山西省忻州市花园私立学校2022年高二数学文联考试题含解析

山西省忻州市花园私立学校2022年高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.用数学归纳法证明”能被9整除，要利用归纳假设证时的情况，只需展开()A．

B．

C．

D．参考答案：A2.定义域为的函数满足当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C略3.已知A，B是单位圆上的动点，且|AB|=，单位圆的圆心是O，则·=

(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：C4.若函数在区间上为单调函数，则实数不可能取到的值为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D5.如果(

)A．

B．{1，3}

C．{2，5}

D．{4}参考答案：C6.设复数，若为纯虚数，则实数（

）

A．

B.

C．

D．参考答案：D7.若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是(

)A（-1，0）∪（0，1）

B（-∞，-1）∪（1,+∞）

C（-1，0）∪（1,+∞）

D（-∞，-1）∪（0,1）参考答案：C略8.如图，已知AB是半圆O的直径，M，N，P是将半圆圆周四等分的三个分点，从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，则这3个点组成直角三角形的概率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】整体思想；综合法；概率与统计．【分析】这是一个古典概型问题，我们可以列出从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，可能组成的所有三角形的个数，然后列出其中是直角三角形的个数，代入古典概型公式即可求出答案．【解答】解：从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：ABM、ABN、ABP、AMN、AMP、ANP、BMN、BMP、BNP、MNP，其中是直角三角形的只有ABM、ABN、ABP，3个，所以这3个点组成直角三角形的概率P=，故选：C．【点评】本题考查古典概型的概率问题，掌握古典概型的计算步骤和计算公式是解答本题的关键．9.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，确定其圆心的直角坐标再化成极坐标即可。【详解】圆化为,，配方为，因此圆心直角坐标为，可得圆心的极坐标为故选：B【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，点的直角坐标与极坐标的转化，比较基础。

10.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=A．

B.

C.

D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.用一张长6，宽2的矩形铁皮围成圆柱形的侧面，则这个圆柱形的体积是

。参考答案：12.对于数列，若中最大值，则称数列为数列的“凸值数列”。如数列2,1,3,7,5的“凸值数列”为2,2,3,7,7；由此定义，下列说法正确的有___________________.①递减数列的“凸值数列”是常数列；②不存在数列，它的“凸值数列”还是本身；③任意数列的“凸值数列”是递增数列；④“凸值数列”为1,3,3,9的所有数列的个数为3.参考答案：①④13.若不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是___参考答案：略14.下列命题正确的序号是

①命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题是真命题；②命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是真命题；③若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件；④方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±．参考答案：①②③【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①根据指数函数的性质判断即可；②写出逆否命题即可；③根据充分必要条件的定义判断即可；④通过讨论a=0，a≠0判断即可．【解答】解：①若a＞b，则2a＞2b的否命题是：若a≤b，则2a≤2b，是真命题，故①正确；②命题“a，b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是：若a+b不是偶数，则a，b不都是偶数，是真命题，故②正确；③若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件，故③正确；④若方程ax2+x+a=0有唯一解，则a=0，或△=1﹣4a2=0，解得；a=±，故方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±，或a=0，故④错误；故答案为：①②③．15.点M的直角坐标是，在，的条件下，它的极坐标是__________.参考答案：【分析】根据，可得．【详解】，，，，，且在第四象限，，故答案为：．【点睛】本题考查了点的极坐标和直角坐标的互化，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题．16.设z的共轭复数是,若,,则等于__________.参考答案：【分析】可设，由,可得关于a,b的方程，即可求得，然后求得答案.【详解】解析：设,因为,所以,又因为,所以,所以.所以,即,故.【点睛】本题主要考查共轭复数的概念，复数的四则运算，难度不大.17.设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且，则的面积等于

▲

．参考答案：24【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|=10，再由3|PF1|=4|PF2|，求出|PF1|=8，|PF2|=6，由此能求出△PF1F2的面积．【详解】双曲线的两个焦点F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10，由3|PF1|=4|PF2|，设|PF2|=x，则|PF1|=x，由双曲线的性质知x﹣x=2，解得x=6．∴|PF1|=8，|PF2|=6，∵|F1F2|=10，∴∠F1PF2=90°，∴△PF1F2的面积=×8×6=24．故答案为：24．【点睛】本题考查双曲线的性质和应用，考查三角形面积的计算，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设a∈{2,4}，b∈{1,3}，函数.(1)求f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；(2)从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1))处的切线互相平行的概率．参考答案：略19.如图，在三棱锥C﹣OAB中，CO⊥平面AOB，OA=OB=2OC=2，AB=2，D为AB的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面COD；（Ⅱ）若动点E满足CE∥平面AOB，问：当AE=BE时，平面ACE与平面AOB所成的锐二面角是否为定值？若是，求出该锐二面角的余弦值；若不是，说明理由．参考答案：【考点】MJ：与二面角有关的立体几何综合题；LW：直线与平面垂直的判定；MK：点、线、面间的距离计算．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出CO⊥AB，DO⊥AB．由此能证明AB⊥平面COD．（Ⅱ）以点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，OC所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ACE与平面AOB所成的锐二面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）在三棱锥C﹣OAB中，CO⊥平面AOB，∴CO⊥AB．…又OA=OB，D为AB的中点，∴DO⊥AB．…∵DO∩CO=O，∴AB⊥平面COD．…（Ⅱ）∵OA=OB=2，AB=2，∴AO⊥BO．…由CO⊥平面AOB，故以点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，OC所在的直线为z轴建立空间直角坐标系（如图），由已知可得O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，1），D（1，1，0）．…由CE∥平面AOB，故设E（x，y，1）．…由AE=BE，得，故x=y，即E（x，y，1），（x≠0）．…设平面ACE的法向量为，由，=（x，y，0），得，令a=1，得=（1，﹣1，2）．…又平面AOB的法向量为，…∴cos＜＞==．故平面ACE与平面AOB所成的锐二面角为定值，且该锐二面角的余弦值为．…20.（本题满分15分）已知定义在R上的函数，其中a为常数．（1）若是函数f(x)的一个极值点，求a的值；（2）讨论函数f(x)的单调性；（3）当a=时，令．求证：当x∈（0，+∞）时，（e为自然对数的底数）．参考答案：（3）当a=时，f（x）=，，要证：(x>0)，只需证：

(x>0)，即证设，得F′(x)=…………11分令F′(x)=0，得x=，x=-(舍去)∴F（x）在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．∴F(x)min=F(x）极小值=F（）=

………………

14分∴F（x）≥F（x）min=0，即x2-2elnx≥0，∴原不等式成立．

………………15分21.如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，P为BC边的中点，SB与平面ABCD所成的角为，且，。（1）求证：平面。（2）求二面角的余弦值。（12分）参考答案：（12分）

解：（法一）（1）因为底面ABCD，所以是SB与平面ABCD所成的角。………….1分由已知，所以，易求得。………….2分又因为所以，所以………….3分因为底面ABCD，平面ABCD，所以，………….4分由于，所以平面SAP。………….5分（2）设Q为AD的中点，连接PQ，………….6分由于底面ABCD，且平面SAD，则平面SAD平面PAD。………….7分因为所以平面SAD，过Q作，垂足为R，连接PR，由三垂线定理可知，所以是二面角的平面角。………….9分容易证明∽，则。因为，所以………….10分在中，因为，所以，………….11分所以二面角的余弦值为。………….12分（法二）因为底面ABCD，所以是SB与平面ABCD所成的角。………….1分所以，所以。建立空间直角坐标系（如图），由已知P为BC的中点，于是A（0，0，0），B（1，0，0），P（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）。（1）

易求得，（-1，1，0），（-1，-1，1）。因为，所以。由于，所以平面SAP。………….5分（2）

设平面SPD的法向量为，由得，解得，所以。………….8分又因为平面