2023-2024学年山东省金科大联考高三（上）质检数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年山东省金科大联考高三(上)质检数学试卷(9

月份)

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合4={x|2xN3-x},B={x\y=2^^}，则CR(AUB)=()

A.(—8,1)B.(—8,2)C.(1,+8)D.(2,+8)

2.复数2=-彳一《1一。的模为()

A*B.。C.|D.C

3.已知f(%)是R上的奇函数，则函数g(%)=/(%+1)-2的图象恒过点()

A.(1,-2)B.(1,2)C.(-1,2)D.(-1,-2)

4.某校举办歌唱比赛，将200名参赛选手的成绩整理后画出频率分布直方图如图，根据频率

分布直方图，第40百分位数估计为()

A.64B.65C.66D.67

5.如图，在平行四边形/BCD中，。为对角线的交点，E为4。的中点,

尸为C。的中点，若EF=xOC+yOD,则x—2y=()

A.1B.2C.D.I

32

6.过点4(1,1),B(3,3)且圆心在直线y=3x上的圆与y轴相交于P,Q两点，则PQ|=()

A.3B.3V_2C.D.4

7.己知函数/（均=411触一以3>0）在［0愣］上单调递增，在帛+焉上单调递减，将函

数/⑶的图象向左平移火0<8<今个单位长度，得到函数g（x）的图象，若函数g（x）为偶函

数，则0=（）

A-IB；C.I

8.如图，A,B分别是椭圆C：各，=l（a>b>0）的左、

右顶点，点P在以AB为直径的圆。上（点P异于4,B两点），线

段4P与椭圆C交于另一点Q,若直线BP的斜率是直线BQ的斜率

的4倍，则椭圆C的离心率为（）

A.H

3

B4

c.W

2

D1

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知等差数列｛5｝的前n项和为工,公差为d,a3=ax-4,S7=154,则（）

A.d=-2B.ar=30

C.一320是数列9"｝中的项D.Sn取得最大值时，n=14

10.如图，已知圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,母线长为无--

2,AB,CD分别为上、下底面的直径，AC,BD为圆台的母线，E为//\

弧AB的中点，则（）AC__/

A.圆台的侧面积为67r

B.直线4c与下底面所成的角的大小为W

C.圆台的体积为q

D.异面直线4c和DE所成的角的大小为J

11.已知函数f(%)=%伍%—QX+1,贝|J()

A.当a=0时，函数八>)的最小值为1

B.当a=1时，函数/(%)的极大值点为x=1

C.存在实数a使得函数/Xx)在定义域上单调递增

D,若“X)>0恒成立，则实数a的取值范围为a<1

12.已知抛物线C：必=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,过y轴上异于坐标原点的任

意一点P作抛物线C的一条切线，切点为Q,且直线PQ的斜率存在，。为坐标原点.则()

A.p=2

B.当线段PF的中点在抛物线C上时，点P的坐标为(0,2/2)

C.PF1PQ

D.\PQ\■\0F\=\0P\■\PF\

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.3名男生和3名女生站成一排照相，则男生站在一起，且女生站在一起的概率为.

14.曲线/(%)=x3-2/过原点的切线方程为.

15.已知cosaH0,3sin2a—cos2a=1.贝Item2a=.

16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面4BCD为矩形，PC_L平面P

ABCD,AB=4,PC=BC=3,E,F,G分别为ZD,AB,PC的中

点，点H在棱PC上，且BH〃平面EFG,则三棱锥"一ABD的外接球修夕2；/，)。

的表面积为,//

AFB

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

在△ABC中,内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a—c)(a+c)sinC=c(b-c)sinB.

(1)求A；

(2)若△ABC的面积为一百，sinBsinC=；,求a的值.

18.(本小题12.0分)

在前n项和为无的等比数列｛七｝中，%=2,S3=3a2+2.

(1)求数列｛6｝的通项公式；

(2)记以=2log2an-1,将数列｛aj和数列｛%｝的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新

的数列｛%｝,求数列｛0｝的前50项的和.

19.(本小题12.0分)

零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零件其精度要求也会越高,某企业为了提高零件

产品质量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计整理，得到数据如下表:

零件直径(单位：

口.0,1.2)[1.2,1.4)[1.4J.6)[1.6,1.8)[1.8,2.0]

厘米)

零件个数1025302510

已知零件的直径可视为服从正态分布N(〃R2),〃，02分别为这100个零件的直径的平均数及

方差(同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表).

(1)分别求出M的值；

(2)试估计这批零件直径在［1.044,1.728］的概率；

(3)随机抽查2000个零件，估计在这2000个零件中，零件的直径在［1.044,1.728］的个数.

参考数据：V0.052x0.228;

若随机变量E〜N(〃R2),贝炉(4-a<^<n+a)0.6827,-2a<^<n+2a)

0.9545,PQi-3<r<f<//+3<r)«0.9973.

20.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P-4BCD中，底面4BCC是直角梯形，BC//AD,AB1BC,平面PAB_1_平面

ABCD,PA=PB,AP1BP,BA=2,BC=1,AD=3,PE=APD(0<A<1).

(1)若CE〃平面P4B,求，的值；

(2)若;l=T，求平面48E与平面PCO的夹角的余弦值.

21.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=—3aex+2a2x.

(1)讨论函数/(%)的单调性；

(2)若函数有且仅有3个零点，求实数a的取值范围.

22.(本小题12.0分)

如图，已知点7;(3,—七)和点72(—5,—71)在双曲线C：与一4=l(a>0,b>0)上，双曲线

ab

C的左顶点为4，过点〃。2,0)且不与X轴重合的直线,与双曲线。交于p,Q两点，直线AP,AQ

与圆0：/+丫2=@2分别交于M,N两点.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设直线4P,4Q的斜率分别为七，k2,求自购的值；

(3)证明：直线MN过定点.

答案和解析

I.【答案】A

【解析】解：集合4={x|2x23-x}={x|x21},B-[x\y-2Vx_2]={x|x>2}>

则AUB={x\x>1],所以CR(4UB)={x|x<1]=(—oo,1).

故选：A.

分别求出集合4和B,再求出力UB,由此能求出CR(4UB).

本题主要考查不等式的解法，集合的并集和补集运算，考查运算求解能力，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：z=-1-i(l-i)=2i-(i-i2)=2i-i-1=-1+i,

则|z|=J(_1)2+#=^2.

故选:B.

先对z化简，再结合复数模公式，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

3.【答案】D

【解析1解：根据题意，f(x)是R上的奇函数，则/(%)恒过原点，

将的图象向左平移1个单位，向下平移2个单位，可得函数g(x)=/。+1)-2的图象,

则函数g(x)=f(x+1)-2的图象恒过点(一1,-2).

故选：D.

根据题意，由奇函数的性质可得f(x)恒过原点，由函数图象平移的规律分析可得答案.

本题考查函数的奇偶性和对称性，涉及函数图象的平移变换，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：由频率分布直方图可知，(a+0.015+0.025+0.035+a+0.005)x10=1,

解得a=0.01,

v0.1+0.15=0.25<0.4,0.1+0.15+0.25=0.5>0.4,

・•・第40百分位数落在区间[60,70)内，设其为小，

则0.25+(m-60)x0.025=0.4,

解得m=66,

即第40百分位数估计为66.

故选：c.

先根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1求出a的值，再利用百分位数的定义求解.

本题主要考查了频率分布直方图的性质，考查了百分位数的计算，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：由题可得：AF^^OC,AE=^(OD-OA)=^0D-^OA=^OD+^0C,

所以前=公-荏=|次—6前+;元)=而一2彷，

因为前=xOC+yOD.

所以&二1

=_1,

一~2

所以x-2y=l-2x(-》=2.

故选：B.

由平面向量的线性运算前=次-：而，结合题意及平面向量基本定理可求得x,y的值，从而可

求x-2y的值.

本题考查平面向量的线性运算和平面向量基本定理，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：设圆心C的坐标为(a,3a),

由|CA|=|CB|,得J(a—1)2+(3a—1尸=(a-3)2+(3a-3)2.

解得a=1,.,.圆心(1,3),半径r=2,

.•.圆C的标准方程为(x-I)2+(y-3)2=4,

令x=0,贝ijl+(y—3/=4,解得y=V3+3或y=—+3,

|PQ|=2A/-3.

故选：C.

设圆心坐标C为(a,3a),由|C4|=|CB|列式求得a,进而可求|PQ|.

本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题.

7.【答案】D

【解析】解：由题意可得当x=瑞时，函数fQ)取得最大值，

且函数周期7=—>^—0,则七^—^=2kn+1，kEZ,且3<警，解得3=gk+2,kEZ,

o)6123255

又3>0,则3=2,

所以/'(x)=sin(2x所以g(x)=sin[2(x+R)-§=sin(2x+2(p一引为偶函数,

则2q一(=2+k匹kez,解得9=居+:kez,又0＜丁＜今

所以0=浮

故选：D.

由题意可得当％=招时，函数取得最大值，且函数周期7=穿2葛-0,根据正弦函数的性质

即可求出3的值，然后根据图象变换求出g(x)的关系式,再根据三角函数的奇偶性即可求出3的值.

本题考查了三角函数的图象变换，涉及到函数的奇偶性，考查了学生的运算转化能力，属于中档

题.

8.【答案】C

【解析】解：设直线BQ的斜率为k,则直线BP的斜率为4k,

又易知APIBP,.•.直线4P的斜率为一上，

即直线4Q的斜率为-三,

设Q(m,7i),则%++=1,二声=,(a2—巾2),

又4(—Q,0),B(Q,0),

n_n2_b2

X.%=品m-arn7-a2a2

小b2

2

,,,-b-=一i,

a24

二椭圆c的离心率为;=J1-^=J1-1=£3.

故选：c.

设直线BQ的斜率为k,则直线BP的斜率为4k,从而可得直线4P的斜率为-4，即直线4Q的斜率

为-吃，再根据椭圆的几何性质易得姮/卜神=_《，从而建立方程，最后再化归转化，即可求

解.

本题考查椭圆的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题.

9.【答案】AC

【解析】解：。3=%—4，

则2d=—4,解得d=—2,故A正确;

S7=154,

则7(即;。7)=]54,即7a4=154,解得=22,

故％=—3d=28,故B错误；

an=a1+(n-1)Xd=28+(n-1)x(—2)———2n+30,

令一320=—2n+30,解得n=175,

故320是数列｛册｝中的项，故C正确；

a14=2,a15=0,a16<0,d=­2<0,

故土取得最大值时，n=14或15,故。错误.

故选：AC.

根据已知条件，结合等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，依次求出首项与公差，即可

求出其通项公式，即可依次判断.

本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，属于基础题.

10.【答案】ABD

【解析】解：由题意可得上底面半径为n=1,下底面圆半径为上=2,母线，=2,

则圆台的侧面积为S=兀(6+r2)-Z=TT(1+2)x2=6n,故A正确；

作圆台的轴截面如图所示，作CM,4B,DN1AB,

则直线AC与下底面所成角为NC4B,且CD=MN=2,

则力M=BN=1,且4C=2,

贝UCOSNSB=怨=；,二"AB=*故8正确；

AC23

22

・・,上底面圆的面积Si=7T*=7T,S2=Tivl-4TT,圆台的高九=CM=V2-l=\/~39

则圆台的体积为V=；(S]+S?+JSI•Sz)/i=g(7T+4TT+Vn-4TT)X3=V兀，故C错误;

取AB中点0,连接0D,OE,DE,由E为弧4B的中点，可得0E1AB,

过点D,作DH14B,连接E/7,

则。H=^0B=1,且04=CD=2,OA//CD,

则四边形49DC为平行四边形，.•.AC〃OD,

••・异面直线AC和DE所成角NODE即为0D与DE所成角，

DH=h=>J~3,EH=VOE2+OH2=V22+I2=<5,

DE=VDH2+EH2=V3+5=2c，

在^ODE中，OD=DE=2,DE=2V-2»

ODE为直角三角形，则NODE=%故力正确.

故选：ABD.

由圆台的侧面积公式以及体积公式可判断力C；由线面角的定义可判断B；由异面直线所成角的定

义可判断D.

本题考查圆台侧面积、体积、线面角定义、异面直线所成角定义等基础知识，考查运算求解能力，

是中等题.

11.【答案】AD

【解析】解：已知/(%)=xlnx—ax+1,函数定义域为(0,+8),

可得尸(x)=Inx+1—a,

对于选项A：当a=0时，f'(x)=Inx+1,

当xe(0,；)时，/z(x)<0,f(%)单调递减；

当xe(},+8)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，

所以当x时，函数/(x)取得极小值也是最小值，最小值fd)=l-5故选项A正确；

当a=1时，/'(x)="x,

当x6(0,1)时，f(x)<0,f(x)单调递减;

当x6(1,+8)时，f(x)>0,f(x)单调递增，

所以当X=1时，函数/(X)取得极小值,

则％=1为极小值点，故选项B错误；

对于选项G假设存在实数a使得函数/(x)在定义域上单调递增，

此时广(乃>0在xe(0,+8)上恒成立，

即"x+1-a>。在xe(0,+8)上恒成立，

所以a<(Inx+l)min在％6(0,+8)上恒成立，

易知函数y=)x在xG(0,+8)上单调递增且值域为R,

所以函数y=Inx+1无最小值，

则不存在实数a使得函数/Xx)在定义域上单调递增，故选项C错误；

对于选项。：若/'(X)20恒成立，

即a<Inx+(在％6(0,+8)上恒成立，

不妨设g(x)=Inx+函数定义域为(0,+8),

可得g'(x)=，-壹=9

当x6(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减；

当xe(l,+8)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

所以当X=1时，函数g(x)取得极小值也是最小值，最小值g(l)=1,

所以故选项。正确.

故选：AD.

由题意，对函数f(x)进行求导，将a=0代入导函数中，利用导数得到函数门x)的单调性，进而可

判断选项4；将a=1代入导函数中，利用导数得到函数/(x)的单调性，进而可判断选项8；假设

存在实数a使得函数f(x)在定义域上单调递增，将问题转化成a<(Inx+1)向.在％e(0,+8)上恒

成立，结合函数的值域即可判断选项C；将问题转化成aWInx+：在x6(0,+8)上恒成立，构造

函数g(x)="x+；,对函数g(x)进行求导，利用导数得到函数g(x)的单调性和最值，进而即可求

解.

本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力.

12.【答案】ACD

【解析】解：对于选项4因为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,

易知械,0),准线x=—次

所以焦点尸到准线的距离为d=或-(一切=P=2,故选项A正确:

对于选项8：不妨设P(O,m),

因为抛物线C：y2=4%,焦点F(1,O),

所以线段PF的中点坐标为&表，

当线段PF的中点在抛物线C上时，

可得《)2=4x

解得m=+2y/~2<

则点P的坐标为(0,2/工)或(0,-2C),故选项B错误；

对于选项C：不妨设P(0,m),

此时切线PQ的方程为x-0=t(y-m)(tK0),

联立｛；2：?一陶，消去x并整理得y2—4ty+4tm=0,

易知/=(-4t)2-4x1x(4tm)=0,

因为tH0,

解得t=m,

则切线PQ的斜率kpQ=；=，

又P(0,m),F(l,0),

则直线PF的斜率/尸=^T=-m,

易知kpQ-kpp=-1,

所以PFJ.PQ,故选项。正确；

对于选项D：由选项C可知y2-4ty+4tm=0,

又t=m,

所以(y—2m)2=0,

解得y=2m,

代入切线PQ的方程中，

解得％=m2,

则切点Q(m2,2m),

又P(0,7n),F(l,0),0(0,0),

所以|PQ|=7(Tn2—O)2+(2m—m)2=|m|Vm2+1，|。用=1>

|OP|=|m|,|F)F|=J(0-1)2+(m-OJ=V1+m2,

则|PQ|•\0F\-\0P\■\PF\=|m|Vm2+l-|m|Vm2+1=0-

即|PQ|•|0F|=|0P|•|PF|,故选项。正确.

故选:ACD.

由题意，根据焦点F到准线的距离公式即可判断选项4设P(0,m),结合中点坐标公式以及线段PF

的中点在抛物线C上，列出等式求出点P的坐标，进而可判断选项B；将两直线垂直问题转化成两

直线斜率之积为-1,进而可判断选项C；结合选项C中所得信息得到线段的表达式，再进行验证

即可判断选项£>.

本题考查抛物线的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力.

13.【答案】吉

【解析】解：利用“捆绑法”，男生站在一起，且女生站在一起的概率P=图坐=糕=白.

故答案为:宗

利用“捆绑法”，结合排列组合知识以及古典概型的概率公式求解.

本题主要考查了排列组合知识，考查了古典概型的概率公式，属于基础题.

14.【答案】y=0和x+y=0

【解析】解：设过原点的直线与曲线/(x)=x3-2/切于«,百-2t2),

由/(x)=x3—2x2,得=3x2—4x,

可得过切点的切线方程为y=(3t2-4t)(x-t)+t3-2t2,

把0(0,0)代入，可得一3t3+4t2+t3-2t2=0,

即2t③—2t2=0»解得t-0或t-1.

当t=0时，切线方程为：y=0,

当t=l时，切线方程为x+y=O.

曲线/'(x)=x3-2M过原点的切线方程为y=o和x+y=0.

故答案为：了=0和刀+丫=0.

设出切点坐标，利用导数写出过切点的切线方程，代入原点坐标，求得切点横坐标，即可求得切

线方程.

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，设切点是关键，是中档题.

15•【答案】q

【解析】解：3sin2a=1+cos2a,

••6sinacosa=2cos2a,且cosa丰0,

:.tana=g,

2

c2tana53

•••tan2a—-------丁—-^r=T

1-tan%1-14-

故答案为:

j4.

根据条件得出3sin2a=l+cos2a,然后根据二倍角公式可求出tcma的值，再根据二倍角公式即

可求出tan2a的值.

本题考查了二倍角公式，考查了同角三角函数的基本关系，是中档题.

16.【答案】267r

【解析】解：如图，连接AC、BD,设4CnBD=。，EFnAC=

连接MG,

过点。作。H〃MG交PC于点H,连接BH、DH,

因为E、尸分别为4。、AB的中点，所以EF〃BD,

又EFu平面EFG,BDC平面EFG,所以BO〃平面EFG,

同理可得0H〃平面EFG,

因为。HCBD=。，OH,BOu平面BOH,

所以平面BDH〃平面EFG,

又BHu平面BDH,所以BH〃平面EFG,

因为E、尸分别为4）、AB的中点，

则M为4。的中点，又。为4C的中点，

1

可以MO4-

所以穿=,，又OH//MG,所以黑=器另,

(✓U/(zGriC/

所以G"=：GC,又G为PC的中点，

所以PH=PG+GH=1PC+|GC=|PC+|X|PC=|PC,

则HC=PC-PH=：PC,又PC=3,所以HC=1,

由底面ABCD为矩形，PC,平面4BCD,点〃在棱PC上可知,

三棱锥H-ABC的外接球即为四棱锥H-ABCC的外接球，

将四棱锥H-力BCD补成长方体，可得外接球半径R满足2R=V42+32+12=E，

所以三棱锥"-4BD的外接球的表面积S=4兀/?2=47rx(手下=267r.

故答案为：267r.

连接AC、BO,^.ACnBD=0,EFAC=M,连接MG,过点。作OH〃MG交PC于点H,连接BH、

DH,即可证明平面BDH〃平面EFG,从而得到平面EFG,再根据线段平行得到线段的关系,

得出HC=1,再利用补形法即可得出外接圆半径，求出外接圆表面积.

本题考查直线与平面平行的判定，考查棱锥的外接球等知识，属于中档题.

17.【答案】解:(1)因为(Q-C)(Q+c)sinC=c(b-c)sinB,

所以由正弦定理可得(a-c)(a+c)c=bc(b-c),整理可得b?+c2-a2=be,

因为4e(O,TT),

所以

(2)因为力=^,△ABC的面积为=ibesinA=—be，

JL4

所以be=4,

又sinBsinC=p-Ar=

4sinAsinBsine

所以_"一=(，-)2,g|j|=(善)2,

nsinBsinC^sinAJ14胃

解得a=2V3-

【解析】(1)由正弦定理化简已知等式可得炉+c2-a2=bc,利用余弦定理可求cos4=；,结合

Ae(0,7T),可求4的值；

(2)由题意利用三角形的面积公式可求be=4,进而利用正弦定理即可求解a的值.

本题考查了正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和

转化思想，属于基础题.

18.【答案】解：(1)设等比数列｛厮｝的公比为q,%=2,S3=3a2+2,

可得2+2q+2q2=6q+2,解得q=2,

n

则an=2;

n

(2)由%=2log2CLn_1=2n-1,an=2f

可得数列｛%｝的前50项包括｛an｝中的前44项与也｝中的前6项,

所以数列｛%｝的前50项的和为工x44x(1+87)+2(1-2，)=2062.

21—2

【解析】(1)由等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到所求；

(2)首先推得数列｛crt｝的前50项包括｛an｝中的前44项与｛%｝中的前6项，再由等差数列和等比数列的

求和公式，计算可得所求和.

本题考查等差数列和等比数列的通项公式与求和公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

19.【答案】解：(1)由平均数与方差的计算公式分别得：

〃=击x(10x1.1+25x1.3+30x1.5+25x1.7+10x1.9)=1.5,

尸=击x［10x(1.1-1.5)2+25x(1.3-1.5)2+30x(1.5-1.5)2+25x(1.7-1.5)2+10x

(1.9-1.5)2］=0.052,

故〃=1.5,a2=0.052.

(2)设f表示零件直径,则。〜N(1.5,0.2282),

P(1.5-0.228<f<1.5+0.228)=P(〃-cWfW〃+(r)“0.6827,

由对称性得，2P(1.5WfS1.728)=0.6827,即P(1.5SfS1.728)=0.34135,

同理，P(1.5-2x0.228<^<1.5+2x0.228)=P(/z-2a<f</z+2a)*0.9545,

2P(1.044<f<1.5)=0.9545,即P(1.044<f<1.5)=0.47725,

P(1.044<f<1.728)=P(1.5<f<1.728)+P(1.044<f<1.5)=0.34135+0.47725=

0.8186,

故这批零件直径在［1.044,1.728］的概率为0.8186,

(3)由(2)知,PQ.044<f<1.5)=0.8186,

所以在这2000个零件中，零件的直径在［1.044,1.728］的有2000x0.8186=1637个.

【解析】(1)根据平均数与方差的公式即可求解；

(2)根据正态分布的性质，结合正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解；

(3)根据区间［1.044,1.728］上的概率计算即可.

本题考查正态分布的概率，考查3。原则的应用，是基础题.

20.【答案】解：取48的中点0,连接P4,过点。作力。的平行线，Oy,

因为P4=PB,

X

因为平面PAB_L平面4BCD,平面H4BC平面4BCD=AB,POu平面P4B,

所以P01平面ABC。，

以。为原点，OB,OG,0P所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系:

所以4(-1,0,0),6(1,0,0).C(l,l,0),。(一P(0,0,l)，

因为方=4而(0<A<1).

所以(%E，YE，ZE-1)=4(-1,7^,-1)，

所以=—A,yE=V_3A,ZE=—A+1,

所以E(-A,V3A,—A+1)，

(1)CE=(-A-1,<3A-1,-A+1)，

根据题意可得面P4B的法向量就=(0,1,0).

因为CE〃平面P4B,

所以在BC=(-A-1,V~3A-1,-A+1)-(0,1,0)=-1=0，

解得/=?.

(2)当4="时,由上可得E(-2,[3,^),

南=(2,0,0),荏=(：,?;),

设平面ABE的法向量元=(%,y,z),

(AB-n=2%=0

所以-1,1二

[AE-n=-%+—y+-z=0

令y=1,得z=—V"3，%=0,

所以云=(0,1,-C)，

PC=(1,1,-1).RD=

设平面PCD的法向量沅=(a,b,c),

^^P£.m=a+b-c_=0,

(PD-m=—a+v3fe—c=0

令Q=1,则匕=「+1,c=2+C，

所以记=(l,/3+1,24-，3),

-mn_(1,口+1,2+口)(0,1,一口)_3+<3

所以cos(记=丽=不高蒜编可常石=一、.

【解析】取4B的中点0,连接P4过点。作0G〃4D的平行线，根据题意可得P。148,由平面P4B1

平面ABCD,结合面面垂直的性质定理可得P。，平面4BCD,以。为原点，OB,OG,0P所在直线

分别为x轴,y轴,z轴，建立空间直角坐标系，由而=2PD(0<A<1)，可得E(-尢1工,一71+1),

(1)CE=(-A—1,732—1,—A+1)»

根据题意可得面P4B的法向量就=(0,1,0),由CE〃平面PAB,得谓.前=0，解得;I.

(2)当；I=:时，由上可得求出平面4BE的法向量元=(x,y,z),平面PCD的法向量访=

(a,b,c),计算cosV沆，n>,即可得出答案.

本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.

21.【答案】解：⑴已知f(x)E/%—3a〃+2a2%,函数定义域为R,

可得f'(%)=e2x—3aex+2a2=(ex—a)(ex—2a),

若此时/'(%)>0,/(%)在R上单调递增;

若Q>0,

当XV伉。时,f(x)>0,/(%)单调递增;

当"Q<%2a时，/'(%)V0,/(%)单调递减;

当%〉》2Q时，f(x)>0,f(%)单调递增,

综上，当a40时，函数f(x)在R上单调递增;

当a>0时，函数f(x)在("Q,仇2a)上单调递减，在(一8,"a)和(仇2。,+8)上单调递增;

(2)若函数/(吗有且仅有3个零点,

由(1)知只有当Q>0时符合题意,

易知当x=易a时,函数f(%)取得极大值,当％="2Q时,函数/(%)取得极小值,

/(/na)>0

此时

/(伍2Q)<0'

解得el<a<e2j

易知当XT-oo时，<3a.

即/Q)<0；

x

当XT+8时，|e>3a,

即/(x)>0；

所以函数/(x)的三个零点分别在区间(-8,Ina),(Ina,仇2a)和(，n2a,+8)上，

故实数a的取值范围为(力,e2).

【解析】⑴由题意，对函数f(x)进行求导，分别讨论当a<0和a>0这两种情况，进而即可求解;

(2)结合(1)中所得结论以及零点存在性定理列出不等式进行求解即可.

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力.

但_2=1

22.【答案】解：⑴由题意可得自51'解得。2=4,b2=4,

所以双曲线c的标准方程为弓—/=I；