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文档简介
2024年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试数学1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分,共4页.满分150分;考试时间:120分钟.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上.3.用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上,用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上.4.考试结束,将答题卡和答题纸一并交回.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.从某班所有同学中随机抽取10人,获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下:4,4,4,7,7,8,8,9,9,10,这组数据的众数是()A.9 B.8 C.7 D.42.已知向量,满足,,则的值为()A.4 B.3 C.2 D.03.已知,,,则()A B. C. D.4.已知椭圆,A,B为G的短轴端点,P为G上异于A,B的一点,则直线,的斜率之积为()A. B. C. D.5.标准对数视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形,每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的,若视力4.0的视标边长约为10cm,则视力4.9的视标边长约为()A. B. C. D.6.内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,的面积为,则()A. B.4 C.2 D.7.设,为复数,则下列命题正确是()A.若,则B若,则且C若,则D.若,且,则在复平面对应的点在一条直线上8.已知为圆上动点,直线和直线(,)的交点为,则的最大值是()A. B. C. D.二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错得0分.)9.若展开式中常数项为28,则实数m的值可能为()A. B.1 C.2 D.310.已知在区间上单调递增,则的取值可能在()A. B. C. D.11.已知定义域为R的函数,满足,且,,则()A. B.图像关于对称C. D.第Ⅱ卷(非选择题,共92分)三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.)12.已知集合,.若,则实数的取值集合为______.13.《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语,指的是一段类似隧道形状的几何体,如图,羡除中,底面是正方形,平面,和均为等边三角形,且.则这个几何体的外接球的体积为______.14.某机器有四种核心部件A,B,C,D,四个部件至少有三个正常工作时,机器才能正常运行,四个核心部件能够正常工作的概率满足为,,且各部件是否正常工作相互独立,已知,设为在次实验中成功运行的次数,若,则至少需要进行的试验次数为______.四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.2024年初,OpenAI公司发布了新的文生视频大模型:“Sora”,Sora模型可以生成最长60秒的高清视频.Sora一经发布在全世界又一次掀起了人工智能的热潮.为了培养具有创新潜质的学生,某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营.选拔考试分为“Python编程语言”和“数据结构算法”两个科目,考生两个科目考试的顺序自选,若第一科考试不合格,则淘汰;若第一科考试合格则进行第二科考试,无论第二科是否合格,考试都结束.“Python编程语言”考试合格得4分,否则得0分;“数据结构算法”考试合格得6分,否则得0分.已知甲同学参加“Python编程语言”考试合格的概率为0.8,参加“数据结构算法”考试合格的概率为0.7.(1)若甲同学先进行“Python编程语言”考试,记为甲同学的累计得分,求的分布列;(2)为使累计得分的期望最大,甲同学应选择先回答哪类问题?并说明理由.16.如图,为圆锥顶点,是圆锥底面圆的圆心,,是长度为的底面圆的两条直径,,且,为母线上一点.(1)求证:当为中点时,平面;(2)若,二面角的余弦值为,试确定P点的位置.17.已知函数在处的切线与直线平行.(1)求的单调区间;(2)当时,恒有成立,求k的取值范围.18.已知双曲线G的中心为坐标原点,离心率为,左、右顶点分别为,.(1)求的方程;(2)过右焦点的直线l与G的右支交于M,N两点,若直线与交于点.(i)证明:点在定直线上:(ii)若直线与交于点,求证:.19.大数据环境下数据量积累巨大并且结构复杂,要想分析出海量数据所蕴含的价值,数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位,合适的算法就会起到事半功倍的效果.现有一个“数据漏斗”软件,其功能为;通过操作删去一个无穷非减正整数数列中除以M余数为N的项,并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列.设数列的通项公式,,通过“数据漏斗”软件对数列进行操作后得到,设前n项和为.(1)求;(2)是否存在不同的实数,使得,,成等差数列?若存在,求出所有的;若不存在,说明理由;(3)若,,对数列进行操作得到,将数列中下标除以4余数为0,1的项删掉,剩下的项按从小到大排列后得到,再将的每一项都加上自身项数,最终得到,证明:每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和.2024年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试数学1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分,共4页.满分150分;考试时间:120分钟.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上.3.用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上,用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上.4.考试结束,将答题卡和答题纸一并交回.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.从某班所有同学中随机抽取10人,获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下:4,4,4,7,7,8,8,9,9,10,这组数据的众数是()A.9 B.8 C.7 D.4【答案】D【解析】【分析】借助众数定义即可得.【详解】由数据可知,其中服务次数为4的个数最多,故众数为4.故选:D.2.已知向量,满足,,则的值为()A4 B.3 C.2 D.0【答案】C【解析】【分析】借助向量数量积的运算计算即可得.【详解】.故选:C.3.已知,,,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】借助不等式的性质与基本不等式逐项判断即可得.【详解】对A:由,故,即,故A错误;对B:由,,则,且,当且仅当时,等号成立,故,故B正确;对C:由,故,即有,又由B可得,即,故C错误;对D:由,故,即,故D错误.故选:B.4.已知椭圆,A,B为G的短轴端点,P为G上异于A,B的一点,则直线,的斜率之积为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设,可得,代入中即可得.【详解】设,则有,即有,由椭圆方程可得其短轴端点坐标分别为、,则故选:C.5.标准对数视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形,每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的,若视力4.0的视标边长约为10cm,则视力4.9的视标边长约为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合指数幂的运算法则计算即可得.【详解】由题意可得,视力4.9的视标边长约为:cm.故选:A.6.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,的面积为,则()A. B.4 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】借助三角形面积公式及余弦定理计算即可得.【详解】,由,故,又,故,,由余弦定理可得:,即.故选:C.7.设,为复数,则下列命题正确的是()A.若,则B若,则且C.若,则D.若,且,则在复平面对应的点在一条直线上【答案】D【解析】【分析】设出、,对A,借助复数性质计算即可得;对B、C,举出反例即可得;对D:设,由题意可计算出、之间的关系,即可得解.【详解】设、,、、、,对A:若,则有,即且,故A错误;对B:取、,亦有,故B错误;对C:取,,则有,,故C错误;对D:设,、,若,则有,即有,整理得,由,故与不能同时成立,故在复平面对应的点在直线上,故D正确.故选:D.8.已知为圆上动点,直线和直线(,)的交点为,则的最大值是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由、可得,且过定点,过定点,则可得点在以为直径的圆上,则的最大值为.【详解】由、,有,故,对有,故过定点,对有,故过定点,则中点为,即,,则,故点在以为直径的圆上,该圆圆心为,半径为,又在原,该圆圆心为,半径为,又,则.故选:A.【点睛】关键点点睛:本题关键点在于由直线、的方程得到,且过定点,过定点,从而确定点的轨迹为以为直径的圆,进而将问题转化为圆上两点的距离最值问题.二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错得0分.)9.若展开式中常数项为28,则实数m的值可能为()A. B.1 C.2 D.3【答案】AB【解析】【分析】求出展开式的通项公式,利用的幂指数为0求出值.【详解】二项式展开式的通项公式,由,解得,则,于是,解得,所以实数m的值为或.故选:AB10.已知在区间上单调递增,则的取值可能在()A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】借助辅助角公式可将函数化为正弦型函数,借助正弦型函数的单调性即可得的范围.【详解】,当,由,则,则有,,解得,,即,,有,,即,即或,当时,有,时,有,故的取值可能在或.故选:AC.11.已知定义域为R的函数,满足,且,,则()A. B.图像关于对称C. D.【答案】ACD【解析】【分析】对A:借助赋值法,令,计算即可得;对B:借助赋值法,令,再令令,可得,故不可能关于对称,对C:借助赋值法,令,再令,再,计算即可得;对D:由C选项中所得可推导出函数的周期性,计算出一个周期内所有的函数值即可得.【详解】对A:令,,则有,即,故A正确;对B:令,则有,即有,故或,又,故,令,则有,即,故不可能关于对称,故B错误;对C:令,则有,即,故关于对称,令,则有,即,即,即,由定义域为,故为偶函数,令,则有,即,即,又,,故,即,故C正确;对D:由,,则有,即,则,即,即有,故周期为,由,,故,,又,,故,故D正确.故选:ACD.【点睛】结论点睛:解决抽象函数的求值、性质判断等问题,常见结论:(1)关于对称:若函数关于直线轴对称,则,若函数关于点中心对称,则,反之也成立;(2)关于周期:若,或,或,可知函数的周期为.第Ⅱ卷(非选择题,共92分)三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.)12.已知集合,.若,则实数的取值集合为______.【答案】【解析】【分析】根据,得到集合的元素都是集合的元素,即可求得的值.【详解】由题意,所以或,则或,所以实数的取值集合为.故答案为:.13.《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语,指的是一段类似隧道形状的几何体,如图,羡除中,底面是正方形,平面,和均为等边三角形,且.则这个几何体的外接球的体积为______.【答案】【解析】【分析】结合题意,找出垂直底面且过底面外接圆圆心的直线,则球心必在该直线上,设出球心,借助球心到各顶点距离相等,结合勾股定理计算即可得半径,运用球的体积公式即可得球的体积.【详解】连接,分别取、、中点、、,连接、、,由底面是正方形,平面,和均为等边三角形,故,底面,又,故,则,故,由为底面正方形中心,,故可在直线上取一点,使为羡除外接球球心,连接、、,设半径为,,则,由底面,平面,故,又,、平面,故平面,又平面,故,故,又,故有,即,又,故有,解得,故,即,则这个几何体的外接球的体积为.故答案为:.【点睛】关键点点睛:本题考查几何体外接球问题,关键在于借助题目条件,找出垂直底面且过底面外接圆圆心的直线,则该几何体的外接球球心必在该直线上,设出该点位置,从而可结合勾股定理计算出该球半径,即可得解.14.某机器有四种核心部件A,B,C,D,四个部件至少有三个正常工作时,机器才能正常运行,四个核心部件能够正常工作的概率满足为,,且各部件是否正常工作相互独立,已知,设为在次实验中成功运行的次数,若,则至少需要进行的试验次数为______.【答案】【解析】【分析】设,则,借助相互独立事件的乘法公式可表示出一次实验中成功运行的概率,则当该概率取的最大值时,需要最少的试验次数,借助导数研究单调性即可得该概率的最大值,结合二项分布期望公式即可得解.【详解】设,则,设一次实验中成功运行的概率为,则,令,,则,当时,,当时,,则在上单调递减,在上单调递增,故,故,由服从二项分布,故有,则.故答案为:.【点睛】关键点点睛:本题关键点在于借助导数求取一次实验中成功运行的概率的最大值,结合二项分布期望公式得到最少需要进行的试验次数.四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.2024年初,OpenAI公司发布了新文生视频大模型:“Sora”,Sora模型可以生成最长60秒的高清视频.Sora一经发布在全世界又一次掀起了人工智能的热潮.为了培养具有创新潜质的学生,某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营.选拔考试分为“Python编程语言”和“数据结构算法”两个科目,考生两个科目考试的顺序自选,若第一科考试不合格,则淘汰;若第一科考试合格则进行第二科考试,无论第二科是否合格,考试都结束.“Python编程语言”考试合格得4分,否则得0分;“数据结构算法”考试合格得6分,否则得0分.已知甲同学参加“Python编程语言”考试合格的概率为0.8,参加“数据结构算法”考试合格的概率为0.7.(1)若甲同学先进行“Python编程语言”考试,记为甲同学的累计得分,求的分布列;(2)为使累计得分的期望最大,甲同学应选择先回答哪类问题?并说明理由.【答案】(1)分布列见详解(2)先回答“Python编程语言”考试这类问题,理由见详解.【解析】【分析】(1)由已知可得的所有可能取值,分别计算概率即可求解;(2)设甲同学先进行“数据结构算法”考试,记为甲同学的累计得分,求解的分布列,分别计算,的期望,比较大小,即可求解.【小问1详解】由题意的所有可能取值为,,,所以,,,所以的分布列为【小问2详解】甲同学选择先回答“Python编程语言”考试这类问题,理由如下:由(1)可知,甲同学先进行“数据结构算法”考试,记为甲同学的累计得分,则的所有可能取值为,,,,,,所以的分布列为,所以,所以甲同学选择先回答“Python编程语言”考试这类问题.16.如图,为圆锥顶点,是圆锥底面圆的圆心,,是长度为的底面圆的两条直径,,且,为母线上一点.(1)求证:当为中点时,平面;(2)若,二面角的余弦值为,试确定P点的位置.【答案】(1)证明见详解(2)是线段靠近点的四等分点【解析】【分析】(1)根据线面平行的判定定理即可证明;(2)建立空间直角坐标系,设,,求解平面和平面的法向量,根据二面角的余弦值为求,即可得P点的位置.【小问1详解】连接,因为,分别为,的中点,所以为的中位线,所以,又平面,平面,所以平面;【小问2详解】如图:过点作交圆与,以为坐标原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,则,,,,,所以,,设,,则,所以,设平面的法向量为,则,所以,令,则,,即,易知平面的一个法向量为,则,解得(负值舍去),所以是线段靠近点的四等分点.17.已知函数在处的切线与直线平行.(1)求的单调区间;(2)当时,恒有成立,求k的取值范围.【答案】(1)单调递增区间为,单调递减区间为(2)【解析】【分析】(1)借助导数的几何意义计算可得,借助导数的正负即可得函数的单调性;(2)通过变形,可将原问题转化为在上,恒成立,从而构造函数,借助导数求取在上的最小值即可得.【小问1详解】由已知可得的定义域为,,所以,即,所以,,令,得,令,得,所以的单调递增区间为,单调递减区间为;【小问2详解】将不等式整理得:,可化为,问题转化为在上,恒成立,即,令,,则,令,则,,所以在单调递减,,即,所以在单调递减,,所以的取值范围是.【点睛】关键点点睛:最后一问关键点在于将原问题通过变形参变分离,转化为在上,恒成立,从而构造对应函数,借助导数求取在上的最小值即可得.18.已知双曲线G的中心为坐标原点,离心率为,左、右顶点分别为,.(1)求的方程;(2)过右焦点的直线l与G的右支交于M,N两点,若直线与交于点.(i)证明:点在定直线上:(ii)若直线与交于点,求证:.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)由点,的坐标可知,结合离心率可得,即可得,即可得双曲线方程;(2)设出,,可表示出直线与的方程,借助联立直线l与G所得韦达定理计算即可得证点在定直线上;由双曲线的对称性可得点亦在该直线上,借助韦达定理,通过计算的值从而得证.【小问1详解】由点,的坐标可知,离心率为,故,所以,所以双曲线方程为;【小问2详解】(ⅰ)设直线为:,联立双曲线得,消去得:,根据题意得:,设,,则,,,,故,直线:,因为在上,所以,直线:,直线:,令,可得,解得,故点在直线上;(ⅱ)由双曲线对称性可知,点也在直线上,设,,点在直线上,所以,点直线上,所以,,所以.【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:(1)
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