辽宁省葫芦岛市高三下学期3月一模试题数学

2024年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试数学1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分；考试时间：120分钟．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上．3．用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上．4．考试结束，将答题卡和答题纸一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.从某班所有同学中随机抽取10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，这组数据的众数是（）A.9 B.8 C.7 D.42.已知向量，满足，，则的值为（）A.4 B.3 C.2 D.03.已知，，，则（）A B. C. D.4.已知椭圆，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线，的斜率之积为（）A. B. C. D.5.标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式．标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的，若视力4.0的视标边长约为10cm，则视力4.9的视标边长约为（）A. B. C. D.6.内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，的面积为，则（）A. B.4 C.2 D.7.设，为复数，则下列命题正确是（）A.若，则B若，则且C若，则D.若，且，则在复平面对应的点在一条直线上8.已知为圆上动点，直线和直线（，）的交点为，则的最大值是（）A. B. C. D.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．）9.若展开式中常数项为28，则实数m的值可能为（）A. B.1 C.2 D.310.已知在区间上单调递增，则的取值可能在（）A. B. C. D.11.已知定义域为R的函数，满足，且，，则（）A. B.图像关于对称C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知集合，．若，则实数的取值集合为______．13.《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除中，底面是正方形，平面，和均为等边三角形，且．则这个几何体的外接球的体积为______．14.某机器有四种核心部件A，B，C，D，四个部件至少有三个正常工作时，机器才能正常运行，四个核心部件能够正常工作的概率满足为，，且各部件是否正常工作相互独立，已知，设为在次实验中成功运行的次数，若，则至少需要进行的试验次数为______．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.2024年初，OpenAI公司发布了新的文生视频大模型：“Sora”，Sora模型可以生成最长60秒的高清视频．Sora一经发布在全世界又一次掀起了人工智能的热潮．为了培养具有创新潜质的学生，某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营．选拔考试分为“Python编程语言”和“数据结构算法”两个科目，考生两个科目考试的顺序自选，若第一科考试不合格，则淘汰；若第一科考试合格则进行第二科考试，无论第二科是否合格，考试都结束．“Python编程语言”考试合格得4分，否则得0分；“数据结构算法”考试合格得6分，否则得0分．已知甲同学参加“Python编程语言”考试合格的概率为0.8，参加“数据结构算法”考试合格的概率为0.7．（1）若甲同学先进行“Python编程语言”考试，记为甲同学的累计得分，求的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，甲同学应选择先回答哪类问题？并说明理由．16.如图，为圆锥顶点，是圆锥底面圆的圆心，，是长度为的底面圆的两条直径，，且，为母线上一点．（1）求证：当为中点时，平面；（2）若，二面角的余弦值为，试确定P点的位置．17.已知函数在处的切线与直线平行．（1）求的单调区间；（2）当时，恒有成立，求k的取值范围．18.已知双曲线G的中心为坐标原点，离心率为，左、右顶点分别为，.（1）求的方程；（2）过右焦点的直线l与G的右支交于M，N两点，若直线与交于点．（i）证明：点在定直线上：（ii）若直线与交于点，求证：．19.大数据环境下数据量积累巨大并且结构复杂，要想分析出海量数据所蕴含的价值，数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位，合适的算法就会起到事半功倍的效果．现有一个“数据漏斗”软件，其功能为；通过操作删去一个无穷非减正整数数列中除以M余数为N的项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列．设数列的通项公式，，通过“数据漏斗”软件对数列进行操作后得到，设前n项和为．（1）求；（2）是否存在不同的实数，使得，，成等差数列？若存在，求出所有的；若不存在，说明理由；（3）若，，对数列进行操作得到，将数列中下标除以4余数为0，1的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到，再将的每一项都加上自身项数，最终得到，证明：每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和．2024年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试数学1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分；考试时间：120分钟．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上．3．用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上．4．考试结束，将答题卡和答题纸一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.从某班所有同学中随机抽取10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，这组数据的众数是（）A.9 B.8 C.7 D.4【答案】D【解析】【分析】借助众数定义即可得.【详解】由数据可知，其中服务次数为4的个数最多，故众数为4.故选：D.2.已知向量，满足，，则的值为（）A4 B.3 C.2 D.0【答案】C【解析】【分析】借助向量数量积的运算计算即可得.【详解】.故选：C.3.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】借助不等式的性质与基本不等式逐项判断即可得.【详解】对A：由，故，即，故A错误；对B：由，，则，且，当且仅当时，等号成立，故，故B正确；对C：由，故，即有，又由B可得，即，故C错误；对D：由，故，即，故D错误.故选：B.4.已知椭圆，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线，的斜率之积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，可得，代入中即可得.【详解】设，则有，即有，由椭圆方程可得其短轴端点坐标分别为、，则故选：C.5.标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式．标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的，若视力4.0的视标边长约为10cm，则视力4.9的视标边长约为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合指数幂的运算法则计算即可得.【详解】由题意可得，视力4.9的视标边长约为：cm.故选：A.6.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，的面积为，则（）A. B.4 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】借助三角形面积公式及余弦定理计算即可得.【详解】，由，故，又，故，，由余弦定理可得：，即.故选：C.7.设，为复数，则下列命题正确的是（）A.若，则B若，则且C.若，则D.若，且，则在复平面对应的点在一条直线上【答案】D【解析】【分析】设出、，对A，借助复数性质计算即可得；对B、C，举出反例即可得；对D：设，由题意可计算出、之间的关系，即可得解.【详解】设、，、、、，对A：若，则有，即且，故A错误；对B：取、，亦有，故B错误；对C：取，，则有，，故C错误；对D：设，、，若，则有，即有，整理得，由，故与不能同时成立，故在复平面对应的点在直线上，故D正确.故选：D.8.已知为圆上动点，直线和直线（，）的交点为，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由、可得，且过定点，过定点，则可得点在以为直径的圆上，则的最大值为.【详解】由、，有，故，对有，故过定点，对有，故过定点，则中点为，即，，则，故点在以为直径的圆上，该圆圆心为，半径为，又在原，该圆圆心为，半径为，又，则.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于由直线、的方程得到，且过定点，过定点，从而确定点的轨迹为以为直径的圆，进而将问题转化为圆上两点的距离最值问题.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．）9.若展开式中常数项为28，则实数m的值可能为（）A. B.1 C.2 D.3【答案】AB【解析】【分析】求出展开式的通项公式，利用的幂指数为0求出值.【详解】二项式展开式的通项公式，由，解得，则，于是，解得，所以实数m的值为或.故选：AB10.已知在区间上单调递增，则的取值可能在（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】借助辅助角公式可将函数化为正弦型函数，借助正弦型函数的单调性即可得的范围.【详解】，当，由，则，则有，，解得，，即，，有，，即，即或，当时，有，时，有，故的取值可能在或.故选：AC.11.已知定义域为R的函数，满足，且，，则（）A. B.图像关于对称C. D.【答案】ACD【解析】【分析】对A：借助赋值法，令，计算即可得；对B：借助赋值法，令，再令令，可得，故不可能关于对称，对C：借助赋值法，令，再令，再，计算即可得；对D：由C选项中所得可推导出函数的周期性，计算出一个周期内所有的函数值即可得.【详解】对A：令，，则有，即，故A正确；对B：令，则有，即有，故或，又，故，令，则有，即，故不可能关于对称，故B错误；对C：令，则有，即，故关于对称，令，则有，即，即，即，由定义域为，故为偶函数，令，则有，即，即，又，，故，即，故C正确；对D：由，，则有，即，则，即，即有，故周期为，由，，故，，又，，故，故D正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知集合，．若，则实数的取值集合为______．【答案】【解析】【分析】根据，得到集合的元素都是集合的元素，即可求得的值.【详解】由题意，所以或，则或，所以实数的取值集合为.故答案为：.13.《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除中，底面是正方形，平面，和均为等边三角形，且．则这个几何体的外接球的体积为______．【答案】【解析】【分析】结合题意，找出垂直底面且过底面外接圆圆心的直线，则球心必在该直线上，设出球心，借助球心到各顶点距离相等，结合勾股定理计算即可得半径，运用球的体积公式即可得球的体积.【详解】连接，分别取、、中点、、，连接、、，由底面是正方形，平面，和均为等边三角形，故，底面，又，故，则，故，由为底面正方形中心，，故可在直线上取一点，使为羡除外接球球心，连接、、，设半径为，，则,由底面，平面，故，又，、平面，故平面，又平面，故，故，又，故有，即，又，故有，解得，故，即，则这个几何体的外接球的体积为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查几何体外接球问题，关键在于借助题目条件，找出垂直底面且过底面外接圆圆心的直线，则该几何体的外接球球心必在该直线上，设出该点位置，从而可结合勾股定理计算出该球半径，即可得解.14.某机器有四种核心部件A，B，C，D，四个部件至少有三个正常工作时，机器才能正常运行，四个核心部件能够正常工作的概率满足为，，且各部件是否正常工作相互独立，已知，设为在次实验中成功运行的次数，若，则至少需要进行的试验次数为______．【答案】【解析】【分析】设，则，借助相互独立事件的乘法公式可表示出一次实验中成功运行的概率，则当该概率取的最大值时，需要最少的试验次数，借助导数研究单调性即可得该概率的最大值，结合二项分布期望公式即可得解.【详解】设，则，设一次实验中成功运行的概率为，则，令，，则，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，故，故，由服从二项分布，故有，则.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助导数求取一次实验中成功运行的概率的最大值，结合二项分布期望公式得到最少需要进行的试验次数.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.2024年初，OpenAI公司发布了新文生视频大模型：“Sora”，Sora模型可以生成最长60秒的高清视频．Sora一经发布在全世界又一次掀起了人工智能的热潮．为了培养具有创新潜质的学生，某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营．选拔考试分为“Python编程语言”和“数据结构算法”两个科目，考生两个科目考试的顺序自选，若第一科考试不合格，则淘汰；若第一科考试合格则进行第二科考试，无论第二科是否合格，考试都结束．“Python编程语言”考试合格得4分，否则得0分；“数据结构算法”考试合格得6分，否则得0分．已知甲同学参加“Python编程语言”考试合格的概率为0.8，参加“数据结构算法”考试合格的概率为0.7．（1）若甲同学先进行“Python编程语言”考试，记为甲同学的累计得分，求的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，甲同学应选择先回答哪类问题？并说明理由．【答案】（1）分布列见详解（2）先回答“Python编程语言”考试这类问题，理由见详解.【解析】【分析】（1）由已知可得的所有可能取值，分别计算概率即可求解；（2）设甲同学先进行“数据结构算法”考试，记为甲同学的累计得分，求解的分布列，分别计算，的期望，比较大小，即可求解.【小问1详解】由题意的所有可能取值为，，，所以，，，所以的分布列为【小问2详解】甲同学选择先回答“Python编程语言”考试这类问题，理由如下：由（1）可知，甲同学先进行“数据结构算法”考试，记为甲同学的累计得分，则的所有可能取值为，，，，，，所以的分布列为，所以，所以甲同学选择先回答“Python编程语言”考试这类问题.16.如图，为圆锥顶点，是圆锥底面圆的圆心，，是长度为的底面圆的两条直径，，且，为母线上一点．（1）求证：当为中点时，平面；（2）若，二面角的余弦值为，试确定P点的位置．【答案】（1）证明见详解（2）是线段靠近点的四等分点【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，设，，求解平面和平面的法向量，根据二面角的余弦值为求，即可得P点的位置.【小问1详解】连接，因为，分别为，的中点，所以为的中位线，所以，又平面，平面，所以平面；【小问2详解】如图：过点作交圆与，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，设，，则，所以，设平面的法向量为，则，所以，令，则，，即，易知平面的一个法向量为，则，解得（负值舍去），所以是线段靠近点的四等分点.17.已知函数在处的切线与直线平行．（1）求的单调区间；（2）当时，恒有成立，求k的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为（2）【解析】【分析】（1）借助导数的几何意义计算可得，借助导数的正负即可得函数的单调性；（2）通过变形，可将原问题转化为在上，恒成立，从而构造函数，借助导数求取在上的最小值即可得.【小问1详解】由已知可得的定义域为，，所以，即，所以，，令，得，令，得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；【小问2详解】将不等式整理得：，可化为，问题转化为在上，恒成立，即，令，，则，令，则，，所以在单调递减，，即，所以在单调递减，，所以的取值范围是．【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于将原问题通过变形参变分离，转化为在上，恒成立，从而构造对应函数，借助导数求取在上的最小值即可得.18.已知双曲线G的中心为坐标原点，离心率为，左、右顶点分别为，.（1）求的方程；（2）过右焦点的直线l与G的右支交于M，N两点，若直线与交于点．（i）证明：点在定直线上：（ii）若直线与交于点，求证：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由点，的坐标可知，结合离心率可得，即可得，即可得双曲线方程；（2）设出，，可表示出直线与的方程，借助联立直线l与G所得韦达定理计算即可得证点在定直线上；由双曲线的对称性可得点亦在该直线上，借助韦达定理，通过计算的值从而得证.【小问1详解】由点，的坐标可知，离心率为，故，所以，所以双曲线方程为；【小问2详解】（ⅰ）设直线为：，联立双曲线得，消去得：，根据题意得：，设，，则，，，，故，直线：，因为在上，所以，直线：，直线：，令，可得，解得，故点在直线上；（ⅱ）由双曲线对称性可知，点也在直线上，设，，点在直线上，所以，点直线上，所以，，所以.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）