反比例函数常见几何模型

反比例函数常见模型一、知识点回忆1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=k〔kW0〕.其解析式有三种表示方法：xk①y=—[k丰0]；@y=kx-1〔k丰0〕；③町=kx2.反比例函数丫二七〔上0〕的性质x〔1〕当k>0时=函数图像的两个分支分别在第一，三象限内=在每一象限内，y随x的增大而减小.〔2〕当k<0时=函数图像的两个分支分别在第二，四象限内=在每一象限内，y随x的增大而增大.〔3〕在反比例函数丫=-中，其解析式变形为xy=k,故要求卜的值（也就是求其图像上x一点横坐标与纵坐标之积）.〔4〕假设双曲线y=-图像上一点〔2,扪满足@,b是方程Z2—4Z—2=0的两根，求x-2双曲线的解析式.由根与系数关系得ab=-2,又ab=k,「上二—2,故双曲线的解析式是y=——.x〔5〕由于反比例函数中自变量X和函数丫的值都不能为零，所以图像和X轴，丫轴都没有交点,但画图时要表达出图像和坐标轴无限贴近的趋势.二、新知讲解与例题训练模型一：如图，点A为反比例函数y=k图象上的任意一点，且AB垂直于x轴，x那么有SAOAB那么有SAOAB|k|例1：如图R/AABC的锐角顶点是直线尸x+m与双曲线尸一在第一象限的交点，且XS”ob=3，〔1〕求m的值⑵求AABC的面积变式题TOC\o"1-5"\h\z1、如下列图，点A,A,A在x轴上，且OA=AA=AA，分别过A,A,A作y轴平行1 2 3 1 12 23 1 2 38 8 8 . _ _ _ _ _ _线，与反比例函数丫=一(x>0)的图像交于点B,B,B，分别过点6,B,B作x轴的平行线，X 1 2 3 1 2 3分别与y轴交于点。1,C2,C3,连结OB1,OB2,OB3，那么图中阴影局部的面积之和为X X2、如图，点人在双曲线y=_上，点8在双曲线y=—上，且人8//区轴，C、D在x轴上，X X假设四边形ABCD为矩形，那么它的面积为.模型二：如图：点人、8是双曲线y=k(k中0)任意不重合的两点，直线AB交X轴于M点，交y轴于N点，再过A、8两点分别作AD1y轴于口点，BF1X轴于F点，再连结DF两点，那么有：DFIIAB且BM=AN例2：如图，一次函数y=巾+b的图象与％轴，y轴交于A,8两点，与反比例函数y=k的图象相交于C,口两点，分别过C,口两点作y轴，x轴的垂线，垂足x为E,F,连接CF,DE.有以下四个结论：①S=S :②AAOB相似于KFOE;ACEF ADEF③△DCEW^CDF；④ac二bd其中正确的结论是.〔把你认为正确结论的序号都填上〕例3:一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M,N，与反比例函数k.y=—的图象相交于点A,B.过点A分别作AC±x轴，AE±y轴，垂足分别为xC,E；过点B分别作BF±x轴，BD±y轴，垂足分别为F,D,AC与BD交于点K,连接CD.〔1〕假设点A,B在反比例函数y=k的图象的同一分支上，如图1,试证明：x①S=S；®AN=BM.四边形AEDK 四边形CFBK〔2〕假设点A,B分别在反比例函数y=-的图象的不同分支上，如图2,那么ANx与BM还相等吗？试证明你的结论.模型三：如图，反比例函数y=k〔kW0,x>0〕上任意两点P、C,过P做PA^x轴，交XX轴于点人，过C做CD^x轴，交x轴于点口，那么s=S.AOPC 梯形PADC

例4:如图，在直角坐标系中，一次函数尸kx+b的图象与反比例函数丫=£的1 x图象交于A(1,4)、8(4,1)两点，那么△人。8的面积是.图象交于A〔1,4图象交于A〔1,4〕、B〔3,m〕两点,1X例5:如图，在直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=k2的1 ..k例6：如图1，直线y=x与双曲线y=—(k>0)交于A、B两点，且点A的横坐2 x标为4.〔1〕求卜的值；〔2〕如图2,过原点0的另一条直线l交双曲线y=k(k>0)于C、D两点〔点XC在第一象限且在点A的左边〕，当四边形ACBD的面积为24时，求点C的坐标.

模型四:在矩形AOBC中，OB=a,OA=b,分别以OB,OA所在直线为x轴和y轴，建立如下列图的平面直角坐标系.F是86上的一个动点〔不与B、C重合〕，过F点的反比例函数）=k（x〉0）的图象与AC边交于点E，那么CE=a.'x CFb例7：两个反比例函数y=X和y=_L在第一象限内的图象如下列图，点P在y=£x的图象上，PC，x轴于点6，交y=1的图象于点A,PD，y轴于点口，交y=1x x的图象于点8，当点P在y=£的图象上运动时，以下结论：x①AODB与4OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点8一定是PD的中点.其中一定正确的选项是〔把你认为正确结论的序号都填上〕.课堂练习:一、选择题2、如图，点A在双曲线y=6一、选择题2、如图，点A在双曲线y=6上，且OA=4,过点xA作AC1x轴，垂足为c,OA的垂直平分线交OC于B,那么AABC的周长为〔〕的图像如图，大致是〔A.2"B.5C.4<7 d*k3、如图，双曲线y=-〔k>0〕经过矩形OABC的边BC的中点口，交AB于点口，假设梯x形ODBC的面积为3,那么双曲线的解析式为〔〕1A.1A.4、如图，4、如图，A,B是函数y=2的图像上关于原点对称的任意两点,x的面积记为S,那么S〔〕BC//x轴，AC//y轴，AABCA.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如下列图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2,直角顶点A在直线y=x上，其中人点的横坐标为A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如下列图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2,直角顶点A在直线y=x上，其中人点的横坐标为1,且两条直角边AB,AC分别平行于x轴，y轴，假设双曲线y二与〔kw。〕与^ABC有交点，那么k的取值范围是〔〕A.1<k<2B.1<k<3C.1<k<4 D.1<k<4二、填空题1、如图，点人在双曲线y=一上，点B在双曲线y——上，且AB//x轴，C、D在x轴上，假设四边形ABCD为矩形，那么它的面积为.yc2/2、如图，双曲线y=-(xA0)经过四边形OABC的顶点A、C,/ABC=90,OC平分xOA与x轴正半轴的夹角，AB//x轴，将^ABC沿AC翻折后得到^AB，C,8，点落在OA上，那么四边形OABC的面积是.3、如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B〔2,0〕，/人08=60°,点人在第一象限，过点人的双曲线为y=k，在x轴上取一点P,过点P作直线OA的垂线l,x以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O'B’.〔1〕当点0'与点人重合时，点P的坐标是.〔2〕设P〔t,0〕，当O'B'与双曲线有交点时，t的取值范围是.k，一4、如图，双曲线y=-(k<0)经过直角三角形OAB斜边OA的中点口，且与直角边人8相x交于点6.假设点人的坐标为〔—6,4〕，那么4AOC的面积为.一 45、双曲线y、y在第一象限的图像如图，y=-,1 2 1x.k=X；点P到原点的距离OP二-.k=X；点P到原点的距离OP二-7x2y1的值等于,6、如图，,点8过X上的任意一点A,作％轴的平行线交工于交)轴于0,假设S=1,那么y的解析式是.TOC\o"1-5"\h\zAAOB 2课后习练一、填空题1、如图，直线y=kx〔k>0〕与双曲线y二—交于A〔x,y〕，B〔x,y〕两点，那么2xy“ 1X 1 '1 2 '2 V2a,b〕，且a,b是方程t2-4t-2=0的两个根，那么3、双曲线xy=1与直线y=-x+®无交点，那么b的取值范围是 .4、反比例函数丫=-的图像经过点P〔a,b〕，其中a,b是一元二次方程x2+kx+4=0的两个X根，那么点P的坐标是