第16讲 相似三角形单元分类总复习 (解析版)

第16讲相似三角形单元分类总复习考点一比例线段【知识点睛】比例的基本概念中，a、b、c、d成比例（或）；其中要特别注意：需要看清楚是数字之间的成比例，还是线段成比例，数字可以为负数，线段只能是正数；比例线段是有顺序的，线段a、b、c、d成比例，只能得到在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位比例的基本性质：；比例中项：平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例当题目中有若干个比例相等的条件是时，一般采用“设k法”解题；如：已知，则设，故有【类题训练】1．已知（b≠﹣3），则下列说法错误的是（）A． B． C．2a＝3b D．【分析】根据＝设a＝2k，b＝3k，再逐个判定即可．【解答】解：设a＝2k，b＝3k，A．＝＝，故本选项不符合题意；B．＝＝，＝＝＝，所以＝，故本选项不符合题意；C．∵＝，∴3a＝2b，故本选项符合题意；D．∵＝，∴3a＝2b，∴＝，故本选项不符合题意；故选：C．2．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（）A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，【分析】根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案．【解答】解：A.4×10≠6×5，故不符合题意，B.1×4≠2×3，故不符合题意，C.≠2×3，故不符合题意，D.，故符合题意，故选：D．3．如图，已知AB∥CD∥EF，BC：CE＝3：4，AF＝21，那么DF的长为（）A．9 B．12 C．15 D．18【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，BC：CE＝3：4，∴＝＝，∵AF＝21，∴＝，解得：DF＝12，故选：B．4．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（）A．AB2＝AP2+BP2 B．BP2＝AP•BA C． D．【分析】由黄金分割的定义得AP2＝BP•BA，＝＝，即可求解．【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），∴AP2＝BP•BA，＝＝，故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，故选：D．5．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线AC分别与直线l1，l2，l3，交于A、B、C三点，直线DF分别与直线l1，l2，l3交于D、E、F三点，AC与DF交于点O，若BC＝2AO＝2OB，OD＝1．则OF的长是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．【解答】解：∵BC＝2AO＝2OB，∴OC＝3AO，∵直线l1∥l2∥l3，∴，∴＝，∵OD＝1，∴OF＝3，故选：C．6．已知，若b+d+f＝15，则a+c+e＝20．【分析】根据已知等式可得，再根据b+d+f＝15即可得．【解答】解：∵，∴，∵b+d+f＝15，∴，故答案为：20．7．已知三条线段a、b、c，其中a＝1cm，b＝4cm，c是a、b的比例中项，则c＝2cm．【分析】由c是a、b的比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段c的长，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2＝4×1，解得：c＝±2（线段是正数，负值舍去）．则c＝2cm．故答案为：2．8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，若E为AC中点，则＝．【分析】设BC＝b，AC＝a，根据E为AC中点可知AE＝AC＝，由题意可知BD＝BC＝b，AD＝AE＝，故AB＝AD+BD＝+b，再由勾股定理即可得出结论．【解答】解：设BC＝b，AC＝a，∵E为AC中点，∴AE＝AC＝，由题意可知BD＝BC＝b，AD＝AE＝，∴AB＝AD+BD＝+b，∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，即a2+b2＝（+b）2，整理得，3a＝4b，∴＝，即＝．故答案为：．9．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为（80﹣160）cm．（结果保留根号）​【分析】根据黄金分割的定义，进行计算即可解答．【解答】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，AB＝80cm，∴AC＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，∵点D是靠近点A的黄金分割点，AB＝80cm，∴DB＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，∴CD＝AC+BD﹣AB＝2（40﹣40）﹣80＝（80﹣160）cm，∴支撑点C，D之间的距离为（80﹣160）cm，故答案为：（80﹣160）．10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，AE平分∠BAC，点D是AC的中点，AE与BD交于点O，则的值．【分析】如图，过点E作EF⊥AC，垂足为F，过点D作DG∥AE，交BC于点G，由角平分线性质定理，得EB＝EF，由三角形面积可求证，由DG∥AE可进一步求证△CGD∽△CEA，可得，于是AE＝2DG，求证△OBE∽△DBG，可得，进一步得证，，从而．【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC，垂足为F，过点D作DG∥AE，交BC于点G，∵AE平分∠BAC，EF⊥AC，EB⊥AB，∴EB＝EF．∵，∴．∴．∵DG∥AE，∴∠CGD＝∠CEA．又∠C＝∠C，∴△CGD∽△CEA．∴．∴AE＝2DG，CE＝2CG．∵DG∥AE，∴∠BEO＝∠BGD，又∠OBE＝∠DBG，∴△OBE∽△DBG∴．∵CE＝2CG＝2GE，，∴．∴．∴．∴．∴．∴．故答案为：．11．如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F．若AD＝3AF，则＝．【分析】如图，作辅助线，由DG∥BE得到，故EG＝2AE；再证明EG＝CG，即可解决问题．【解答】解：如图，过点D作DG∥BE，交AC于点G，∵AD＝3AF，∴，∵DG∥BE，∴，，∴EG＝2AE，∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD，∴EG＝CG，∴CG＝EG＝2AE，∴AC＝AE+EG+CG＝5AE，∴，故答案为：．12．如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长．（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的长．【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出DE的长；（2）由平行线分线段成比例定理得出比例式，求出BC的长，即可得出AC的长．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3．∴＝＝，∴DE＝EF＝6；（2）∵l1∥l2∥l3．∴＝，∴BC＝AB＝×6＝9，∴AC＝AB+BC＝6+9＝15．考点二相似三角形的性质【知识点睛】相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例；相似三角形的对应高线、对应角平分线、对应中线之比=相似比相似三角形的周长之比=相似比；面积之比=相似比的平方【类题训练】1．两个相似三角形的面积之比为1：4，较小的三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为（）A．16 B．8 C．2 D．1【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，据此即可求解．【解答】解：设另一个三角形的周长为x，则4：x＝，解得：x＝8．故另一个三角形的周长为8，故选：B．2．若两个相似三角形的面积比是1：9，则它们对应边的中线之比为（）A．1：9 B．3：1 C．1：3 D．1：81【分析】根据两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方．【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方，两个相似三角形的面积之比为1：9，∴它们对应边上的中线之比为1：3．故选：C．3．如图，△ABC∽△ADE，若∠A＝60°，∠ABC＝45°，那么∠E＝（）A．75° B．105° C．60° D．45°【分析】由△ABC∽△ADE，∠ABC＝45°，根据相似三角形的对应角相等，即可求得∠ADE的度数，又由三角形的内角和等于180°，即可求得∠E的度数．【解答】解：∵△ABC∽△ADE，∠ABC＝45°，∴∠ADE＝∠ABC＝45°．在△ADE中，∵∠AED+∠ADE+∠A＝180°，∠A＝60°，即∠AED+45°+60°＝180°，∴∠AED＝75°．故选：A．4．如图所示，若△DAC∽△ABC，则需满足（）A．CD2＝AD•DB B．AC2＝BC•CD C． D．【分析】根据相似三角形的判定定理依次判断即可．【解答】解：由CD2＝AD•DB，可得CD：AD＝BD：CD，由此得不出结论；由AC2＝BC•CD，可得AC：BC＝CD：AC，∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC，故B选项正确；由得不出结论；由＝及∠BAC＝∠ADC＝90°可得结论，但题目中未提及．故选：B．5．如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：3，BC＝，则DE的长为（）A． B． C． D．【分析】利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：∵S△ABC：S四边形BDEC＝1：3，∴S△ABC：S△ADE＝1：4，∵△ABC∽△ADE，∴，∴或（不符合题意，舍去）∵，∴．故选：B．6．如图，△ABC∽△CBD，AB＝4，BD＝6，则BC＝．【分析】利用相似三角形的性质求解．【解答】解：∵△ABC∽△CBD，∴，∴CB2＝AB⋅BD＝24，∵CB＞0，∴，故答案为：．7．如图，将等边三角形ABC沿AC边上的高线BD平移到△EFG，阴影部分面积记为S，若，S△ABC＝16，则S＝9．【分析】根据平行的性质可知S△ABC＝S△EFG，AC∥EG，进而可证得△FMN∽△EFG∽△ABC，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得结论．【解答】解：∵等边三角形ABC沿AC边上的高线BD平移到△EFG，∴S△ABC＝S△EFG，AC∥EG，∴△MFN∽△EFG∽△ABC，∴，∵，∴，∵△FMN的面积记为S，S△ABC＝16，∴，解得S＝9．故答案为：9．8．如图，在△ABC纸板中，AC＝8，BC＝4，AB＝11，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是6≤AP＜8．【分析】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AP的长的取值范围．【解答】解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0＜AP＜8；如图所示，过P作∠APF＝∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，此时0＜AP≤8；如图所示，过P作∠CPG＝∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，此时，△CPG∽△CBA，当点G与点B重合时，CB2＝CP×CA，即42＝CP×8，∴CP＝2，AP＝6，∴此时，6≤AP＜8；综上所述，AP长的取值范围是6≤AP＜8．故答案为：6≤AP＜8．9．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，点E在AB上且AE＝3，点F在AC上，连接EF，若△AEF与△ABC相似，则AF＝或4．【分析】根据题意，要使△AEF与△ABC相似，由于本题没有说明对应关系，故采用分类讨论法．有两种可能：当△AEF∽△ABC时；当△AEF∽△ACB时．【解答】解：当△AEF∽△ABC时，则，，AF＝；当△AEF∽△ACB时，则，，，AF＝4．10．在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）．把△A0B按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1；第二次旋转将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A1OB1边长的2倍，得到△A2OB2，…．依次类推，得到△A2023OB2023，则△A2023OB2023的边长为22023，点A2023的坐标为（22022，﹣22022）．【分析】利用等边三角形的性质，探究规律后，利用规律解决问题．【解答】解：由题意OA＝1＝20，OA1＝2＝21，OA2＝4＝22，OA3＝8＝23，…OAn＝2n，∴△A2023OB2023的边长为22023，∵2023÷6＝337…1，∴A2023与A1都在第四象限，坐标为（22022，﹣22022•）．故答案为：22023，（22022，﹣22022）．11．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为（8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，且满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，点P的坐标为（，）或（4，3）．【分析】由题意得出P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，由此分两种情形分别求解，可得结论．【解答】解：∵点P在矩形ABOC的内部，且△APC是等腰三角形，∴P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上；①当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与BO的交点即是E，如图1所示：∵PE⊥BO，CO⊥BO，∴PE∥CO，∴△PBE∽△CBO，∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（8，6），∴点P横坐标为4，OC＝6，BO＝8，BE＝4，∵△PBE∽△CBO，∴＝，即＝，解得：PE＝3，∴点P（4，3）；②P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为P，过点P作PE⊥BO于E，如图2所示：∵CO⊥BO，∴PE∥CO，∴△PBE∽△CBO，∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（8，6），∴AC＝BO＝8，CP＝8，AB＝OC＝6，∴BC＝＝＝10，∴BP＝2，∵△PBE∽△CBO，∴＝＝，即：＝＝，解得：PE＝，BE＝，∴OE＝8﹣＝，∴点P（，）；综上所述：点P的坐标为：（，）或（4，3）；故答案为：（，）或（4，3）．12．如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG．（1）求证：四边形ABCG是平行四边形；（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长．【分析】（1）根据相似三角形的性质可得AB∥CD，再由CD＝2AB，CG＝CD，可得AB＝CG，即可证明；（2）由平行四边形的性质可得AG∥BC，可得∠AEB＝90°，再由CG＝3可得AB＝3，利用勾股定理可得BE，再由相似三角形的性质可得CE，从而得出BC，即可求解．【解答】（1）证明：∵△AEB∽△DEC，∴∠B＝∠BCD，∴AB∥CD，即AB∥CG，∵CD＝2AB，CG＝CD，∴AB＝CG，∴四边形ABCG是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCG是平行四边形，AE＝2，CG＝3，∴AG∥BC，AG＝BC，AB＝CG＝3，∵∠GAD＝90°，∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，由勾股定理可得：BE＝，即BE＝＝，∵△AEB∽△DEC，∴＝＝，∴CE＝2，∴BC＝BE+CE＝3，∴AG＝BC＝3．考点三相似三角形的判定与基本模型【知识点睛】相似三角形的判定：预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似有两个角对应相等的两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角形相似相似三角形的对应顶点需要写在对应的位置，当对应点、对应边不明确时，常常需要分类讨论基本模型1.平行线型——A字图、8字图：常见的有如下两种，当CD∥AB时，则有△OCD∽△OAB2.斜线型——如图，当∠1=∠A时，则有△OCD∽△OAB3.一线三等角型——如图，当∠B=∠ADE=∠C时，则有△ABD∽△DCE4.旋转型——如图，当∠1=∠2，且OD：OA=OC：OB（或∠D=∠A）时，则有△OCD∽△OBA【类题训练】1．如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A． B． C． D．【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【解答】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意；D、阴影三角形中，∠A的两边分别为6﹣2＝4，8﹣5＝3，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．故选：C．2．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】本题中已知∠BAC＝∠D，则对应的夹边比值相等即可使△ABC与△ADE相似，结合各选项即可得问题答案．【解答】解：∵∠BAC＝∠D，，∴△ABC∽△DEA．故选：C．3．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与△ABC相似的是（）A． B． C． D．【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．【解答】根据勾股定理，BC＝＝，AC＝＝，AB＝＝2．所以AB2+AC2＝AB2．所以△ABC是直角三角形，且∠B＝90°．所以，夹直角的两边的比为＝2，观察各选项，只有C选项中的三角形与所给图形的三角形相似．故选：C．4．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A． B． C． D．【分析】利用△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝，BC＝2，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝，BC＝2，在B、C、D选项中的三角形都没有135°，而在A选项中，三角形的钝角为135°，它的两边分别为1和，因为＝，所以A选项中的三角形与△ABC相似．故选：A．5．如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．【解答】解：①、当∠ACP＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△APC∽△ACB，∴①符合题意；②、当∠APC＝∠ACB，∵∠A＝∠A，∴△APC∽△ACB，∴②符合题意；③、当AC2＝AP•AB，即AC：AB＝AP：AC，∵∠A＝∠A∴△APC∽△ACB，∴③符合题意；④、∵当AB•CP＝AP•CB，即PC：BC＝AP：AB，而∠PAC＝∠CAB，∴不能判断△APC和△ACB相似，∴④不符合题意；故选：D．6．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，1），（1，5），（5，1），（7，1）、以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（5，3） B．（7，3） C．（6，0） D．（7，0）【分析】根据题意可得△ABC为等腰直角三角形，则△CDE为等腰直角三角形那个，再进行分类讨论：当CD＝CE＝2时，当CE＝DE时．【解答】解：∵点A，B，C的坐标分别是（1，1），（1，5），（5，1），∴AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，即△ABC为等腰直角三角形，∵以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，∴△CDE为等腰直角三角形，当CD＝CE＝2时，如图：E1（5，3），E2（7，3），E3（5，﹣1），E4（7，﹣1），当CE＝DE时，过点E作EF⊥CD于点F，如图：∵CE＝DE，EF⊥CD，∴点F为CD中点，∴CF＝1，∵∠CEF＝90°，∴，∴E5（6，2），E6（6，0），综上：点E的坐标可能是：（5，3），（7，3），（5，﹣1），（7，﹣1），（6，2），（6，0）．故选：D．7．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝3，点E为CD的中点，点P为边AB上一个动点，连接AE，PE，过点P作PQ⊥AE于点Q，当△PQE∽△EDA时，AP的长为（）A．3 B．4 C． D．【分析】由相似三角形的性质可求得PQ与QE的关系，由等面积可求得PQ与AP的关系，再结合勾股定理进行求解即可．【解答】解：∵ABCD是矩形，AB＝8，AD＝3，点E为CD的中点，PQ⊥AE，∴DE＝AB＝4，∠D＝∠PQE＝90°，∴AE＝＝＝5．当△PQE∽△EDA时，＝，即＝，∴QE＝PQ，∵S△APE＝AP•AD＝AE•PQ，∴AP•3＝×5•PQ，∴PQ＝AP，∴QE＝×AP＝AP．在Rt△APQ中，AQ2+PQ2＝AP2，得：（5﹣AP）2+（AP）2＝AP2，解得：AP＝4或AP＝﹣（舍去），即AP的长为4．故选：B．8．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝3，则下列结论：①＝；②S△BCE＝27；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD．其中一定正确的是（）A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②【分析】根据平行四边形的性质得到AE＝CE，根据相似三角形的性质得到＝＝，等量代换得到AF＝AD，于是得到＝；故①正确；根据相似三角形的性质得到S△BCE＝36；故②正确；根据三角形的面积公式得到S△ABE＝9，故③错误；由于△AEF与△ADC只有一个角相等，于是得到△AEF与△ACD不一定相似，故④错误．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO＝AC，AD∥BC，AD＝BC，∴△AFE∽△CBE，∴＝，∵点E是OA的中点，∴AE＝CE，∴＝，∴＝，∴AF＝BC，∴AF＝AD，∴＝，故①正确；∵S△AEF＝3，∴＝（）2＝，∴S△BCE＝27；故②正确；∵＝＝，∴＝，∴S△ABE＝9，故③错误；∵BF不平行于CD，∴△AEF与△ADC只有一个角相等，∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，故选：D．9．如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动如果点P、Q分别从点A、B同时出发问经过1或2.5秒时，△PBQ与△ABC相似．【分析】设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似，根据路程公式可得AP＝2t，BQ＝4t，BP＝10﹣2t，然后利用相似三角形的性质对应边的比相等列出方程求解即可．【解答】解：设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似，则有AP＝2t，BQ＝4t，BP＝10﹣2t，当△PBQ∽△ABC时，有BP：AB＝BQ：BC，即（10﹣2t）：10＝4t：20，解得t＝2.5（s）当△QBP∽△ABC时，有BQ：AB＝BP：BC，即4t：10＝（10﹣2t）：20，解得t＝1．所以，经过2.5s或1s时，△PBQ与△ABC相似．解法二：设ts后，△PBQ与△ABC相似，则有，AP＝2t，BQ＝4t，BP＝10﹣2t分两种情况：（1）当BP与AB对应时，有，即，解得t＝2.5s（2）当BP与BC对应时，有，即，解得t＝1s所以经过1s或2.5s时，以P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似，故答案为：1或2.510．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P为BC的中点，点Q在射线AD上，过点Q作QE⊥AP于点E，连接PQ，请探究下列问题：​（1）AP＝2；（2）当△QEP∽△ABP时，PQ＝5．【分析】（1）由勾股定理可求解；（2）由相似三角形的性质可求EQ＝2EP，∠APB＝∠APQ，由平行线的性质可证∠APB＝∠PAD＝∠APQ，可得AQ＝PQ，由等腰三角形的性质可得AE＝EP＝，由勾股定理可求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝4，∵点P为BC的中点，∴BP＝CP＝2，∴AP＝＝＝2，故答案为：2；（2）∵△QEP∽△ABP，∴，∠APB＝∠APQ，∴EQ＝2EP，∵BC∥AD，∴∠APB＝∠PAD，∴∠PAD＝∠APQ，∴AQ＝PQ，又∵EQ⊥AP，∴AE＝EP＝，∴EQ＝2，∴PQ＝＝＝5，故答案为：5．11．如图，在平面直角坐标系xOy中．边长为3的等边△OAB的边OA在x轴上，C、D、E分别是AB、OB、OA上的动点，且满足BD＝2AC，DE∥AB，连接CD、CE，当点E坐标为（1，0）或（，0）时，△CDE与△ACE相似．【分析】因为DE∥AB得到∠DEC＝∠ACE，所以△CDE与△ACE相似分两种情况分类讨论．【解答】解：∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ACE，△ODE∽△OBA，∴△ODE也是等边三角形，则OD＝OE＝DE，设E（a，0），则OE＝OD＝DE＝a，BD＝AE＝3﹣a．∵△CDE与△ACE相似，分两种情况讨论：①当△CDE∽△EAC时，则∠DCE＝∠CEA，∴CD∥AE，∴四边形AEDC是平行四边形，∴AC＝a，∵BD＝2AC，∴3﹣a＝2a，∴a＝1．∴E（1，0）；②当△CDE∽△AEC时，∠DCE＝∠EAC＝60°＝∠B，∴∠BCD+∠ECA＝180°﹣60°＝120°，又∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，∴∠BCD+∠ECA＝∠BDC+∠BCD，∴∠ECA＝∠BDC，∴△BDC∽△ACE，∴，∴BC＝2AE＝2（3﹣a）＝6﹣2a，∴6﹣2a+＝3，∴a＝．∴E（，0）．综上所述，点E的坐标为（1，0）或（，0）．故答案为：（1，0）或（，0）．12．如图，等腰△OAB中，OA＝OB＝6，cosA＝，以点O为圆心，2为半径画圆分别交OA，OB于点C，D，点P在AB边上运动，当△APC与△BPD相似时，线段AP的长是2或5或8．【分析】作等腰三角形的高，用余弦值求出等腰三角形的底，用相似，列出比例式，求出答案．【解答】解：过点O作OE⊥AB，交AB与点E，∵OA＝OB＝6，cosA＝，∴AE＝BE＝5，∴AB＝10，∵OC＝OD＝2，∴AC＝BD＝6﹣2＝4，设AP＝x，则BP＝10﹣x，当△APC与△BPD相似时，①AC与BD是对应边，AC：BD＝AP：BP，2：2＝x：（10﹣x），x＝5，即AP＝5（与点E重合）；②AC与BP是对应边，AC：BP＝AP：BD，4：（10﹣x）＝x：4，x＝2或x＝8，故答案为：2或5或8．13．如图，已知AD•AC＝AB•AE，∠DAE＝∠BAC．求证：△DAB∽△EAC．【分析】根据相似三角形的判定定理即可证明△DAB∽△EAC．【解答】证明：∵AD•AC＝AB•AE，∴＝，∵∠DAE＝∠BAC．∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠DAB＝∠EAC，∴△DAB∽△EAC．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发．沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为Scm2（1）在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似．【分析】（1）在矩形ABCD中求出对角线AC的长度，然后表示出CQ、PC的长度，过点P作PH⊥BC于点H，然后在Rt△PHC中表示出PH的长度，根据面积为3.6cm2，列方程求解．（2）分∠PQC＝90°与∠CPQ＝90°两种情况进行讨论即可．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∵AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝10cm，AP＝2tcm，PC＝（10﹣2t）cm，CQ＝tcm，过点P作PH⊥BC于点H，则PH＝（10﹣2t）cm，根据题意，得t•（10﹣2t）＝3.6，解得：t1＝2，t2＝3．答：△CQP的面积等于3.6cm2时，t的值为2或3．（2）如答图1，当∠PQC＝90°时，PQ⊥BC，∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，QC＝t，PC＝10﹣2t，∴△PQC∽△ABC，∴＝，即＝，解得t＝（秒）；如答图2，当∠CPQ＝90°时，PQ⊥AC，∵∠ACB＝∠QCP，∠B＝∠QPC，∴△CPQ∽△CBA，∴＝，即＝，解得t＝（秒）．综上所述，t为秒与秒时，△CPQ与△CAB相似．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止，设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；（2）当t为何值时，△CPQ与△ABC相似？【分析】（1）先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的面积公式即可得出结论；（2）先用t表示出DP，CQ，CP的长，再分PQ⊥CD与PQ⊥AC两种情况进行讨论．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10．∵CD⊥AB，∴S△ABC＝BC•AC＝AB•CD．∴CD＝＝＝4.8．∴线段CD的长为4.8；（2）由题可知有两种情形，设DP＝t，CQ＝t．则CP＝4.8﹣t．①当PQ⊥CD时，如图a∵△QCP∽△ABC，∴＝，即＝，∴t＝3；②当PQ⊥AC，如图b．∵△PCQ∽△ABC∴＝，即＝，解得t＝，∴当t为3或时，△CPQ与△ABC相似．16．如图，在△PAB中，C、D为AB边上的两个动点，PC＝PD．（1）若PC＝CD，∠APB＝120°，则△APC与△PBD相似吗？为什么？（2）若PC⊥AB（即C、D重合），则∠APB＝90°时，△APC∽△PBD；（3）当∠CPD和∠APB满足怎样的数量关系时，△APC∽△PBD？请说明理由．【分析】（1）由条件可证明△PCD为等边三角形，结合∠APB＝120°可得到∠A＝∠BPD，可证明△APC∽△PBD；（2）利用（1）的结论可得到对应边成比例，把条件代入可得到y与x之间的关系；（3）由条件可知当关系成立时则有△APC∽△PBD，可得到∠A＝∠CPB，再结合外角和三角形内角和可找到α和β之间的关系式．【解答】解：（1）结论：△APC∽△PBD．理由：∵PC＝PD＝CD，∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠ACP＝∠BDP＝120°，∵∠A+∠APC＝60°，∠APC+∠BPD＝∠APB﹣∠CPD＝120°﹣60°＝60°，∴∠A＝∠BPD，∴△APC∽△PBD；（2）当∠APB＝90°时，△APC∽△PBD．理由：如图，∵PD⊥AB，∴∠APB＝∠ADB＝∠PDB＝90°，∴∠APD+∠DPB＝90°，∠B+∠DPB＝90°，∴∠APD＝∠B，∴△APC∽△PBD．故答案为：90；（3）结论：2∠APB﹣∠CPD＝180°．理由：∵PC＝PD，∴∠PCD＝∠PDC，∴∠PCA＝∠PDB，当＝时，则有△APC∽△PBD，∴∠A＝∠DPB，∵∠APC+∠DPB＝∠APB﹣∠CPD，∴∠PCD＝∠PDC＝∠A+∠APC＝∠APB﹣∠CPD，在△PCD中，∠PCD+∠PDC+∠CPD＝180°，∴∠APB﹣∠CPD+∠APB﹣∠CPD+∠CPD＝180°，即2∠APB﹣∠CPD＝180°．17．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F．（1）求证：PE•PF＝PC2．（2）如图2，连接AC交BD于O，连接OE，若CE⊥BC，求证：△POC∽△AEC．【分析】（1）根据菱形的性质，首先利用SAS证明△CDP≌△ADP，得PC＝PA，∠DCP＝∠DAP，再说明△PAE∽△PFA，得，即可证明结论；（2）根据菱形的性质可说明∠COP＝∠CEA，从而证明结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠CDP＝∠ADP，CD∥AB，在△CDP和△ADP中，，∴△CDP≌△ADP（SAS），∴PC＝PA，∠DCP＝∠DAP，∵CD∥AB，∴∠DCP＝∠F，∴∠DAP＝∠F，∵∠APE＝∠FPA，∴△PAE∽△PFA，∴，∴PA2＝PE•PF，∴PE•PF＝PC2；（2）∵CE⊥BC，∴∠ECB＝90°，∵AD∥BC，∴∠CEA＝∠BCE＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COP＝90°，∴∠COP＝∠CEA，∵∠OCP＝∠ECA，∴△POC∽△AEC．考点四相似三角形的应用【知识点睛】当物体的高度和宽度不能直接测量时，一般思路是先根据题意建立相关的相似三角形模型，然后根据相似三角形的性质以及比例关系等列式求解【类题训练】1．如图是小孔成像原理的示意图，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是1cm，则像CD到小孔O的距离为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】设像CD到小孔O的距离为x，根据相似三角形对应边以及对应边上的高成比例得出方程求解即可．【解答】解：设像CD到小孔O的距离为x，由题意知，AB∥CD，∴△ABO∽△DCO，∴∴x＝2，故选：B．2．如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m【分析】根据镜面反射的性质，△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：如图：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，∵∠ACB＝∠DCE，∴△ABC∽△EDC，∴，即，∴DE＝8（m），故选：B．3．如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A． B． C． D．【分析】过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q，三角形的面积公式求出BP的长度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，设边长DE＝x，根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可得．【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．∵S△ABC＝•AB•BC＝•AC•BP，∴BP＝＝＝．∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴＝．设DE＝x，则有：＝，解得x＝，故选：D．4．如图，要测量楼高MN，在距MN为15m的点B处竖立一根长为5.5m的直杆AB，恰好使得观测点E、直杆顶点A和高楼顶点N在同一条直线上，若DB＝5m，DE＝1.5m，则楼高MN是（）A．13.5m B．16.5m C．17.5m D．22m【分析】根据题意，四边形EDBC，四边形CBME都是矩形．利用相似三角形的性质求出NE，可得结论．【解答】解：根据题意，四边形EDBC，四边形CBME都是矩形．∴DB＝EC＝5m，AB＝5.5m，BM＝CF＝15m，∵DE＝1.5m，∴AC＝AB﹣BC＝5.5﹣1.5＝4（m），EF＝EC+CF＝5+15＝20（m），∵AC∥NF，∴△EAB∽△ENF，∴，∴，∴NF＝16（m），∴MN＝MF+FM＝16+1.5＝17.5（m）．答：这栋楼MN的高度是17.5m．故选：C．5．如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝90mm，要把它加工成矩形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC，且EH＝2EF，则这个矩形零件的长为（）A．36mm B．80mm C．40mm D．72mm【分析】设宽为xmm，则长为2xmm，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．【解答】解：设边宽为xmm，则长为2xmm，∵四边形EFGH为矩形，∴EH∥BC，EF∥AD，∴，∵BE+AE＝AB，∴，∴，解得：x＝36mm，∴EF＝36mm，EH＝72mm，故选：D．6．在一次实验操作中，如图①是一个长和宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6；现将图①容器向右倾倒，按图②放置，发现此时水面恰好触到容器口边缘，则图②中水面高度为（）A． B． C． D．【分析】设DE＝x，则AD＝8﹣x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD，过点C作CF⊥BG于F，由△CDE∽△CBF的比例线段求得结果即可．【解答】解：过点C作CF⊥BG于F，如图所示：设DE＝x，则AD＝8﹣x，根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×6，解得：x＝4，∴DE＝4，∵∠E＝90°，由勾股定理得：CD＝＝＝5，∵∠BCE＝∠DCF＝90°，∴∠DCE＝∠BCF，∵∠DEC＝∠BFC＝90°，∴△CDE∽△CBF，∴，即，∴CF＝，故选：A．7．三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示，若OA＝25cm，AA′＝50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是．【分析】根据已知可求出OA′的长，从而求出＝，然后根据题意可得：这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子是位似图形，从而利用位似图形的性质即可解答．【解答】解：∵OA＝25cm，AA′＝50cm，∴OA′＝OA+AA′＝75（cm），∴＝＝，由题意得：这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子是位似图形，∴这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的位似比＝＝，∴这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是，故答案为：．8．如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上撬起，石头就被撬动了．在图②中，杠杆的D端被向上撬起的距离BD＝9cm，动力臂OA与阻力臂OB满足OA＝3OB（AB与CD相交于点O），要把这块石头撬起，至少要将杠杆的C点向下压27cm．​【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点C向下压的长度．【解答】解：由题意得，AC∥BD，∴△AOC∽△BOD，∴＝，∵AO＝3OB，∴＝＝3，∴AC＝3BD＝27cm，∴至少要将杠杆的C点向下压27cm，故答案为：27．9．如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为BD＝12米，留在墙上的影长CD＝2米，则旗杆的高度为10米．【分析】矩形CDBE的对边平行且相等．落在墙上的影子长与物体本身的长度相等．【解答】解：过点C作CE⊥AB于E，如图所示：∵CD⊥BD，AB⊥BD，∴∠EBD＝∠CDB＝∠CEB＝90°，∴四边形CDBE为矩形，则BD＝CE＝12m，CD＝BE＝2m．设AE＝xm，则1：1.5＝x：12，解得x＝8，故旗杆的高度AB＝AE+BE＝8+2＝10（m）．故答案为：10．10．甲、乙两幢完全一样的房子如图1，小聪与弟弟住在甲幢，为测量对面的乙幢屋顶斜坡M，N之间的距离，制定如下方案：两幢房子截面图如图2，AB＝12m，小聪在离屋檐A处3m的点G处水平放置平面镜（平面镜的大小忽略不计），弟弟在离点G水平距离3m的点H处恰好在镜子中看到乙幢屋顶N，此时测得弟弟眼睛与镜面的竖直距离IH＝0.6m．下楼后，弟弟直立站在DE处，测得地面点F与E，M，N在一条直线上，DE＝1.2m，FD＝2m，BF＝5m，则甲、乙两幢间距BC＝25m，乙幢屋顶斜坡M，N之间的距离为m．【分析】延长HG交CM于R，过N作NT⊥HR于T，根据△DEF∽△CMF，有＝，得CF＝20，故BC＝BF+CF＝25（m），而＝，得MK＝NK，设NK＝xm，则MK＝RT＝xm，NT＝NK+KT＝NK+AG＝（x+3）m，根据反射定律可得△IHG∽△NTG，即得＝，从而解得NK＝3m，MK＝5m，再由勾股定理可得MN＝＝m．【解答】解：延长HG交CM于R，过N作NT⊥HR于T，如图：根据题意得：△DEF∽△CMF，∴＝，∵CM＝AB＝12m，DE＝1.2m，FD＝2m，∴＝，解得CF＝20，∵BF＝5m，∴BC＝BF+CF＝25（m），根据题意，∠EFD＝∠NMK，∴tan∠EFD＝tan∠NMK，∴＝，即＝，∴MK＝NK，设NK＝xm，则MK＝RT＝xm，NT＝NK+KT＝NK+AG＝（x+3）m，∴GT＝GR+RT＝BC+RT＝（25+x）m，根据反射定律可知，∠IGH＝∠NGT，∵∠IHG＝90°＝∠T，∴△IHG∽△NTG，∴＝，即＝，解得x＝3，∴NK＝3m，MK＝5m，在Rt△MNK中，MN＝＝m，故答案为：25，．11．图1是一款自动关门器，其示意图如图2所示．固定铁架的宽AB＝20cm，支点P，Q分别固定在墙面和铁门上，AP⊥AB，AP＝20cm，摇臂OP＝20cm，连杆OQ＝25cm，点A、B、O、p、Q在同一平面内．关门器工作时，点C绕点B转动，摇臂OP与连杆OQ长度均固定不变．当铁门完全关闭时（如图3），点A、B、Q在同一直线上，OP⊥AP．在开门的过程中，当端点C落在墙面AP上或连杆OQ落在BC上，都无法将门进一步打开，称此时为开门的极限状态．（1）BQ＝15cm．（2）为使在开门的极限状态下，连杆OQ落在BC上，则门宽BC的最大值为cm．【分析】（1）连接OB，由正方形的判定与性质可得∠ABO＝90°，OB＝AP＝20，再根据勾股定理可得答案；（2）为使在开门的极限状态下，连杆OQ落在BC上，则门宽BC取得最大值时，端点C落在墙面AP上，此时，OB＝OQ+BQ＝25+15＝40（cm），如图2，连接BP，过点P作PD⊥BC于点D，则∠BDP＝∠CDP＝90°，然后根据勾股定理列出方程，求解即可求得答案．【解答】解：（1）连接OB，如图1，∵AP⊥AB，OP⊥AP，∴AB∥PO，∠A＝∠APO＝90°，∵AB＝OP＝20cm，∴四边形ABOP是矩形，∵AP＝OP＝20cm，∴四边形ABOP是正方形，∴∠ABO＝90°，OB＝AP＝20，∴∠OBQ＝90°，在Rt△OBQ中，OQ＝25cm，∴BQ＝＝＝15（cm）；故答案为：15；（2）为使在开门的极限状态下，连杆OQ落在BC上，则门宽BC取得最大值时，端点C落在墙面AP上，此时，OB＝OQ+BQ＝25+15＝40（cm），如图，连接BP，过点P作PD⊥BC于点D，则∠BDP＝∠CDP＝90°，在Rt△ABP中，BP＝（cm），在Rt△BDP中，PD2＝BP2﹣BD2＝800﹣BD2，在Rt△ODP中，PD2＝OP2﹣OD2＝400﹣OD2，∴400﹣OD2＝800﹣BD2，即400﹣OD2＝800﹣（40﹣OD）2，∴OD＝15，∴PD＝＝5（cm），∵∠A＝∠COP＝90°，∠ACB＝∠DCP，∴△ACB∽△DCP，∴，∴PC＝，DC＝＝，∴DC＝＝5，在Rt△CDP中，PD2+CD2＝PC2，∴（5），∴BC＝（负值不合题意，舍去），∴BC＝（cm），即门宽BC的最大值为cm，故答案为：．12．图1是一折叠桌，桌板DEIJ固定墙上，支架AD，HE绕点D，E旋转时，AD∥HE，桌板边缘AH∥BG∥CF∥DE，桌脚AN⊥AH，桌子放平得图2．图3是打开过程中侧面视图，当点N在直线CF上时，点N到墙OE的距离为69cm．视图中以C，K为顶点的长方形表示一圆柱体花瓶，桌子打开至点M，C，F在同一直线时，桌板边缘GL恰卡在点K，为不影响桌板BG收放，则至少将花瓶沿CF方向平移15cm．【分析】根据题意连接CN，延长AN，DE交于点O，首先根据题意求出AB＝BC＝CD＝DE＝＝37.5，然后证明△ANC∽△AOD，即可得出答案；如图所示，连接CM，此时点K与点G重合，根据勾股定理求出MC＝45，然后证明出△AMC∽△KPF，利用相似三角形对应边成比例求出PF＝22.5，进而可求出CP的长度．【解答】解：如图，当点N在直线CF上时，连接CN，延长AN，DE交于点O，由由题图2可得，AB+BC+CD+DE＝150，∴AB＝BC＝CD＝DE＝＝37.5，∴AC＝AB+BC＝75，AN＝72，又∵AN⊥CN，∴CN＝＝21，由题意可得，NC∥OD，∴∠ANC＝∠O，∠ACN＝∠ADO，∴△ANC∽△AOD，∴＝＝，即＝，∴OD＝31.5，∴OE＝OD+DE＝31.5+37.5＝69，∴点N到墙OE的距离为69cm．由题意可得，如图，连接CM，此时点K与点G重合，∴AM＝AN﹣MN＝60，∵AM⊥MC，∴MC＝＝＝45，∵AM∥KP，∴∠AMC＝∠KPF＝90°，∵AC∥GF，∴∠ACM＝∠GFP，∴△AMC∽△KPF，∴＝＝2，即＝2，∴PF＝22.5，∴CP＝CF﹣PF＝37.5﹣22.5＝15，∴至少将花瓶沿CF方向平移15cm．故答案为：69；15．13．疫情期间，小红在家里在图1所示的平板支架上网课，图2是她观看网课的侧面示意图，已知平板宽度AB＝20cm，支架底板宽度CD＝AB，支撑角∠ABC＝60°，支撑板CE＝BE＝6cm，小红坐在距离支架底板20cm处观看（即DF＝20cm），Q点是AB中点．当视线PQ与屏幕AB垂直时，小红的眼睛距离桌面的高度PF等于18cm；当落在屏幕中点的视线与屏幕构成的夹角（指锐角或直角）不小于75°时，能使观看平板视频的效果最佳，为保证最佳的观看效果，小红眼睛距离桌面的最大高度和最小高度的差等于（52﹣78）cm．【分析】延长PQ交FC延长线于点M，先证明△BCE是等边三角形，进而可以求出PF的值；过点Q作QH⊥BM于点H，求出tan15°＝＝2+，进而可以解决问题．【解答】解：如图，延长PQ交FC延长线于点M，由题意可知：PM⊥AB，∠ABC＝60°，∴∠QMB＝30°，∵Q点是AB中点．∴QB＝AB＝10cm，∴BM＝2QB＝20cm，QM＝QB＝10cm，∵CE＝BE＝6cm，∠ABC＝60°，∴△BCE是等边三角形，∴BC＝6cm，∴BD＝CD﹣BC＝20﹣6＝14cm，∴FM＝BM+BD+DF＝20+14+20＝54（cm），∴PF＝FM＝18（cm），∴当视线PQ与屏幕AB垂直时，小红的眼睛距离桌面的高度PF等于18cm，∴PM＝2PF＝36cm，∴PQ＝PM﹣QM＝36﹣10＝26（cm），当∠P′QB＝75°时，P′F得最小高度，如图，延长P′Q交FC延长线于点N，∴∠N+∠QBN＝∠P′QB，∴∠N＝75°﹣60°＝15°，∵∠QMB＝30°，∴∠MQN＝15°，∴∠MQN＝∠N＝15°，∴MQ＝MN＝10cm，∴FN＝FM+MN＝（54+10）cm，如图，过点Q作QH⊥BM于点H，设OH＝xcm，则QM＝MN＝2xcm，MH＝xcm，∴NH＝MN+MH＝（2x+x）cm，∴tan15°＝＝，∴tan15°＝＝2﹣，∴P′F＝（2﹣）（54+10）＝（78﹣34）cm，∴PP′＝PF﹣P′F＝18﹣（78﹣34）＝（52﹣78）cm．故答案为：18；（52﹣78）cm．14．有一块三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知BC＝12cm，高AD＝8cm，矩形EFGH的边EF在BC边上，G、H分别在AC、AB上，设HE的长为ycm、EF的长为xcm．（1）写出y与x的函数关系式；（2）当x取多少时，EFGH是正方形．【分析】（1）先由BC＝12cm，高AD＝8cm，HE的长为ycm、EF的长为xcm可知，AK＝AD﹣y＝8﹣y，HG＝EF＝x，再根据HG∥BC可知，△AHG∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可得出y与x的函数关系式；（2）根据正方形的性质可知y＝x，再代入（1）中所求的代数式即可得出结论．【解答】解：（1）∵BC＝12cm，高AD＝8cm，HE的长为ycm、EF的长为xcm，四边形EFGH是矩形，∴AK＝AD﹣y＝8﹣y，HG＝EF＝x，HG∥BC，∴△AHG∽△ABC，∴＝，即＝，∴y＝8﹣x；（2）由（1）可知，y与x的函数关系式为y＝8﹣x，∵四边形EFGH是正方形，∴HE＝EF，即x＝y，∴x＝8﹣x，解得x＝，答：当x＝时，四边形EFGH是正方形．15．为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长