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文档简介
2023-2024学年山西省晋中灵石县联考中考四模数学试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.用一根长为a(单位:cm)的铁丝,首尾相接围成一个正方形,要将它按图的方式向外等距扩1(单位:cm)得到新的正方形,则这根铁丝需增加()A.4cm B.8cm C.(a+4)cm D.(a+8)cm2.如图,四边形ABCD内接于⊙O,F是上一点,且,连接CF并延长交AD的延长线于点E,连接AC.若∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E的度数为()A.45° B.50° C.55° D.60°3.如图,在中,,,,点分别在上,于,则的面积为()A. B. C. D.4.下列式子中,与互为有理化因式的是()A. B. C. D.5.下列方程中,是一元二次方程的是()A.2x﹣y=3 B.x2+=2 C.x2+1=x2﹣1 D.x(x﹣1)=06.如图,在边长为3的等边三角形ABC中,过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P,则点P到边AB所在直线的距离为()A.33 B.32 C.7.下列叙述,错误的是()A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.对角线相等的四边形是矩形8.如图,将一张三角形纸片的一角折叠,使点落在处的处,折痕为.如果,,,那么下列式子中正确的是()A. B. C. D.9.化简÷的结果是()A. B. C. D.2(x+1)10.一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价,又以8折(即按标价的80%)优惠卖出,结果每件作服装仍可获利15元,则这种服装每件的成本是()A.120元 B.125元 C.135元 D.140元11.如果边长相等的正五边形和正方形的一边重合,那么∠1的度数是()A.30° B.15° C.18° D.20°12.将一把直尺与一块直角三角板如图放置,如果,那么的度数为().A. B. C. D.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13.函数y=中,自变量x的取值范围是_____.14.如图,已知在△ABC中,∠A=40°,剪去∠A后成四边形,∠1+∠2=______°.15.16的算术平方根是.16.已知同一个反比例函数图象上的两点、,若,且,则这个反比例函数的解析式为______.17.已知关于x的方程1-xx-218.直线y=x与双曲线y=在第一象限的交点为(a,1),则k=_____.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(6分)为了落实国务院的指示精神,某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为每千克20元,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:y=﹣2x+1.设这种产品每天的销售利润为w元.求w与x之间的函数关系式.该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为每千克多少元?20.(6分)如图,在▱ABCD中,过点A作AE⊥BC于点E,AF⊥DC于点F,AE=AF.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若∠EAF=60°,CF=2,求AF的长.21.(6分)已知:如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,△OAB的顶点A、B的坐标分别是A(0,5),B(3,1),过点B画BC⊥AB交直线y=-m(m>54)于点C,连结AC,以点A为圆心,AC为半径画弧交x轴负半轴于点D,连结AD(1)求证:△ABC≌△AOD.(2)设△ACD的面积为s,求s关于m的函数关系式.(3)若四边形ABCD恰有一组对边平行,求m的值.22.(8分)如图所示,平行四边形形ABCD中,过对角线BD中点O的直线分别交AB,CD边于点E,F.(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;(2)请添加一个条件使四边形BEDF为菱形.23.(8分)为了抓住梵净山文化艺术节的商机,某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品.若购进A种纪念品8件,B种纪念品3件,需要950元;若购进A种纪念品5件,B种纪念品6件,需要800元.(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元?(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件,考虑市场需求和资金周转,用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元,但不超过7650元,那么该商店共有几种进货方案?(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元,每件B种纪念品可获利润30元,在第(2)问的各种进货方案中,哪一种方案获利最大?最大利润是多少元?24.(10分)先化简,再求值:﹣÷,其中a=1.25.(10分)草莓是云南多地盛产的一种水果,今年某水果销售店在草莓销售旺季,试销售成本为每千克20元的草莓,规定试销期间销售单价不低于成本单价,也不高于每千克40元,经试销发现,销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系,如图是y与x的函数关系图象.(1)求y与x的函数关系式;(2)直接写出自变量x的取值范围.26.(12分)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以点A为圆心,AC为半径,作⊙A交AB于点D,交CA的延长线于点E,过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F,连接AF、BF、DF(1)求证:BF是⊙A的切线.(2)当∠CAB等于多少度时,四边形ADFE为菱形?请给予证明.27.(12分)如图,矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线经过A、C两点,与AB边交于点D.(1)求抛物线的函数表达式;(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.①求S关于m的函数表达式,并求出m为何值时,S取得最大值;②当S最大时,在抛物线的对称轴l上若存在点F,使△FDQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的F的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1、B【解析】【分析】根据题意得出原正方形的边长,再得出新正方形的边长,继而得出答案.【详解】∵原正方形的周长为acm,∴原正方形的边长为cm,∵将它按图的方式向外等距扩1cm,∴新正方形的边长为(+2)cm,则新正方形的周长为4(+2)=a+8(cm),因此需要增加的长度为a+8﹣a=8cm,故选B.【点睛】本题考查列代数式,解题的关键是根据题意表示出新正方形的边长及规范书写代数式.2、B【解析】
先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数,再由圆周角定理得出∠DCE的度数,根据三角形外角的性质即可得出结论.【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=105°,∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°.∵,∠BAC=25°,∴∠DCE=∠BAC=25°,∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°.【点睛】本题考查圆内接四边形的性质,圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等,而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,所以在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.3、C【解析】
先利用三角函数求出BE=4m,同(1)的方法判断出∠1=∠3,进而得出△ACQ∽△CEP,得出比例式求出PE,最后用面积的差即可得出结论;【详解】∵,
∴CQ=4m,BP=5m,
在Rt△ABC中,sinB=,tanB=,
如图2,过点P作PE⊥BC于E,
在Rt△BPE中,PE=BP•sinB=5m×=3m,tanB=,
∴,
∴BE=4m,CE=BC-BE=8-4m,
同(1)的方法得,∠1=∠3,
∵∠ACQ=∠CEP,
∴△ACQ∽△CEP,
∴,∴,
∴m=,
∴PE=3m=,
∴S△ACP=S△ACB-S△PCB=BC×AC-BC×PE=BC(AC-PE)=×8×(6-)=,故选C.【点睛】本题是相似形综合题,主要考查了相似三角形的判定和性质,三角形的面积的计算方法,判断出△ACQ∽△CEP是解题的关键.4、B【解析】
直接利用有理化因式的定义分析得出答案.【详解】∵()(,)=12﹣2,=10,∴与互为有理化因式的是:,故选B.【点睛】本题考查了有理化因式,如果两个含有二次根式的非零代数式相乘,它们的积不含有二次根式,就说这两个非零代数式互为有理化因式.单项二次根式的有理化因式是它本身或者本身的相反数;其他代数式的有理化因式可用平方差公式来进行分步确定.5、D【解析】试题解析:含有两个未知数,不是整式方程,C没有二次项.故选D.点睛:一元二次方程需要满足三个条件:含有一个未知数,未知数的最高次数是2,整式方程.6、D【解析】试题分析:∵△ABC为等边三角形,BP平分∠ABC,∴∠PBC=12∠ABC=30°,∵PC⊥BC,∴∠PCB=90°,在Rt△PCB中,PC=BC•tan∠PBC=3考点:1.角平分线的性质;2.等边三角形的性质;3.含30度角的直角三角形;4.勾股定理.7、D【解析】【分析】根据正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定和矩形的判定定理对选项逐一进行分析,即可判断出答案.【详解】A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形,正确,不符合题意;B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形,正确,不符合题意;C.对角线互相平分的四边形是平行四边形,正确,不符合题意;D.对角线相等的平行四边形是矩形,故D选项错误,符合题意,故选D.【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定和矩形的判定等,熟练掌握相关判定定理是解答此类问题的关键.8、A【解析】
分析:根据三角形的外角得:∠BDA'=∠A+∠AFD,∠AFD=∠A'+∠CEA',代入已知可得结论.详解:由折叠得:∠A=∠A',∵∠BDA'=∠A+∠AFD,∠AFD=∠A'+∠CEA',∵∠A=α,∠CEA′=β,∠BDA'=γ,∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β,故选A.点睛:本题考查了三角形外角的性质,熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键.9、A【解析】
原式利用除法法则变形,约分即可得到结果.【详解】原式=•(x﹣1)=.故选A.【点睛】本题考查了分式的乘除法,熟练掌握运算法则是解答本题的关键.10、B【解析】试题分析:通过理解题意可知本题的等量关系,即每件作服装仍可获利=按成本价提高40%后标价,又以8折卖出,根据这两个等量关系,可列出方程,再求解.解:设这种服装每件的成本是x元,根据题意列方程得:x+15=(x+40%x)×80%解这个方程得:x=125则这种服装每件的成本是125元.故选B.考点:一元一次方程的应用.11、C【解析】
∠1的度数是正五边形的内角与正方形的内角的度数的差,根据多边形的内角和定理求得角的度数,进而求解.【详解】∵正五边形的内角的度数是×(5-2)×180°=108°,正方形的内角是90°,
∴∠1=108°-90°=18°.故选C【点睛】本题考查了多边形的内角和定理、正五边形和正方形的性质,求得正五边形的内角的度数是关键.12、D【解析】
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠1,再根据两直线平行,同位角相等可得∠2=∠1.【详解】如图,由三角形的外角性质得:∠1=90°+∠1=90°+58°=148°.∵直尺的两边互相平行,∴∠2=∠1=148°.故选D.【点睛】本题考查了平行线的性质,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,熟记性质是解题的关键.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13、x≠﹣.【解析】
该函数是分式,分式有意义的条件是分母不等于1,故分母x﹣1≠1,解得x的范围.【详解】解:根据分式有意义的条件得:2x+3≠1解得:故答案为【点睛】本题考查了函数自变量取值范围的求法.要使得本题函数式子有意义,必须满足分母不等于1.14、220.【解析】试题分析:△ABC中,∠A=40°,=;如图,剪去∠A后成四边形∠1+∠2+=;∠1+∠2=220°考点:内角和定理点评:本题考查三角形、四边形的内角和定理,掌握内角和定理是解本题的关键15、4【解析】
正数的正的平方根叫算术平方根,0的算术平方根还是0;负数没有平方根也没有算术平方根∵∴16的平方根为4和-4∴16的算术平方根为416、y=【解析】解:设这个反比例函数的表达式为y=.∵P1(x1,y1),P2(x2,y2)是同一个反比例函数图象上的两点,∴x1y1=x2y2=k,∴==,∴﹣=,∴=,∴=,∴k=2(x2﹣x1).∵x2=x1+2,∴x2﹣x1=2,∴k=2×2=4,∴这个反比例函数的解析式为:y=.故答案为y=.点睛:本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数.同时考查了式子的变形.17、k≠1【解析】试题分析:因为1-xx-2+2=k2-x,所以1-x+2(x-2)=-k,所以1-x+2x-4=-k,所以x=3-k,所以x=3-k,因为原方程有解,所以考点:分式方程.18、1【解析】分析:首先根据正比例函数得出a的值,然后将交点坐标代入反比例函数解析式得出k的值.详解:将(a,1)代入正比例函数可得:a=1,∴交点坐标为(1,1),∴k=1×1=1.点睛:本题主要考查的是利用待定系数法求函数解析式,属于基础题型.根据正比例函数得出交点坐标是解题的关键.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19、(1);(2)该产品销售价定为每千克30元时,每天销售利润最大,最大销售利润2元;(3)该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为每千克25元.【解析】
(1)根据销售额=销售量×销售价单x,列出函数关系式.(2)用配方法将(2)的函数关系式变形,利用二次函数的性质求最大值.(3)把y=150代入(2)的函数关系式中,解一元二次方程求x,根据x的取值范围求x的值.【详解】解:(1)由题意得:,∴w与x的函数关系式为:.(2),∵﹣2<0,∴当x=30时,w有最大值.w最大值为2.答:该产品销售价定为每千克30元时,每天销售利润最大,最大销售利润2元.(3)当w=150时,可得方程﹣2(x﹣30)2+2=150,解得x1=25,x2=3.∵3>28,∴x2=3不符合题意,应舍去.答:该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为每千克25元.20、(1)见解析;(2)2【解析】
(1)方法一:连接AC,利用角平分线判定定理,证明DA=DC即可;方法二:只要证明△AEB≌△AFD.可得AB=AD即可解决问题;(2)在Rt△ACF,根据AF=CF·tan∠ACF计算即可.【详解】(1)证法一:连接AC,如图.∵AE⊥BC,AF⊥DC,AE=AF,∴∠ACF=∠ACE,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠DAC=∠ACB.∴∠DAC=∠DCA,∴DA=DC,∴四边形ABCD是菱形.证法二:如图,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=∠D.∵AE⊥BC,AF⊥DC,∴∠AEB=∠AFD=90°,又∵AE=AF,∴△AEB≌△AFD.∴AB=AD,∴四边形ABCD是菱形.(2)连接AC,如图.∵AE⊥BC,AF⊥DC,∠EAF=60°,∴∠ECF=120°,∵四边形ABCD是菱形,∴∠ACF=60°,在Rt△CFA中,AF=CF•tan∠ACF=2.【点睛】本题主要考查三角形的性质及三角函数的相关知识,充分利用已知条件灵活运用各种方法求解可得到答案。21、(1)证明详见解析;(2)S=56(m+1)2+152(m>【解析】试题分析:(1)利用两点间的距离公式计算出AB=5,则AB=OA,则可根据“HL”证明△ABC≌△AOD;(2)过点B作直线BE⊥直线y=﹣m于E,作AF⊥BE于F,如图,证明Rt△ABF∽Rt△BCE,利用相似比可得BC=53(m+1),再在Rt△ACB中,由勾股定理得AC2=AB2+BC2=25+259(m+1)2,然后证明△AOB∽△ACD,利用相似的性质得S△AOBS△ACD=(ABAC)2,而S△AOB(2)作BH⊥y轴于H,如图,分类讨论:当AB∥CD时,则∠ACD=∠CAB,由△AOB∽△ACD得∠ACD=∠AOB,所以∠CAB=∠AOB,利用三角函数得到tan∠AOB=2,tan∠ACB=ABBC=3m+1,所以3m+1=2;当AD∥BC,则∠5=∠ACB,由△AOB∽△ACD得到∠4=∠5,则∠ACB=∠4,根据三角函数定义得到tan∠4=34,tan∠ACB=试题解析:(1)证明:∵A(0,5),B(2,1),∴AB=32∴AB=OA,∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°,在Rt△ABC和Rt△AOD中,AB=AOAC=AD∴Rt△ABC≌Rt△AOD;(2)解:过点B作直线BE⊥直线y=﹣m于E,作AF⊥BE于F,如图,∵∠1+∠2=90°,∠1+∠2=90°,∴∠2=∠2,∴Rt△ABF∽Rt△BCE,∴ABBC=AF∴BC=53在Rt△ACB中,AC2=AB2+BC2=25+259(m+1)2∵△ABC≌△AOD,∴∠BAC=∠OAD,即∠4+∠OAC=∠OAC+∠5,∴∠4=∠5,而AO=AB,AD=AC,∴△AOB∽△ACD,∴S△AOBS△ACD而S△AOB=12×5×2=15∴S=56(m+1)2+152(m>(2)作BH⊥y轴于H,如图,当AB∥CD时,则∠ACD=∠CAB,而△AOB∽△ACD,∴∠ACD=∠AOB,∴∠CAB=∠AOB,而tan∠AOB=BHOH=2,tan∠ACB=ABBC=55∴3m+1当AD∥BC,则∠5=∠ACB,而△AOB∽△ACD,∴∠4=∠5,∴∠ACB=∠4,而tan∠4=BHAH=3∴3m+1=3解得m=2.综上所述,m的值为2或1.考点:相似形综合题.22、见解析【解析】
(1)根据平行四边形的性质可得AB∥DC,OB=OD,由平行线的性质可得∠OBE=∠ODF,利用ASA判定△BOE≌△DOF,由全等三角形的性质可得EO=FO,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形BEDF是平行四边形;(2)添加EF⊥BD(本题添加的条件不唯一),根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形即可判定平行四边形BEDF为菱形.【详解】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,O是BD的中点,∴AB∥DC,OB=OD,∴∠OBE=∠ODF,又∵∠BOE=∠DOF,∴△BOE≌△DOF(ASA),∴EO=FO,∴四边形BEDF是平行四边形;(2)EF⊥BD.∵四边形BEDF是平行四边形,∵EF⊥BD,∴平行四边形BEDF是菱形.【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的判定,熟知平行四边形的性质与判定及菱形的判定方法是解决问题的关键.23、(1)A种纪念品需要100元,购进一件B种纪念品需要50元(2)共有4种进货方案(3)当购进A种纪念品50件,B种纪念品50件时,可获最大利润,最大利润是2500元【解析】解:(1)设该商店购进一件A种纪念品需要a元,购进一件B种纪念品需要b元,根据题意得方程组得:,…2分解方程组得:,∴购进一件A种纪念品需要100元,购进一件B种纪念品需要50元…4分;(2)设该商店购进A种纪念品x个,则购进B种纪念品有(100﹣x)个,∴,…6分解得:50≤x≤53,…7分∵x为正整数,∴共有4种进货方案…8分;(3)因为B种纪念品利润较高,故B种数量越多总利润越高,因此选择购A种50件,B种50件.…10分总利润=50×20+50×30=2500(元)∴当购进A种纪念品50件,B种纪念品50件时,可获最大利润,最大利润是2500元.…12分24、-1【解析】
原式第二项利用除法法则变形,约分后通分,并利用同分母分式的减法法则计算,约分得到最简结果,把a的值代入计算即可求出值.【详解】解:原式=﹣•2(a﹣3)=﹣==,当a=1时,原式==﹣1.【点睛】此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.25、(1)y=-2x+31,(2)20≤x≤1【解析】试题分析:(1)根据函数图象经过点(20,300)和点(30,280),利用待定系数法即可求出y与x的函数关系式;
(2)根据试销期间销售单价不低于成本单价,也不高于每千克1元,结合草莓的成本价即可得出x的取值范围.试题解析:(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b,根据题意,得:解得:∴y与x的函数解析式为y=-2x+31,(2)∵试销期间销售单价不低于成本单价,也不高于每千克1元,且草莓的成本为每千克20元,
∴自变量x的取值范围是20≤x≤1.26、(1)证明见解析;(2)当∠CAB=60°时,四边形ADFE为菱形;证明见解析;【解析】分析(1)首先利用平行线的性质得到∠FAB=∠CAB,然后利用SAS证得两三角形全等,得出对应角相等即可;(2)当∠CAB=60°时,四边形ADFE为菱形,根据∠CAB=60°,得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°,
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