6.3实数2024年七年级数学下学期重点题型方法与技巧（人教版）

第六章实数6.3实数1有理数和无理数的小数形式（1）任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，反过来任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。【例】12=0.5，-35=-0.6（2）无限不循环小数叫做无理数。【例】2，-5，32，332实数有理数和无理数统称实数.实数按大小分类如下：实数3实数的性质（1）实数与数轴上的点是一一对应的；（2）有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数。实数a的相反数是-a；一个正实数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.即|a|=&a,当【例】2的相反数是-2，3-π【题型1】实数的概念与分类【典题1】下列实数257,π3,3.14159,-9A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析-9＝﹣3所以在实数257,π3,3.14159,-9，0.3030030003……中，无理数有故选：B．【典题2】如图，以点M为圆心的圆交数轴于A，B两点，若M点表示的数2，A点表示的数是3，则B点表示的数是()A．2+3 B．2-3 C．4-3 解析∵BM=AM=2-3∴OB=OM+BM=2+2-3故选：C．【巩固练习】1.下列说法中，正确的是()A．无理数包括正无理数、零和负无理数 B．无限小数都是无理数 C．正实数包括正有理数和正无理数 D．实数可以分为正实数和负实数两类答案C解析(A)无理数包括正无理数和负无理数，故A错误；(B)无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故B错误；(D)实数可分为正实数，零，负实数，故D错误；故选：C．2.若a、b是不相等的无理数，则()A．a+b一定是无理数 B．a﹣b一定是无理数 C．a•b一定是无理数 D．ab答案D解析A、当a＝2﹣2，b＝2+2，a+b＝4，a+b是有理数，原说法错误，故此选项不符合题意；B、当a＝1+2，b＝2+2，a﹣b＝﹣1，a﹣b是有理数，原说法错误，故此选项不符合题意；C、当a＝2，b＝22，ab＝8ab是有理数，原说法错误，故此选项不符合题意；D、若a、b是不相等的无理数，则ab故选：D．3.在3,-34,π,0,49，0.6，0.1212212221…(相邻两个1之间2的个数逐次加A．1 B．2 C．3 D．4答案C解析0是整数，属于有理数；-449=2无理数有3，π，0.1212212221…(相邻两个1之间2的个数逐次加1)，共3个．故选：C．4.在227,π-3.14,3-8,6，2.010010001A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案B解析227，2.010010001是分数，3-8＝﹣π﹣3.14，6是无限不循环小数，它们是无理数；综上，无理数有2个，故选：B．5.如图，数轴上与1，2对应的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则线段AC的长为()A．1+2 B．2-1 C．2-2 答案B解析∵点B关于点A的对称点为C，∴AC＝AB，∵数轴上与1，2对应的点分别为A，B，∴AC=AB=2故选：B．【题型2】比较实数大小【典题1】比较大小错误的是()A．5<7 B．C．-7-232>-6 解析∵5＜7，∴5<7，因此选项∵5<35<6，∴∵9<82<10，∴8＜82﹣1＜∴35+2<82-1∵4＜23＜5，∴11＜23+7＜12，∴5.5＜7+232＜∴﹣6＜﹣7+232＜﹣5.5，因此选项∵2+3<4，3+∴32>23故选：D．【巩固练习】1.在0、12、﹣1、2这四个数中，最大的数是(A．0 B．12 C．﹣1 D．答案D解析∵负数小于正数，∴﹣1是这四个数中最小的数，∵2≈1.414，∴2＞1＞12＞0∴四个数中最大的数为2，故选：D．2.下列大小关系正确的是()A．2＞2 B．23＞32 C．-72<-3答案D解析A、∵(2)2＝2，22＝4，∴2＜4，∴2＜2，故A不符合题意；B、∵(23)2＝12，(32)2＝18，∴12＜18，∴23＜32，故B不符合题意；C、∵-722=74,故C不符合题意；D、∵82＝64，(67)2＝67，∴64＜67，∴8＜67，故D符合题意；故选：D．3.若a＝25，b＝32，c＝2+2，则a，b，c之间的大小关系是()A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c答案D解析∵2≈1.414，5≈2.236，∴a≈4.472，b≈4.242，c≈3.414，∴a＞b＞c，故选：D．4.已知a=2-1,b=22-6,c=6-2，那么aA．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b答案B解析∵a-b=2∴a＞b；∵a-c=2∴a＜c；于是b＜a＜c，故选：B．5.下面是小李同学探索107的近似数的过程：∵面积为107的正方形边长是107，且10＜107＜11，∴设107＝10+x，其中0＜x＜1，画出如图示意图，∵图中S正方形＝102+2×10•x+x2，S正方形＝107∴102+2×10•x+x2＝107当x2较小时，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即107≈10.35．(1)76的整数部分是；(2)仿照上述方法，探究76的近似值．(画出示意图，标明数据，并写出求解过程)答案(1)8；(2)8.75.解析(1)∵64<76<81，即8＜∴76的整数部分为8，故答案为：8；(2)∵面积为76的正方形边长是76，且8＜76＜9，∴设76＝8+x，其中0＜x＜1，如图所示，∵图中S正方形＝82+2×8•x+x2，S正方形＝76，∴82+2×8•x+x2＝76，当x2较小时，省略x2，得16x+64≈76，得到x≈0.75，即76≈8.75．【题型3】实数的性质【典题1】下列各组数中，互为相反数的是()A．-9与327 B．3-8与-38 C．|-2|与解析A、∵-9∴-9与327互为相反数，∵3-8∴3-8＝-38|-2|=2∵3-8∴2与3-8不是互为相反数，D故选：A．【典题2】已知|x|＝5，y是3的平方根，且|y﹣x|＝x﹣y，求x+y的值．解析由题意得x=±5∵|y﹣x|＝x﹣y，∴x＞y∴x＝5，y＝3或x＝5，y＝﹣3．∴x+y＝5+3或x+y＝5﹣3．【巩固练习】1.2-5的相反数是(A．2-5 B．5-2 C．-2-5 答案B解析∵-(2-5)=5-2，∴2-52.下列各组数中互为相反数的是()A．﹣2与(-2)2 B．﹣2与3-8 C．﹣2与-12 D．答案A解析A、(-2)2＝2，﹣2与B、3-8＝﹣2，﹣2与3C、﹣2与-1D、|﹣2|＝2，2与|﹣2|相等，不是互为相反数，故本选项错误．故选：A．3.1﹣2的绝对值是()A．1﹣2 B．2﹣1 C．1+2 D．±(1﹣2)答案B解析1﹣2的绝对值是2﹣1．故选：B．4.1.5-2的绝对值是(A．1.5-2 B．-1.5-2 C．2-1.5 答案A解析∵2≈1.414，∴1.5﹣2＞0．∴1.5﹣2的绝对值是它本身．故选：A．5.满足m>|1-10|的整数m的值可能是(A．0 B．1 C．2 D．3答案D解析∵m>|1-10|，∴∵9＜10＜16，∴3<10∴2<10∴四个选项中只有D选项中的值符合题意，故选：D．6.已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的相反数为2，f的算术平方根是8，求12答案92解析由题意可知：ab＝1，c+d＝0，e＝-2，f＝64∴3f∴127.观察下列等式，并回答问题：①|1-2②|2-3|=3-2…(1)请写出第⑤个等式，化简：|35-6|=(2)写出你猜想的第n个等式：；(用含n的式子表示)(3)比较24-14与答案(1)|5-6|=6-5，6-35解析(1)第⑤个等式为：|5|35故答案为：|5-6(2)猜想的第n个等式为：|n故答案为：|n(3)∵16＜24＜25，∴4＜24＜5，∴24-1∴24-14＜【题型4】实数的运算【典题1】计算：(1)3-8(2)(-2)解析(1)3=-2+1(2)(-2)【巩固练习】1.计算：(-1)答案3-解析(-1)2.计算：-1答案-5+解析原式=-1-(3-53.计算：(1)(3(2)5+|-1|-4答案(1)﹣3；(2)2+3．解析(1)原式＝3﹣4+(﹣2)＝3﹣4﹣2＝﹣3；(2)原式＝5+1﹣2+2﹣1＝2+3．【A组基础题】1.以下说法正确的是()A．无限小数都是无理数 B．无限不循环小数是无理数 C．无理数是带根号的数 D．分数是无理数答案B解析A、无理数是无限小数，但无限小数不一定是无理数，所以此选项说法不正确；B、无限不循环小数是无理数，所以此选项说法正确；C：带根号的数有的是有理数，有的是无理数，如4是有理数，3是无理数，所以此选项说法不正确；D、整数和分数统称为有理数，所以分数是有理数，所以此选项说法不正确；故选：B．2.在﹣2，π，0，4四个实数中，是无理数的是()A．﹣2 B．π C．0 D．4答案B解析﹣2是负整数，是有理数；π是无限不循环小数，是无理数；0是整数，是有理数；4＝2，是正整数，是有理数；故选：B．3.为了证明数轴上的点可以表示无理数，老师给学生设计了如下材料：如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点由原点(记为点0)到达点A，点A对应的数是()A．π B．3.14 C．﹣π D．﹣3.14答案A解析∵直径为1个单位长度的圆的周长为2πr=2π×1∴点A对应的数是π，故选：A．4.下列各组数中，互为相反数的是()A．﹣3和327 B．3和(-3)2 C．﹣(﹣3)和|﹣3| D．﹣答案A解析A、327=3，﹣3和B、(-3)C、﹣(﹣3)＝3，|﹣3|＝3，不符合题意；D、﹣3和-1故选：A．5.实数5+1在数轴上的对应点可能是(A．点P B．点Q C．点M D．点N答案D解析∵2＜5＜3，∴3＜5+1＜4，∴实数5+1在数轴上的对应点可能是N故选：D．6.请你写出一个比1大且比2小的无理数，该无理数可以是．答案π﹣2(答案不唯一)解析无理数为π﹣2，故答案为：π﹣2(答案不唯一)．7.比较大小：6-12答案＞解析∵6>2，∴6-1>1，∴故答案为：＞．8.计算：(1)16(2)(-2(3)9答案(1)5；(2)1；(3)-1.解析(1)16(2)(-2(3)9=3+29.先阅读，然后解答提出的问题：设a，b是有理数，且满足a+2b=3-22，求解：由题意得(a﹣3)+(b+2)2＝0，因为a，b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数，由于2是无理数，所以a﹣3＝0，b+2＝0，所以a＝3，b＝﹣2，所以ba＝(﹣2)3＝﹣8．问题：设x，y都是有理数，且满足x2﹣2y+5y＝8+45，求x+y的值．答案8或0解析∵x2﹣2y+5y＝8+45，∴(x2﹣2y﹣8)+(y﹣4)5＝0，∴x2﹣2y﹣8＝0，y﹣4＝0，解得，x＝±4，y＝4，当x＝4，y＝4时，x+y＝4+4＝8，当x＝﹣4，y＝4时，x+y＝(﹣4)+4＝0，即x+y的值是8或0．10.数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：2≈1.414⋯，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用2-1(1)3的小数部分是多少，请表示出来．(2)a为3的小数部分，b为5的整数部分，求a+b−3的值．(3)已知8+3＝x+y，其中x是一个正整数，0＜y＜1，求2x+(y−3)2020的值．答案(1)3﹣1；(2)1；(3)19.解析(1)∵1＜3＜4，∴1＜3＜2，∴3的小数部分是3﹣1；(2)由(1)知，a＝3﹣1，∵4＜5＜9，∴2＜5＜3，∴b＝2．∴a+b﹣3＝3﹣1+2﹣3＝1；(3)∵1＜3＜2，∴9＜8+3＜10，∴x＝9．∵y＝8+3﹣9＝3﹣1．∴y﹣3＝8﹣x＝﹣1．∴2x+(y−3)2020＝1