2022-2023学年广东省重点大学附中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省重点大学附中九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性.下列汉字是轴对称

图形的是（）

A劳B动。光D宋

2.在1,-2,0,「这四个数中，最大的数是（）

A.1B.-2C.0D.<3

3.下列计算正确的是()

A.a64-a3=a2B.a2+2a2=3a2

C.(2a)3=6a3D.(a+l)2=a2+1

4.如图，直线/J/。，点C、4分别在人、。上，以点C为圆心，C4长为半径画弧，交匕于点B,

连接48.若NBG4=150°,则N1的度数为（）

A.10°B.15°C.20°D.30°

5.甲、乙两人在相同的条件下，各射击10次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是

1.1;乙射击成绩的平均数是8环，方差是1.5.下列说法中不一定正确的是（）

A.甲、乙的总环数相同B.甲的成绩比乙的成绩稳定

C.乙的成绩比甲的成绩波动大D.甲、乙成绩的众数相同

6.我国古代数学名著侏丘建算经中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，帽酒一斗直粟三斗•,

今持粟三斛，得酒五斗，问清，酷酒各几何？”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷子，一斗

醋酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒，醋酒各几斗？如果设清酒x斗，

那么可列方程为（）

A.10x+3（5—x）=30B.3%+10（5—x）=30

7.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数丁=卜久+外屋b为常数，且

k<0）的图象与直线y=gx都经过点4（3,1）,当kx+b<gx时，根据图象可知，x的取值范围

是（）

A.%>3B.%<3C.%<1D.%>1

8.如图，在正方形ABC。中，4E平分MAC交BC于点E,点尸是边4B上一点，连接若BE=

AF,则乙CD尸的度数为（）

A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°

9.如图，四边形/BCD中，乙BAD=120°,=90°,在BC,CD上分别找一点M,N,

使^AMN周长最小时，则乙4MN+乙4NM的度数为（）

A.130°B.120°C.110°

D.100°

10.如图，在矩形48C0中，ABVBC,连接AC,分别M

B

N

以点4,C为圆心，大于;AC的长为半径画弧，两弧交于点M,N,直线MN分别交4D,BC于

点E,F.下列结论：

①四边形4ECF是菱形；

②乙AFB=2/.ACB-,

@AC-EF=CF-CD;

④若4F平分NB4C,则CF=2BF.

其中正确结论的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.分解因式：3a2—21ab=.

12.不等式芋21的解集为.

13.如图，在Q4BCC中，4。=10,对角线4c与BD相交于点0,AC+BD=22,则△BOC的

周长为.

14.已知好一2，有％+巾=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是.

15.如图，正方形ABCC的边长为8,点E是C。的中点，HG垂直平分4E且分别交AE、BC于点

H、G,则BG=.

AB

16.如图，在直角坐标系中，直线y=gx+4分别交无轴，y

轴于4B两点，C为0B的中点，点。在第二象限，且四边

形40CD为矩形,P是CD上一个动点，过点P作PH104于H,

Q是点8关于点4的对称点，则BP+PH+HQ的最小值为■»

x

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题8.0分）

（1）计算：V18—V-6+V-3;

（2）解方程：3（x-l）2=48.

18.（本小题4.0分）

先化简再求值：（1一—三）一与，其中x=C+L

'x+Vx+1

19.（本小题4.0分）

己知：如图，41=42,43=44.求证：AB=AD.

20.（本小题6.0分）

如图，四边形4BCD为矩形，E,F在线段4c上，且AE=CF,证四边形BEDF是平行四边形.

21.（本小题8.0分）

2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉

祥物为“冰墩墩”.

(1)据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平

均每月生产量增加20%,则该工厂在四月份能生产多少个“冰墩墩”？

(2)已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元

的情况下，每下降2元，则每天可多售10件.如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应

降价多少元？

♦于

22.(本小题8.0分)

如图，一次函数y=x+2与x轴，y轴分别交于点Z,B,点是直线4B上一点，直线MC

交久轴于点C(|,0)；

(1)求直线MC的函数解析式；

(2)若点P是线段4c上一动点，连接BP,MP,若AABP的面积是AMPC面积的2倍，求P点坐

标.

23.(本小题10.0分)

如图，AaBC为锐角三角形.

⑴请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在4C右上方确定点D,使N£MC=N4CB,且CD_L

AD-,(不写作法，保留作图痕迹)

(2)在(1)的条件下，若NB=60。，AB=2,BC=3,则四边形4BCD的面积为.

AA

（图2）

24.(本小题12.0分)

在△ABC中，N4CB=90。，D为△ABC内一点，连接BC,DC,延长DC至U点E,使得CE=DC.

(1)如图1,延长BC到点F,使得C尸=BC,连接4/，EF.若4FJ.E尸，求证：BO14尸；

(2)连接4E,交B。的延长线于点“，连接CH,依题意补全图2.若AB?=4E2+B£>2,用等式

表示线段CD与CH的数量关系，并证明.

25.(本小题12.0分)

如图1,在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+4的图象分别交x轴，y轴于4,8两点，将

△40B绕点。顺时针旋转90。得ACOD(点力与点C对应，点B与点。对应).

(1)直接写出直线CD的解析式；

(2)点E为线段CD上一点，过点E作E/7/y轴交直线4B于点F,作EG〃；dtt交直线4B于点G,

当EF+EG=4D时，求点E的坐标；

(3)如图2,若点M为线段4B的中点，点N为直线CD上一点，点P为坐标系内一点.且以。，M,

N,P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种求解

点N坐标的过程.

答案和解析

I.【答案】。

【解析】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分

能够互相重合，所以不是轴对称图形，

选项。能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是

轴对称图形，

故选：D.

根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这

个图形叫做轴对称图形.

本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可

重合.

2.【答案】D

【解析】解：C>1>0>-2，

最大的数是一•

故选：D.

实数的比较，正数大于零，零大于负数，两个正数，绝对值大的数也较大.

此题主要考查了实数的比较大小，关键是掌握实数比较大小的原则.

3.【答案】B

【解析】解：4a6^a3=a3,故4不符合题意；

B、a2+2a2=3a2,故B符合题意；

C、(2a)3=8a3,故C不符合题意；

。、(a+1)2=a?+2a+1,故。不符合题意；

故选：B.

根据同底数基的除法，合并同类项，幕的乘方与积的乘方，完全平方公式，进行计算逐一判断即

可解答.

本题考查了同底数塞的除法，合并同类项，塞的乘方与积的乘方，完全平方公式，熟练掌握它们

的运算法则是解题的关键.

4.【答案】B

【解析】解：由题意可得4C=BC,

Z.CAB=Z.CBA,

v乙BCA=150°,4BCA+乙CAB+/.CBA=180°,

Z.CAB=Z.CBA=15°,

41=/.CBA=15°.

故选：B.

由题意可得AC=BC,则4a4B=Z.CBA,由NBCA=150°,Z.BCA+Z.CAB+MBA=180°,可得

/.CAB="BA=15°,再结合平行线的性质可得41=/.CBA=15°.

本题考查作图-基本作图、平行线的性质、三角形内角和定理，能根据题意得出BC=AC是解答

本题的关键.

5.【答案】D

【解析】解：•••各射击10次，甲射击成绩的平均数是8环，乙射击成绩的平均数是8环，

•••甲、乙的总环数相同，故A正确，不符合题意；

•••甲射击成绩的方差是1.1;乙射击成绩的方差是1.5,

・•・甲的成绩比乙的成绩稳定，乙的成绩比甲的成绩波动大，故8,C都正确，不符合题意；

由己知不能得到甲、乙成绩的众数相同，故。不一定正确，符合题意；

故选：D.

根据方差、平均数的意义进行判断，平均数相同则总环数相同，方差越大，波动越大即可求出答

案.

本题考查了平均数、方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组

数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集

中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

6.【答案】A

【解析】解：设清酒x斗，则醋酒（5-久）斗，

由题意可得：10x+3（5—x）=30,

故选：A.

根据共换了5斗酒，其中清酒x斗，则可得到醋酒（5-乃斗，再根据拿30斗谷子，共换了5斗酒，

即可列出相应的方程.

本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程.

7.【答案】A

【解析】解：由图象可得，

当x>3时，直线y="x在一次函数y=kx+b的上方，

二当kx+b<gx时，x的取值范围是x>3,

故选：A.

根据题意和函数图象，可以写出当kx+b<gx时，x的取值范围.

本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的

思想解答.

8.【答案】C

【解析】解：•••四边形4BC0是正方形，

AD=BA,Z.DAF=Z.ABE=90°,

在ADAF和△4BE中，

AD=BA

Z.DAF=乙ABE,

AF=BE

•••△D4F三△ABE(SAS),

Z.ADF=Z.BAE,

•；AE平分NBAC,四边形ABCD是正方形，

•••/.BAE=^BAC=22.5°,Z.ADC=90°,

^ADF=22.5°,

•••ACDF=AADC-AADF=90°-22.5°=67.5°,

故选：C.

根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到NACF的度数，从而可以求得NCDF的度

数.

本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是求出44DF的度数.

9.【答案】B

【解析】【分析】

根据要使AAMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，如图，作出4关

于BC和CD的对称点A,A",即可得出乙44'M+NA'=60。，进而得出乙1MN+41NM=

2(4AA'M+/.A")=120°.

【解答】

解：如图，作4关于BC和CO的对称点4',A",连接AA”,交BC于交CO于N,

则4’4"即为△4MN的周长最小值

vZ.DAB=120°

•••^AA'M+AA"=60°

•••/.MA'A=AMAA',乙NAD=NA"

SLAMA'A+/.MAA'=乙4MN,4NAD+乙4"=Z.ANM

：.4AMN+Z.ANM=Z.MA'A+Z.MAA'+4NAD+Z.A"

=2(444"+4A")=2x60°=120°

故选B.

10.【答案】B

【解析】解：根据题意知，E尸垂直平分4C,

M

JV

在△血热以COF中,

Z-EAO=Z.FCO

AO=CO

/-AOE=乙COF=90°

•••△AOE=t^COF(ASA),

.♦・OE-OF,

.・・AE=AF=CF=CE,

即四边形AECF是菱形，

故①结论正确；

•・・/.AFB=Z.FAO+/-ACB,AF=FC,

・•・Z-FAO=4ACB,

Z-AFB=2乙ACB,

故②结论正确；

11

S四边形AECF=°F'CD=24c•OEx2=-AC-EF,

故③结论不正确；

若4F平分NB4C,贝Ij/BAF=/.FAC=/.CAD=gx90°=30°,

•••AF=2BF,

■■■CF=AF,

CF=2BF,

故④结论正确；

故选:B.

根据题意分别证明各个结论来判断即可.

本题主要考查矩形的综合题，熟练掌握矩形的性质，基本作图，菱形的判定和性质，全等三角形

的判定和性质等知识是解题的关键.

11.【答案】3a(a-7b)

【解析】【分析】

此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.

直接提取公因式3a,进而分解因式得出答案.

【解答】

解：3a2-21ab=3a(a-7b).

故答案为:3a(a-7b).

12.【答案】%>5

【解析】解:写21，

%—3>2,

x>3+2,

%>5.

故答案为：x>5.

先去分母、再移项即可.

本题考查的是解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式是解答本题的关键.

13.【答案】21

【解析】【分析】

本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是理解平行四边形的对角线互相

平分，属于基础题.

根据平行四边形对角线互相平分，求出。C+OB的长，即可解决问题.

【解答】

解：•••四边形4BCD是平行四边形，

AO=0C=^AC,BO=OD=；BD,AD=BC=10,

vAC+BD=22,

OC+BO=11,

•••△BOC的周长=OC+OB+BC=11+10=21.

故答案为：21.

14.【答案】m<3

【解析】【分析】

本题考查了一元二次方程根的判别式，根据根的判别式d>0,找出关于小的一元一次不等式是解

题的关键.

由根的判别式/>0,即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出山的取值范围.

【解答】

解：•••关于x的方程/一2g+m=0有两个不相等的实数根，

4=(—2O4m>0,

解得：m<3.

故答案为：m<3.

15.【答案】1

【解析】【分析】

本题考查了正方形的性质、线段垂直平分线的性质，勾股定理，解决本题的关键是熟练运用线段

垂直平分线的性质构造辅助线.

连接4G、EG,根据GH是4E的垂直平分线，可得4G=EG,设CG=x，则BG=8x,根据勾股

定理可得4B2+BG2=CE2+CG2,可求得x的值，进而求出BG的长.

【解答】

解：如图，连接4G,EG,

E是CD的中点，

DE=CE=4,

vHG垂直平分AE,

AG=EG,

设CG=%,则BG=8-X,

^.Rt^ABG^ARtLGCE^,根据勾股定理，得

AG2=AB2+BG2,EG2=EC2+CG2

AB2+BG2=CE2+CG2,

即82+（8-X）2=42+%2,解得X=7,

：.BG=BC-CG=8-7=1.

故答案是：1.

16.【答案】6—+2

:.OB=4,OA=3,

VC是OB的中点，

BC=OC=2,

•・•Z.PHO=ACOH=Z.DCO=90°,

四边形PHOC是矩形，

•••PH=OC=BC=2,

vPH//BC,

.••四边形PBCH是平行四边形，

•••BP=CH,

•••BP+PH+HQ=CH+HQ+2,

要使CH+HQ的值最小，只须C、H、Q三点共线即可，

•・•点Q是点B关于点4的对称点，

<2(-6,—4),

又•••点C(0,2),

根据勾股定理可得CQ=J(2+4)2+62=6，1，

此时，BP+PH+HQ=CH+HQ+PH=CQ+2=6<7+2,

即BP+PH+HQ的最小值为6-2+2;

故答案为：6>/~2+2.

根据直线y=gx+4先确定。4和OB的长，证明四边形PHOC是矩形，得PH=OC=BC=2,再证

明四边形PBCH是平行四边形，则BP=C〃，在BP+PH+HQ中，PH=2是定值，所以只要CH+

HQ的值最小就可以，当C、"、Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，利用平行四边形的性质求

出即可.

本题考查了一次函数点的坐标的求法、三角形面积的求法和三点共线及最值，综合性强.

17.【答案】解：(1)原式=3U—+V石；

(2)3(%-I)2=48,

系数化成1得：(x-l)2=16,

x—1=±4,

x=±4+1,

=5,%2=-3

【解析】（1）先把二次根式化简，再进行计算即可；

（2）先把（X-1）2的系数化成1,然后直接开平方，把二次方程化成一元一次方程，进行求解即可.

本题主要考查了二次根式的混合运算和解一元二次方程，解题关键是熟练掌握化简二次根式和解

一元二次方程.

18.【答案】解原式=（/一击）.登

~x+1x（x-l）

1

=

当x=，？+l时’原式=『七五=?.

【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把工的值代入计算即可.

本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键.

19.【答案】证明：•••43=”,

:.Z.ACB=Z.ACD,

在△ACB和△ACD中，

zl=Z2

AC=AC

Z-ACB=Z.ACD

•••△4C8为ZC0Q4S4),

：•AB=AD.

【解析】根据邻补角的定义得出NACB=4ACD,利用ASA证明AACB三△"/）,根据全等三角形

的性质即可得解.

此题考查了全等三角形的判定与性质，利用4sA证明AACB三△AC。是解题的关键.

20.【答案】解：如图，连结BD,交4C于点0,

••・四边形力BCD为矩形，

•••AO=CO,BO=DO,

■■AE=CF,

AO-AE=CO-CF,

OE=OF,

vBO=DO,

••・四边形BED尸是平行四边形.

【解析】连结BD,交4?于点。，根据矩形的性质得到4。=C。，BO=DO,根据AE=CF,得到

OE=OF,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可.

本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题

的关键.

21.【答案】解：(1)500x(l+20%)2=500x1.44=720(个).

答：该工厂在四月份能生产720个“冰墩墩”.

(2)设每个“冰墩墩”降价x元，则每个盈利(40-x)元，平均每天可售出20+*10=(20+5x)

个，

依题意得：(40-x)(20+5x)=1440,

整理得：X2-36%+128=0,

解得：%1=4,%2=32(不符合题意，舍去)

答：每个“冰墩墩”应降价4元.

【解析】(1)利用该工厂在四月份生产“冰墩墩”的数量=该工厂在二月份生产“冰墩墩”的数量

x(1+20%)2,即可求出结论；

(2)设每个“冰墩墩”降价x元，则每个盈利(40-x)元，平均每天可售出(20+5x)个，利用该商

店每天销售“冰墩墩”获得的利润=每个的销售利润x平均每天的销售量，即可得出关于x的一元

二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

22.【答案】解：(1)•••点是直线4B上一点，

・•・1+2=m,

・•・m=3,

设直线MC的解析式为y=kx+bf

••・供+k。，

Ik+b=3

解得忆言,

・・.直线MC的函数解析式为y=-2x+5；

(2)设PQO),

•・,一次函数y=%+2与％轴，y轴分别交于点4B,

，当％=0时，y=2,当y=0时，%=—2,

••・4(-2,0),8(0,2),

•••AP=a+2,PC=1—a,

1111S3

,o,S^ABP=IAP，O8=2X(Q+2)X2=Q+2,S^MPC=qPCx3=——cif

•••△4BP的面积是^MPC面积的2倍，

153

；・a+2=2x(―——CL)r

解得

a=vo-

••・p/,0).

【解析】(1)求出M点的坐标，由待定系数法可求出答案；

(2)设P(a,0),得出ZP=a+2,PC=|-a,根据面积关系列出方程可得出答案.

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，三角形面积，坐标与图形的面积，熟练

掌握待定系数法是解题的关键.

23.【答案】解：(1)如图1中，点。即为所求;

【解析】【分析】

本题考查作图-复杂作图，矩形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属

于中考常考题型.

(1)根据要求作出AD〃BC,CDLAD即可；

(2)过点4作AH1BC于点”.求出AD,利用梯形面积公式求解.

【解答】

解：(1)见答案.

(2)过点力作AH1BC于点

在Rt△力BH中，AB=2,ZB=60°,

BH=1,AH=G，

：.CH=BC-BH=2,

vZ.DAC=乙ACB,

:.AD"BC,

••AH1CB,CDLAD,

/.AHC=Z.ADC=Z-DCH=90°,

・•・四边形4HCD是矩形，

•-AD=CH=2,

S四0侬BCD=^x（2+3）x「=浮，

故答案为：浮.

24.【答案】（1）证明：在△BCD和AFCE中，

BC=FC

乙BCD=4FCE,

CD=CE

•••△BCD=^FCELSAS'）,

・•・Z-DBC=Z-EFC,

ABD//EF,

vAF1EF,

・・・BDLAF；

（2）解：由题意补全图形如下：

CD=CH.

证明：延长BC到F,使CF=BC,连接4F,EF,

・：AC工BF,BC=CF,

AB=AFf

由(1)可知BD〃EF,BD=EF,

•：AB2=AE2+BD2,

AF2=AE2+EF2,

Z.AEF=90°,

:.AE1EF,

••・BD1AE,

・・・乙DHE=90°,

又•・•CD=CE,

・・.CH=CD=CE.

【解析】(1)证明△BCD三△/CE(SAS),由全等三角形的性质得出=证出BD〃EF,

则可得出结论；

(2)由题意画出图形，延长BC到F,使CF=BC,连接4尸，EF,由(1)可知80〃EF,BD=EF,

证出乙4EF=90。，得出NDHE=90。，由直角三角形的性质可得出结论.

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定

理，证明ABCO三AFCE是解题的关键.

25.【答案】解：(1)一次函数y=2尤+4,令x=0,则y=4,令y=0,则x=-2,

A(—2,0),B(0,4),即。4=2,OB=4,

♦.•将△4。8绕点。顺时针旋转90。得4COD,

••・OC=OA=2,OD=OB=4,

・・・C(0,2),D(4,0),

设直线CD的解析式为y=kx+b,

则｛：2+2匕=°'解得

・,・直线CD的解析式为y=4-2；

(2)设E(a,—ga+2),则F(Q,2Q+4),

vEG〃工轴，

・••点G的纵坐标为一ga+2,

将y=-，Q+2代入一次函数y=2%+4得：2x+4=-]Q+2,

=即点G的横坐标为一；a—L

•・・力(-2,0),0(4,0),

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