2022-2023学年广东省清远市马安中学高二数学文摸底试卷含解析

2022-2023学年广东省清远市马安中学高二数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A2.离心率为，且过点（2,0）的焦点在y轴上的椭圆的标准方程是（）A．

B．

C．

D．参考答案：D已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆过点，则，又由其离心率为，即，则，，即，故选D.

3.命题p：“?x∈R，x2+2＜0”，则￢p为（）A．?x∈R，x2+2≥0 B．?x?R，x2+2＜0 C．?x∈R，x2+2≥0 D．?x∈R，x2+2＞0参考答案：A【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即?x∈R，x2+2≥0，故选：A4.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线上，则抛物线方程为(

)A．y2=8x B．y2=4x C．y2=2x D．y2=±8x参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线上，故抛物线的顶点即为双曲线的实轴顶点，结合双曲线的性质，和抛物线的性质可得答案．【解答】解：∵抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线上，故抛物线的顶点即为双曲线的实轴顶点，由双曲线的实轴顶点为（±2，0），太抛物线方程为y2=±8x，故选：D【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，双曲线的简单性质，难度不大，属于基础题．5.某学校有教师150人，其中高级教师15人，中级教师45人，初级教师90人。现按职称分层抽样选出30名教师参加教工代表大会，则选出的高、中、初级教师的人数分别为（

） A、3，9，18

B、5，10，15

C、3，10，17

D、5，9，16参考答案：A6.设（

）.

C.

D.参考答案：D略7.直线被椭圆截得的弦长是(

)A. B. C. D.参考答案：A【分析】直线y＝x+1代入，得出关于x的二次方程，求出交点坐标，即可求出弦长．【详解】将直线y＝x+1代入，可得，即5x2+8x﹣4＝0，∴x1＝﹣2，x2，∴y1＝﹣1，y2，∴直线y＝x+1被椭圆x2+4y2＝8截得的弦长为故选：A．【点睛】本题查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，属于基础题．8.如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】空间向量的基本定理及其意义．【分析】利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出．【解答】解：∵====故选A9.如果函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是A

B

C

D参考答案：C10.已知斜三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若直线：被圆：截得的弦长为4，则的值为

．参考答案：略12.（理科学生做）现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有

种不同的选派方案.（用数字作答）参考答案：5513.已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a=．参考答案：1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．【解答】解：函数f（x）=ax3+x+1的导数为：f′（x）=3ax2+1，f′（1）=3a+1，而f（1）=a+2，切线方程为：y﹣a﹣2=（3a+1）（x﹣1），因为切线方程经过（2，7），所以7﹣a﹣2=（3a+1）（2﹣1），解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．14.若定义域为R的函数满足，则不等式的解集为______（结果用区间表示）．参考答案：【分析】由题目要求解的不等式是，由此想到构造函数，求导后结合，可知函数是实数集上的增函数，然后利用函数的单调性可求得不等式的解集．【详解】令，则，因为，所以，所以，函数为上的增函数，由，得：，即，因为函数为上的增函数，所以．所以不等式的解集是．故答案为．【点睛】本题考查了导数的运算法则，考查了不等式的解法，解答此题的关键是联系要求解的不等式，构造出函数，然后利用导数的运算法则判断出其导函数的符号，得到该函数的单调性．此题是常考题型．15.已知,(两两互相垂直)，那么=

。参考答案：-6516.圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是

参考答案：1817.若椭圆+=1（a＞b＞0）的中心，右焦点，右顶点及右准线与x轴的交点依次为O，F，G，H，则||的最大值为．参考答案：考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的标准方程，结合焦点坐标和准线方程的公式，可得|FG|=a﹣c，|OH|=，所以||==（﹣）2+，根据∈（0，1），可求出结论．解答：解：∵椭圆方程为+=1（a＞b＞0），∴椭圆的右焦点是F（c，0），右顶点是G（a，0），右准线方程为x=，其中c2=a2﹣b2．由此可得H（，0），|FG|=a﹣c，|OH|=，∴||==（﹣）2+，∵∈（0，1），∴当且仅当=时，||的最大值为．故答案为．点评：本题根据椭圆的焦点坐标和准线方程，求线段比值的最大值，着重考查了椭圆的基本概念的简单性质，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知是函数的一个极值点.(1)求函数的解析式;(2)若曲线与直线有三个交点,求实数的取值范围.参考答案：(1)得(2)曲线y=f(x)与直线y=2x+m有三个交点即有三个根即有三个零点由得x=0或x=3由g′(x)>0得x<0或x>3,由g′(x)<0得0<x<3∴函数g(x)在(-∞,0)上为增函数,在(0,3)上为减函数,在(3,+∞)上为增函数,要使g(x)有三个零点,只需解得:19.已知矩形ABCD中，，BC=1．以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy．（1）求以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的标准方程；（2）过点P（0，2）的直线l与（1）中的椭圆交于M，N两点，是否存在直线l，使得以线段MN为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】椭圆的标准方程；直线的一般式方程；直线与圆相交的性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由题意可得点A，B，C的坐标，设出椭圆的标准方程，根据题意知2a=AC+BC，求得a，进而根据b，a和c的关系求得b，则椭圆的方程可得．（2）设直线l的方程为y=kx+2．与椭圆方程联立，根据判别式大于0求得k的范围，设M，N两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．根据韦达定理求得x1+x2和x1x2，进而根据若以MN为直径的圆恰好过原点，推断则，得知x1x2+y1y2=0，根据x1x2求得y1y2代入即可求得k，最后检验看是否符合题意．【解答】解：（1）由题意可得点A，B，C的坐标分别为．设椭圆的标准方程是．则2a=AC+BC，即，所以a=2．所以b2=a2﹣c2=4﹣2=2．所以椭圆的标准方程是．（2）由题意知，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y=kx+2．由得（1+2k2）x2+8kx+4=0．因为M，N在椭圆上，所以△=64k2﹣16（1+2k2）＞0．设M，N两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．则，若以MN为直径的圆恰好过原点，则，所以x1x2+y1y2=0，所以，x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0，所以，，即，得k2=2，经验证，此时△=48＞0．所以直线l的方程为，或．即所求直线存在，其方程为．20.已知曲线C上的任意一点到点F（1，0）的距离与到直线x=﹣1的距离相等，直线l过点A（1，1），且与C交于P，Q两点；（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若A为PQ的中点，求三角形OPQ的面积．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）利用曲线C上任意一点到点F（1，0）的距离与到直线x=﹣1的距离相等，可知曲线C的轨迹是以F（1，0）为焦点的抛物线，从而可求曲线C的方程；（Ⅱ）求出直线l的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，即可求三角形OPQ的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C上任意一点到点F（1，0）的距离与到直线x=﹣1的距离相等．∴曲线C的轨迹是以F（1，0）为焦点的抛物线∴曲线C的方程为y2=4x．…（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=2因为y12=4x1，y22=4x2，所以作差，可得直线l斜率为2，…（6分）所以直线方程为y﹣1=2（x﹣1），即y=2x﹣1．此时直线l与抛物线相交于两点．…（7分）设T为l与x的交点，则|OT|=，…（8分）由y=2x﹣1与y2=4x，消去x得y2﹣2y﹣2=0，…（9分）所以y1+y2=2，y1y2=﹣2，…（10分）所以三角形OPQ的面积为S=|OT||y1﹣y2|=．…（12分）【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是正确运用抛物线的定义，正确运用韦达定理．21.已知函数f(x)＝x2＋lnx.(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在g(x)＝x3＋x2的下方．

参考答案：(1)∵f(x)＝x2＋lnx，∴f′(x)＝2x＋.

∵x＞1时，f′(x)＞0，故f(x)在[1，e]上是增函数，

∴f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e2.略22.已知曲线C1：，（t为参数），曲线C2：．（1）化C1为普通方程，C2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x﹣2y﹣7=0距离的最小值．参考答案：【考点】椭圆的参数方程；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用参数方程与普通方程的转化方法，可得相应方程及表示的曲线；（2）求出M的参数坐标，M到C3的距离，利用三角函数知识即可求解．【解答】解：（1）由C1：，消去t得到曲线C1：（x+4）2+（y﹣3）2=1，C1表示圆心是（