式推导利用式(11-3)计算梁和刚架的位移时,先要逐杆建立MF、方程,再分别积分。当结构的杆件较多且荷载较为复杂时,计算非常烦冗,但如果结构中各杆件同时满足下列三个条件:①杆轴为直线;②EI为常数(包括截面分段变化的杆件);③、MF图中至少有一个是直线图形,则可利用图乘法来代替积分运算。设等截面直杆AB段的、MF图如图11-4所示。假设图为直线图形,MF图为任意图形,图直线的倾角为α:

图乘法静定结构的位移计算因为=xtanα

tanα=常数又因为ds=dxEI=常数所以上式中dωF=MFdx,表示MF图中dx微段的微面积;xdωF表示微面积dωF对y轴的静矩;表示整个MF图的面积对y轴的静矩。若以ωF表示MF图的面积,以xC表示面积ωF的形心C到y轴的距离,则由合力矩定理得

所以,有(11-7)上式中的yC表示MF图形心C处对应于图的纵坐标。在满足图乘法的三个条件的前提下,可用代替的积分运算,这种方法称为图乘法。二、图乘法注意事项应用图乘法时需注意以下几点:(1)必须符合图乘法应用条件。(2)yC必须取自直线图形。若图和MF图均为直线图形,也可用图的面积乘以其形心所对应的MF图的纵坐标来计算。(3)当面积ωF与yC在杆件同一侧时,图乘结果为正号;反之为负号。静定结构的位移计算

所以,有(11-7)上式中的yC表示MF图形心C处对应于图的纵坐标。在满足图乘法的三个条件的前提下,可用代替的积分运算,这种方法称为图乘法。二、图乘法注意事项应用图乘法时需注意以下几点:(1)必须符合图乘法应用条件。(2)yC必须取自直线图形。若图和MF图均为直线图形,也可用图的面积乘以其形心所对应的MF图的纵坐标来计算。(3)当面积ωF与yC在杆件同一侧时,图乘结果为正号;反之为负号。

注意:图11-5给出了位移计算中几种常见图形的面积和形心的位置,以便图乘时查用。图11-5中顶点是指该点的切线平行于底边的点(M图中的极值点、剪力为零的点),图中的抛物线是标准抛物线,它的顶点在图形的中点或端点,顶点的切线与基线平行,即在顶点处剪力Q=0。

在实际计算中,会遇到比图11-5更为复杂的图形,这时,可将复杂的图形分解成几个简单的图形,然后分别将简单的图形图乘后再叠加。应当指出,图乘法同样适用于剪力和轴力两项积分,即【例11-2】试求如图11-6所示外伸梁C点的竖向位移ΔCy。已知EI为常数。解:在结点C加单位竖向力,分别作出MF图和MK图,如图11-6(b)、(c)所示。由图乘法,得ΔCy=∑ωFyC/EI=1/EI(ω1y1+ω2y2+ω3y3)=1/EI[(1/3×ql2/8×l/2)×3l/

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