2023-2024学年河北省金科大联考高三年级上册10月质量检测数学试题及答案

绝密★启用前

2024年普通高等学校全国统一模拟招生考试

高三10月联考

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码拈贴在答题卡上

中

丹的指定位五.

淤

2.请按题号顺序在冬题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非

答题区域均无效。

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡

上作答；字体工整，笔迹清焚。

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设z=a+i(a€R),若zi+元=0,贝lj|z|=

A.72B.1C.V3D.2

2.设集合A={x\y=y/x—1},B={y|_y=2*+2},则A\JB=

A.{x|x>l}B.C.{Z|H>2}D.{X|X>2)

3.设a=log3,fe=-z-,c=log.0.3,则

2土02

A.6>a>cB.6>c>aC.a>6>cD.a>c>b

4.设，（工）为/（工）的导函数，若/（工）=（工+1）^-，（0）］,则曲线*=/（工）在点（0,/（0））处的

米

切线方程为

A.y=—x+lB.y=—2x+\C,y=2x+lD.y=x+l

5.设0V6<£"，若（sin6+cos5）2+V3cos2。=3,则sin26=

A.当C.§D，4

6.在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是CD的中点，DE与BF相交于点G,则启=

A.B.-yAB+4-AD

C.jAB+yADD.-J-AB4--I-AD

JJ33

7・记^ABC的内角A,B,C的对边分别为a,6,c,且/+2a6+〃=c2+2,若^ABC的面积为

4■♦则cosC=

A—n2「3n4

3B.彳C.yD.|

毂数学试题第1页(共4页)

8,已知函数/(x)=(2x+37^0,则函数g(z)=［f(z)T-/［f(z)］的所有零点之和为

(x-2)2,x>0,

A.2B.3C.OD.1

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知a,b为平面上的单位向量，且|a+b|=2|a-b|,则

A.向量a与b的夹角的余弦值为高

B.|。一川=笔

C.(a+2b)_L(2a-b)

9

D.向量a—b在向量a上的投影向量为三。

0

10.已知函数/(N)=Acos(3r+p)(A>0,3>0,IMV/)的部分图象如图所示，则

A.f(z)的最小正周期为n斗

C.将曲线y=f(z)向右平移合个单位长度后得到的图象关于y/o\；/聘F

轴对称J|\!/

D.若/(工)在区间(一%。)上单调递增，则0<。《专

11.已知函数义］)是定义在R上的奇函数，且义］-1)+/(幻+/(H+1)=0,则

A./Gr)的一个周期为3B.f(好的图象关于直线•对称

2022

C./(1)=0D.E/W=o

12.已知a>0,设函数/(x)=ln则下列说法正确的是

A.当a=l时,/(z)在定义域上单调递增

B.当OVaVl时,f(z)有两个极值点

C.若x,,x2为f(z)的极值点，则工［工2=1

D.若X,，耳为八工)的极值点，则/(X.)+/(/)=0

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在aABC中，内角人，8,。所对的边分别为。"",若6=a+2,c=a+4,C=120°,则a=

*

14.写出同时满足如下三个条件的一个函数解析式/(x)=.

①/(幻为偶函数；②/(幻的定义域为M③八工)的值域为［0，口

15.已知正实数a,6满足笳+加=1,则(4a+2)(46+给的最小值为.

3x2

16.设/(x)=ae—3x+xlnN+«Z,若/(幻》。.则a的取值范围是.

数学试题第2页(共4页)

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.（本小题满分10分）

记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,6,c,B-A=^,46=3虑公

（1）求tanA；

（2）若c=V2,^AABC的外接圆的面积.

18.（本小题满分12分）

设命题/>：“对任意x>l—（a+Dz+a+l20恒成立且命题p为真命题.

（D求实数。的取值集合A；

（2）在（1）的条件下，设非空集合8={川雨+1<]</-1},若“GB"是。SA”的充分条

件,求实数m的取值范围.

19.（本小题满分12分）

已知函数/（H）=Cr+D（z-a）2,其中。2一1.

（D讨论人]）的单调性；

⑵当心>一1时，设为，Z分别为/（工）的极大值点和极小值点，且点A（1i，f3））,

8（与J（B）），若直线AB在y轴上的截距大于返抖，求a的取值范围.

0

)p

20.（本小题满分12分）

记函数/（H）=2COS（3N+P）（SWN・，0VpV幼的最小正周期为T.

⑴若f（T）=l，且直线•为人]）的图象的一条对称轴，求f（给；

■•I.・.*

（2）若子为f（z）的一个零点，且/（工）在区间（0,“）上至多有两个零点，求T.

0

21.（本小题满分12分）

--z

已知函数y（x）=log?x+logx4（x>l）♦g（x）=4*+4*-a,2*—a•2+l.

（D求/（z）的最小值；

（2）设不等式f（z）43的解集为集合A,若对任意为GA,存在工2€[0,1],使得为=g（工2）,

求实数a的值•J,

22.（本小题满分12分）

（1）证明：当工》0时.X—sin工20；

（2）已知函数/（x）=sinx—x+axsinHNGIOEIRGR,，（工）为/（工）的导函数.

（I）当4>0时，证明：,（工）在区间（0,学）上存在唯一的极大值点；

（ii）若/（幻有且仅有两个零点，求a的取值范围.

数学试题第4页（共4页）

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高三10月联考・数学

参考答案、提示及评分细则

题号12345678

答案ABcI)BAcI)

题号91011)2

答案ABDADADACD

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共川分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.【答案】A

【解析】由：i+e=（a+i）i+“-i=（“一l）i+”-l=0.解褥”=1.所以|?|=故选A.

2.【答案】B

【解析】由，一1）0.解得.r2l,所以A=（.r|.r2l）.因为y=2T2>2.所以B=口卜>2}.故A（JB=用141},

故选B.

3.【答案】C

【解析】<=log,,:0,3<log,,10.2=1“=log..3>log..2々=9=/>>I.所以“>/,>一故选C.

4.【答案】D

【解析】因为/（0）=1./'3）=（,+2）/—，（0）,所以/（0）=2一/'（0）.所以（0）=1.由/（0）=1./（丁）在

点（0./（0））处的切线方程为5，一/（0）=/（0）（l一0）.所以/（.「）在（0./（0））处的切线方程为.y=.r+l.故

选D.

5.【答案】B

【解析】因为（sin0+coz。尸+伍cos20=I+2sintfeos。+伍cos20=3.

所以2sinOcos0+Gcos20=sin20+伍cos20=2.即2sin（2。+■^■）=2.

所以20+T"=g"•所以sin20=新子=4.故选B.

3L6I

6.【答案】A

【解析"IF为（'。的中点.E为*的中点.行I汁、』十小）,可得说=2懑,书花一茄=2（无方一花）,有

AG=^-AE-F-^-AD.乂由戒=沛+淀=茄+,有益=4（Ali+^Al））+•茄=曰茄+^-'AD.

故选A.

7.【答案】（’

【解析】依照意.有“―』2-2人有2aAeos（'=2—2必所以ab=,..设△ABC面积为S,所以S

1十cos（

H

=！〃〃sinC=0,1V'~TTT=-J-•彳j*2sinC=1+cosC・\\1（1—cos'C）=（1+cosC）2,解cosC=或

22（14-cos（）45

cosC=-1(舍去)•故cos('=卷.故选C.

o

数学答案第1页（共6页）

8.【答案】D

【解析】不妨设则/为方程〃=〃/)的解.

当/>0时，/=(/一2尸.解得/=1；当/40时，/=2/+3,解得/=-1.

当/=1时,八］)=1的解为-1.1,3；当/=-1时，八才)=一1的解为一2.

所以*")的所有零点之和为-1+1+3+(—2)=1.故选D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对

的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.【答案】ABD

【解析】因为|。|=|引=1.且|a+W=2|a—b|,则|0+b|2=4|a-b|2.

即2+2a•6=8—8a-b.解得a•b=±■.所以cos(a.&>=-Arrr=.A选项正确；

5101sl送

\a-b\=5/2—2a•b=,B选项正确；

(a+2h),(2a—b)=2cH—G•b+4a•。-2"=3G•力¥().C选项错谈；

向址4一b在。上的投影向鼠为旧前"血=("一。..D选项正确•故选ABD.

I。卜5

10•【答案】AD

【解析】闪为弓=崂一孕=S所以3=2.T=A,故A正确；

41LSLU)

由八=2./虑)=2cos(学+3)=-2,可得§=T，故B错切

illA.B选项nf知./(.r)=2cos(2.i),向右平移居个中.位，所得函数g(.r)=2cosF2(.1,一卷)-

**ICL14J」

2cos(2.r-y)=2sin2『的图象关于原点时称,C选项借识1

/(“•)在(一作.弥)上雎谢递增•故0V”&£,D选项正确.故选AD.

、36，6

11.【答案】AD

【解析】由/(.r-l)4-/(.r)+/(.r+l)=0可知/(.r)+/(.r+1)+/(.r+2)=0.所以/(,r-1)=/(.r+2).H|1

/(.r)=/(.r+3),/(.r)的一个周期为3.A选项正确；

又因为/(才)为奇函数.所以/•(.r)=/(.r+3)=—一才),即-H+3)+/(一为=0.所以/(.r)的图象关于

点(卷.0)对称.B选项错误；

因为/。+3)+/(一］)=0.令1=-1,则/(2)+/(1)=0J(l)的大小不能确定.C选项错误।

由于/(1)+/(2)=0./(0)=/(3)=0,所以/(1)+/(2)+/(3)=0,由于/(.r)的一个周期为3,且2022=3

X674,所以费/凌)=0.D选项正确.故选AD.

*=I

12.【答案】ACD

_//+(2-4-+1

【解析】/(r)=

(.r2+l)2=(T2+1)2T

当“=1时./(.r)=点!=>。，/(.「)单调递增.A选项正确；

/1.2r।1/xkx।1)x

当0<«<1时.令/(.r)=0.设/=./.即/+(2—4“)/+1=0.△=(2—4«)J—4=16——16a=16u(a—IX

0,所以r+(2-4a)/+l>O./Cr)无极值点.B选项错误；

数学答案第2页(共6页)

由B选项可知”>1时.产+《2—4a)，+1=0存在两个正实数根./(.r)存在两个极值点•所以.苦品=1.即

心心=1(选项正确；

,±-1„

/(.ri)+/(.r：)=/(.ri)+/(—)=In.»-)~a八J+In-.....a-------In(,r(,—)-a1,41=

'.ri7.rj+1.ri-L+]'-ri'.rj+1,rj+1

1r|

O.D选项正确•故选ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.【答案】3

【解析】由余弦定理有<‘=</+//+“/人有("+4>=”-'+(“+2尸+”(“+2》•整理为-3—6=。•解得a=3

或“=一2(含去).故“=3.

14.【答案】Isin或Icos或1+J"或JgH2.r+•或与鲁,斗斗(答案不唯一)

【解析】考虑三加函数或过点(0.0).极大值为1的函数.

15.【答案】12

【解析】因为“：+6=122“〃•所以0V3y.

(.1\/.1\[公,I1,2a,2b],1,2(<?+b£)..,9.9

(4ia+丁)(Mo+Z7I=16uA+7-7+-：—I16a〃+y-;H---------;—16a6+T"72216aA•-7-7=102♦

'Lafvlb1\abba\abab\abV4«〃

当且仅当,，〃=[■时等号成立.

O

16.【答案】「里.+8)

L3e9

【解析】由题意・/(.「)=ae3j—3.r?+.rln.r+.r^0♦即由---3.r+In.r+120・

即acir,n*—3.r+In.r+l20•设/=g(.r)=3/•一In.r.则/(.r)=3----=—•

所以当.rC(0.；)时./(.r)V0.g(.r)单谢递减.当.r6(』".+<»)时./(.r)>0.g(.r)单谢递增.当.r=J

»*»>«|

时.K(.r)取得极小值K(y)=l+ln3.所以“一/+120对任意/2l+ln3恒成立,即

谀〃⑺=宁.则，⑺=宁.Ji⑺在[1+In3.+8)上单调递减,所以“2加1+In3)=噤.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.【答案】(1)2(2)25&

【解析】(1)由正弦定理磊^=就不有脑n〃=3夜xinA=4zin(人+手，.......................2分

l!|l3>/2sinA=2^sin人+29cozA.解得tnnA=2t.....................................................................................4分

<2)tan8=tan(A+:)=:/十]==-3.............................................................................................5分

'I7I-tanA1-2

=

因为A+8+('=n・所以tan('=tan[K—(B+A)]=-tan(A+B)=-7^7'^；4"*........................6分

1-(—6)7

由tanC=J■可知('6(0.当),所以sinC='.所以—7；=卑=2K...................................................9分

7'2'5Msin(_1_

572

解得R=5.所以△ABC的外接网的面积为251t..............................................................................

数学答案第3页(共6页)

18.【答案】(l)A={a|<i43}(2){“山”=2或一24,"〈一1)

【解析】(1)/(1)=上一(a+lkr+a+l》O值成立.即x2-.r+l>a(x-1),

y-—r-4-1

BII«C--早2对任意,r>l恒成立.........................................................2分

.r-1

^.r2-.r+1-2.r+1+.r-1+1…1i】「八

“E--------;-=-----------------;--------------=i-1H-------r+1♦.................................................................................5分

x-1x-1.r-1

因为.r-I+占+1+1=3(当且仅当.r=2时取“=").所以«<3.

综上皿的取值集合为A={“|a43h.................................................................................................................7分

（2）依题意.m:—12,"+1.解得，”》2或-1.............................................................................................9分

因为是"GA”的充分条件,所以M-143.解得-2&,”42...........................................................11分

所以，”的取值范围为"”|，”=2或一24攒《一】}.............................................12分

19.【答案】（1）当。=-1时./（.r）在R上单调递增•当a>-l时•八工）在（一8.^^萨）和（a•+8）上单调递

增.在（三.a）上单调递减（2）a>2

【解析】（l）r（1）=（.r—a）?+2（.r+1）（］—〃）=（.r—u）（3.r+2—a）.

R

当〃=一1时・，（.r）=3（.r+l）22oj（r）在上单调递增；...................................2分

当a>~l时.令/（.r）=0,解得.r=a或.r=1.

所以当.r£（一8.一）时,/（『）>0./加）单谢递增.

<>

当.re（音“）时.，（.r）VO./（.r）单谢递减.

当才6（U.+8）时.，（.r）>O./（.r）单浏递增.................................................4分

综上.当0=-1时./（，）在R上单调递增.

当”>一1时./（r）在（一8.三）和储.十8）上单调递增.在（4.“）上单调递减；............6分

（2）由（1）知.当&>一1时.h=3^,丁2=人且f（xt）=O.

则直线AB：y-/（.）="不）一"'）（了一不）............................................................................................8分

才1—XZ

a+1/_2a+2\"

人niiiii/(«n)/、313)2a(a+l)2

.rj—a_十，9

3

依题意.2"（沪”>.|»1«+1>0可化为/+6>0.解得“>2.

所以0的取值范用是a>2...................................................................................................................................12分

20.1答案】（1）1（2）T=2K

【解析】（D闪为八丁）=/（§）=2COS火=1,且0〈BV£............................................................................2分

所以3=T-./（.r）=2cos（3.r+手），........................................................3分

OO

因为丁=1•为/《工）图象的一条对称轴.所以等+g=K”（AGN・）..............................5分

006

数学答案第4页（共6页）

所以3=6A—2(A£N・)・/(作)=2cos(2々穴一年+专)=1；................................................................6分

*.>»>»>

⑵由誉为/(・r)的一个零点•可知等+p=4n+g"(A6Z).....................................................................7分

»*»*c»

乂〃.r)在(0.脑内至多有两个零点•所以s+衿.......................................8分

|f|0〈伊〈辛・有•可得Xill3GN,•可得w=1或2・.............................................9分

①当3=1时./(.r)=2cos(x+y)•乂由/(--)=2cos(小+中)=0•由+yj<-jrn«

疗中"+3=£-♦可得3=序■，有/(>)==2cos(.r+y-)•在区间((),〃)内有一个零点.r=T.符合题意,.....

............................................................................................................................................................1()分

②当“2时J(.r)=2cos(2.r+6,又由/(手)=2«»(冬+中)=0.由"V与+「=[•”,没有满足条件的外

............................................................................................................................................................11分

由上知3=l.T=2K..............................................................................................................................12分

21.【答案】(1)2々(2)y

【解析】(1).「>I时•log，.r>0.所以f(.r)=log..r+log,4=log..r+:---)2々.

1。&・r

当且仅当1。处，=1、.即「二*时.等号成立.所以/(.「)的最小值为29；.........................................4分

log2.r

2

(2)/(.r)=logr+;-----&3・l!|J(log2.r)•—3(log^.r)+2^0・

2logj.r

解得141。、，42•即24・r&4•故A=[2・4]........................................................................................6分

说，=2，+2:则当[0,1],即2,£[1,2]时,由对勾函数的性质可知£

而小.r)=(2'+2,>1-a(2*+2')-1=/2-a/-1.

设=则由题意得人=[2.4]为当£[2."I•1时,4⑺的值域的子集.................8分

.仅(2)=3-2“42.

1°当冬42,即a<1时,易知“，)在|"2.年]上单网递增.故1/5\215得”=.....9分

2L2」|4f)=T-f«»-2

2°当2<y<y,W4<a<5时,〃⑺在[2.伊]上的最大值即小⑵和万(£)中的较大仙

令["2)=3-2“2J1!!“4—I.令人(个)=4—得■,而4VaV5.故不合题意i......H分