高中数学选择性必修二：5-1导数的概念及其意义（课堂练习）

5.1导数的概念及其意义

一、单选题

1.下列说法正确的是().

A.曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点

B.过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点

C.若/'(%)不存在，则曲线y=√(χ)在点&Ja))处无切线

D.若曲线y="χ)在点XO))处有切线，则/'(%)不一定存在

【答案】D

【分析】结合导数的运算以及导数的几何意义举例子可判断A、B、C、D；进而可得正确选项.

【解析】对于A：曲线的切线与曲线的交点不一定唯一，如曲线y=Y+l在［-g,g)处的切线为:

x+—,即3x—4y+5=0,切线与y=V+1另一个交点为(1,2),

故选项A说法错误；

对于B：过曲线上一点作曲线的切线，这点不一定是切点，如>与y=3x-2相切于点(1,1),同时经过

另一点(。/)，可以说过点(。力)的直线y=3x-2与曲线y=/相切，但切点是(1,1)不是(a,b),故选项B不

正确；

对于C：若/'&)不存在，曲线y=∕(x)在点(/J(Xo))处可以有切线，如y=√7在x=0时，/'(O)不存在,

但有切线x=0,故选项C错误；

对于D：由曲线在一点处有平行于V轴的切线，且在该点处不连续，则/'(Λ0)不一定存在，如y=√7在X=O

时.，有切线x=0,但/'(O)不存在，故选项D正确，

故选：D.

2.函数y="x)=f在区间［χ°,χ°+M上的平均变化率为峭在区间［x°-∆x,x°］上的平均变化率为则

勺与女2的大小关系为()

A.k∖>hB.K<k2c.k∖=k?D.不能确定

【答案】A

【分析】直接代函数平均变化率公式进行化简得到L,&表达式，由题意知Δx>O,即可得判断K,电大

小关系.

【解析】Qf(X0+MT(%)=(2＞与=2%+机,

∆xAx

k二/(r)-/(Xo-以)宕-(改)一垓『

2^Ax-∆x

由题意，知∆x>(),所以&

故选：A.

3.设函数"χ)存在导函数，且满足也/⑴一,O-Ar)=-1,则曲线y="χ)在点(IJ⑴)处切线的斜率

为()

A.2B.-IC.1D.-2

【答案】D

【分析】根据导数的定义及已知条件求r⑴，即可确定(ι,∕(ι))处切线的斜率.

［解析］因为Iim*)一/。3)二3㈣¾⅛^=gr(ι)i

所以∕∙'(1)=-2.

故选：D.

4.函数/(x)=f在区间［0,2］上的平均变化率等于X=，”时的瞬时变化率，则机=()

A.ɪB.1C.2D.-

22

【答案】B

【分析】分别求出在区间［0,2］上的平均变化率和在x=，"时的瞬时变化率，利用相等求解即可.

【解析】函数/(x)=/在区间［0,2］上的平均变化率等于”［(。)=言=2,

/(x)=/在X=W7时的瞬时变化率为Iim/("?+?)_J(m)-μm(∆χ+2ιn)=2m,

所以2=，解得m=∖.

故选：B

5.已知广⑺是)(x)的导函数,5'(x)的图象如图所示,则F(X)的图象只可能是()

【答案】D

【分析】由导数的几何意义可知，原函数先增长“迅速”，后增长“缓慢”.

【解析】由题中r（x）的图象可以看出，在（“⑼内，/"）＞o,

且在（a,一ŋ内，r（x）单调递增，

在（笠2,“内，（（X）单调递减，

所以函数“X）在S，。）内单调递增，

且其图象在（a,彳2）内越来越陡峭，

在（笠9,“内越来越平缓.

故选：D.

6.自由落体运动的公式为s(f)=(g/(g=10m∕s2),若.=s(l+4)-s⑴,则下列说法正确的是()

2Z

A.V是在O~Is这段时间内的速度

B.V是IS到(l+4)s这段时间内的速度

C.5∆Z+1O是物体在r=1s这一时刻的速度

D.5'+10是物体从IS到(1+A∕)s这段时间内的平均速度

【答案】D

【分析】代入解析式，化简v=s°+4)τ(l),由平均速度的概念判断即可.

△t

【解析】由平均速度的概念可知，、，s(l+Af)-s⑴/0+加)-/1Igw，表示IS到

V=----------------------------=-----------------------=VH---EdI=IU十JAAl

Δ/M2

(1+Af)s这段时间内的平均速度，故D正确.

故选：D

7.已知函数“X)在R上有导函数,/(x)图象如图所示，则下列不等式正确的是()

aObcX

A.f∖a)<f∖b)<f∖c)B.fXb)<fXc)<f∖a)

C.f∖a)<f∖c)<f'(h)D.∕,(c)<f'(a)<f∖b)

【答案】A

【分析】由题意设函数/(x)=Or晨(>0,则/(x)=2οr,α>0,则函数f(x)为增函数，再利用一次函数的

增减性即可得解.

【解析】解：设函数/(X)=加0,

则f(X)=20x,a>0,

则函数f(x)=*M>O为增函数，

5La<b<c,

贝∣Jf'(a)<∕'S)<∕'(c),

故选:A.

【点睛】本题考查了导数的运算，重点考查了函数的单调性的应用，属基础题.

8.设函数/(x)=X3+(。-2)/+".若/(X)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(IJ⑴)处的切线方程为()

A.y=4x-1B.y=5x-2C.j=4x-2D.y=5x-6

【答案】B

【分析】根据函数AR的奇偶性，可得“，然后分别求得/(ι),r(ι),最后可得直线方程.

【解析】由函数/(x)=x3+(α-2)χ2+ar为奇函数

所以/(r)=~√(x)

由/(τ)=(-Xy+(a-2)(-x)^+α(-x)=-x3+(α-2)x2-ax

所以-/+(α_2)χ2_(IX=_[x。+(α-2)x"^+<zx]=≠>a=2

所以F(X)=X3+2X,则f∖x)=3X2+2

所以/⑴=3J'(1)=5

所以所求切线方程为y-3=5(xT),即y=5x-2

故选：B

9.已知/(x)在x=x°处可导，则Iim[，(切二SM-等于()

X

→⅞X-XQ

2

A.Γ(⅞)B./(X0)C.[Γ(x0)]D.2Γ(Λ0)∕(X0)

【答案】D

【分析】由导数的定义结合Iim=[仆"二/至】一=Iim0"一/⑷Iim]f⑺+/(%)]得出答案.

XTRXTMXT出

X-X0X-XQ

【解析】因为Iimf(X)一八.)=尸伉),

XT与X-XG

2

所以lim.=[7[1-17(/)]_[加[〃*』〃"。)]"("-""。)]

χχ

x→∙%X-X0-oX-XQ

^im∕ω-∕(⅞),则.f(x)+"x())]

λ

→⅞X-X0

=∕,(⅞)-[∕(⅞)+∕(⅞)]=2∕,(⅞)∕(⅞).

故选：D.

10.已知函数/(X)二"一一，在区间(。,3)内任取两个实数4，巧，且X≠%,若不等式

X

/(*+∣)-∕(x+ι)<ι恒成立,则实数。的最小值为()

玉一W

A.-4B.-2C.-1D.4

【答案】A

f(x,+l]-f(x7+1)

【分析】将不等式转化为II7∖J>τ恒成立,表示函数y=∕(χ+i)的图象在(0,3)内任意两点间

连线的斜率大于-1,即y=f(χ)的图象在(L4)内任意两点间连线的斜率大于-L求导函数，进行参变分离得

“Nτ-g=-(X+1)在Xe(1,4)内恒成立.由基本不等式可求得α的最小值.

【解析】解:在区间(0,3)内任取两个实数演，XHS.xl≠x2,

不等式"w+>∕α+∣)<ι恒成立,即不等式/：上+R二-1恒成立，

XI-X2(xl+l)-(x2+l)

它表示函数y=/(χ+1)的图象在(0,3)内任意两点间连线的斜率大于-1,

即y=∕(χ)的图象在(1,4)内任意两点间连线的斜率大于-1.

所以尸(彳)=£+22-1在代(1，4)内恒成立，即“≥-x-g=-(x+g)在Xe(1,4)内恒成立.

当xe(l,4)时，x+^>4,则-(X+g)≤-4,当且仅当x=2时等号成立，

所以αNT,。的最小值为-4.

故选：A.

ɪɪ.已知函数/(χ)=^+1)^ζsinx,其导函数记为F'(x),则"389)+r(389)+∕(-389)-/'(一389)=()

A.2B.-2C.3D.-3

【答案】A

【分析】函数"x)=l+笔*,分析其性质可求/(389)+∕(-389)的值，再求/'(X)并讨论其性质即可

作答.

【解析】由已知得〃》)=1+笔*,

(2÷COSX)(X2+l)-(2x+sinx)∙2x

则r(H=--------y--7√------------，显然∕,(χ)为偶函数.

(χ+ι)

令g(χ)=∕(χ)-1=专普，显然g(x)为奇函数.

又广(X)为偶函数，所以/'(389)-r(-389)=0,/(389)+/(-389)=g(389)+1+g(-389)+1=2,

所以4389)+/'(389)+/(-389)—/(―389)=2.

故选：A.

12.己知直线/是曲线y=/与曲线y=e2*-2的一条公切线，/与曲线y=e?*-2切于点(。力)，且“是函数

f(x)的零点，则/(x)的解析式可能为

A./(x)=?A(2x+21n2-l)-l

B./(x)=e2v(2x+21n2-l)-2

C./(x)=e2λ(2x-21n2-l)-l

D.f(x)=e2x(2x-21n2-l)-2

【答案】B

【分析】首先设出切点坐标，然后结合题意得到关于”的等式即可确定了(x)的解析式的一个可能值.

【解析】由y=e*可得V=d，由y=∕*-2可得y=2e”,

设公切线在y=e,上的切点坐标为(见√π),在y=e”-2上的切点坐标为(ɑ,e?"-2),

利用导函数研究函数切线的性质可得：√n=2e2a,

整理可得：m=2a+ln2,①

结合斜率公式有：2e2a=e"'~e'a+2,②

m-a

将①代入②中整理可得：e2"(2α+21n2-1)-2=0,

则f(x)的解析式可能为/(x)=e2'(2x+2∕〃2T)-2.

本题选择8选项.

【点睛】本题主要考查导函数研究函数的切线方程，切线的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算

求解能力.

二、多选题

13.已知函数y=∕(χ),下列说法正确的是()

A.Ay="%+©)—“X。)叫作函数值的增量

B.包=/(%+M-"x<J叫作函数在%+AV］上的平均变化率

∆x∆x

C./(χ)在X=%处的导数记为y'

D.“X)在X=XO处的导数记为了'(七)

【答案】ABD

【分析】由函数值的增量的意义判断A；由平均变化率和瞬时变化率的意义判断BCD.

【解析】A中，△)，=/(%+-)-∕(x°)叫作函数值的改变量，即函数值的增量，A正确;

B中，包=/(/+Ar)--(%)称为函数〃χ)在占到%+Ax之间的平均变化率,B正确;

∆x∆x

由导数的定义知函数f(x)在X=Xo处的导数记为r(x0),故C错误，D正确.

故选：ABD

14.若当Ax→O,满足"I)-"1-AX)→7,则下列结论正确的是()

2∆x

A/(1+M-"13)：4

∆x

/(1+Δr)-∕(1-∆A-)

o.--------------------------->一L

ΔΛ

C.曲线y=∕(χ)上点(1,7(1))处的切线斜率为-1

D.曲线y=∕(χ)上点(IJ(I))处的切线斜率为-2

【答案】AD

【分析】根据导数的定义和几何意义依次判断各个选项即可.

【解析】由四二川二四→-l得：/(!)二"匕")一一2,即/'(1)=一2,

2∆xAr

•••曲线y=∕(χ)上点(IJ(I))处的切线斜率为-2,C错误；D正确；

“l+Ay)T∙(l-Ax)=2χ"l+Ax)T(l-垓)=2χ"l)-”>^>→γ,A正确；B错误.

∆x2∆x∆x

故选：AD.

15.已知过点A(“，0)作曲线c：y=三的切线有且仅有两条，则实数α的值可以是()

e

A.-2B.4C.0D.6

【答案】AD

【分析】设出切点，写出切线方程，将A点代入，化简后方程有两根，即可得到。的取值范围.

【解析】设切点为口。,£),则儿*,=詈，所以切线方程为：丫一亲=詈(X-%)，切线过点A(。，

0),代入得：一今=上含(α-x0),即方程片―”+〃=()有两个解，则有A=∕-4a>0n4>4或α<0.

故选：AD.

16.若函数y=∕(χ)的图象上存在两个不同的点p,Q,使得/(X)在这两点处的切线重合，则称函数y=∕(χ)

为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数''的是()

A.y=sinx+cosxB.y=sin(cosx)

C.y=x+sinxD.y=x2+sinx

【答案】ABC

【分析】求出导函数，确定切线斜率，选项AB,过图象最高点(或最低点)处的切线是同一条直线，可判

断，选项C,由导函数斜率相等的点有无数组，结合函数单调性，确定斜率为1的切线，可判断结论，百选

项D,导函数是单调增函数，因此不存在斜率相等的两点，这样易判断结论.

【解析】A,7(x)=SinX+cosX=夜C^SinX+∙^cosX)=>∕∑sin(x+?),

/(x)=√2cos(x+^),%=2A=+f,∖∈Z时,f∖x)=0,/*)取得最大值

44

直线y=播是函数图象的切线，且过点由+全扬kZ,函数是“切线重合函豺；

B,/(x)=Sin(COSx),∕r(x)=-sinxcos(sinx),x=2ATr,A∈Z时，∕,(x)=0,COSX=1,-sinl≤/(x)≤sinl,

此时/O)=Sinl是函数的最大值,

直线>=sinl是函数图象的切线，且过点(2々肛Sinl)次∈Z,函数是“切线重合函数”;

C,/(x)=x÷sinx,ff(x)=1÷cosx,

jrτrjr

x=2kπ+万，左∈Z时，f(x)=1,fQkπ+ɪ)=2kπ+—,

过点(2%r+],2∙+5+l)MeZ的切线方程是y-(2Qr+]+l)=x-(2k%+g,即y=x+l,因此该切线过

/(x)图象上的两个以上的点，函数是“切线重合函数”；

D,f(x)=x2+sinx,/'(x)=2x+cosx,令g(x)=f'(x)=2x+cosx,

则g，(x)=2-sinx>0,所以g(x)即f(x)是R增函数,因此函数图象上不存在两点,它们的切线斜率相等,

也就不存在切线过图象上的两点，因此函数不是“切线重合函数

故选：ABC.

【点睛】本题考查导数的几何意义，解题关键是理解新定义，实质仍然是求函数图象上的切线方程，只是

要考虑哪些切线重合，因此本题中含有三角函数，对三角函数来讲，其最高点或最低点是首选，对其它与

三角函数有关的函数，涉及到其中三角函数的最大值或最小值点也是我们首选考虑的.

三、填空题

17.曲线y=f+3f+6x+4的所有切线中，斜率最小的切线的方程是.

【答案】3x-y+3=0

【分析】求出导函数，由二次函数性质求出导数的最小值，进而得切线斜率与切点坐标，从而即可求解.

【解析】解：由题意y'=3d+6x+6=3(x+l)2+3,

所以X-—1时，Jrnin=ɜ*又4-1时，y=。，

所以所求切线的方程为y-0=3(x+l),即3x-y+3=0.

故答案为：3x-y+3=0.

18.若/'(Λ0)=2,则Hm/(/+〃)_"/)=____.

*→o2/?

【答案】1

【分析】根据导数的几何定义即可计算.

【解析】Iim"飞十险一"包)=匕而十')一/区)=L3(%)=L

故答案为：1.

19.若曲线/(x)=gχ2-41nx在点(Ij⑴)处的切线与直线x+3y+l=0垂直，则常数α=—.

【答案】-2

【分析】利用导数的几何意义，求得在点(1，/⑴)处的切线斜率为女=1-。，再根据两直线的位置关系，即

可求解.

【解析】由题意，函数"x)=(f-αlnx,可得/⑺=%，，所以f'(l)=l-α,

2X

即在点(IJ⑴)处的切线斜率为k=l-a,

又由在点(1√(1))处的切线与直线x+3y+1=O垂直，所以(1-α)χ(-}=-1,

解得α=-2.

【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中利用导数的几何意义求得切线的

斜率，再根据两直线的位置关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

20.数学中，多数方程不存在求根公式.因此求精确根非常困难，甚至不可能.从而寻找方程的近似根就显得

特别重要.例如牛顿迭代法就是求方程近似根的重要方法之一，其原理如下：假设R是方程f(x)=0的根，

选取％作为R的初始近似值，在点(⅞,∕(⅞))处作曲线y=/(X)的切线4，则I1与X轴交点的横坐标,称为R

的一次近似值，在点Gja))处作曲线y=∕(χ)的切线.则4与X轴交点的横坐标须称为R的二次近似值•

重复上述过程，用X“逐步逼近R.若给定方程;d+χ7=0,取A0=O,则W=.

【答案】I

O

【分析】根据牛顿迭代法的知识求得才2.

【解析】构造函数/(x)=gv+x-1J(X)=X2+1J(O)=1,/(O)=-I,

切线4的方程为y+i=iχ(χ-0),y=χT,与X轴交点的横坐标为王=L

/(1)=2,/(1)=1,

所以切线I2的方程为y-g=2(x-l),y=2Λ-∣,与X轴交点的横坐标为X,≈∣.

33o

故答案为：I

O

四、解答题

21.己知函数/(x)=2χ2+3x-5.

(1)求当玉=4,且Ar=I时，函数增量与和平均变化率?；

∆x

⑵求当N=4,且Ar=O.1时，函数增量Ay和平均变化率半；

∆x

(3)若设W=x∣+1,分析(1)(2)问中的平均变化率的几何意义.

【答案】⑴回=21,半=21；

∆x

(2)Ay=I.92,包=19.2；

ʌr

(3)答案见解析.

【分析】(1)(2)由解析式展开并化简Ay=+—)-〃5),再将玉、∆x代入求值即可.

(3)根据?=/(々)二/(%),结合直线斜率的两点式说明几何意义即可.

∆xx2-X1

(1)

222

∆y=/(x1+ZSΛ)-∕(X1)=2(XI+ʌr)÷3(%1+Zlr)-5-2xl-3x1+5=4x1∆x+2(∆x)+3∆x.

当％=4且∆x=l时，Ay=4x4x1+2+3=21,

所以平均变化率"=¥=2L

∆x1

(2)

当玉=4且∆χ=0.1时，∆y=4×4×0.1+0.02+0.3=1.92,

所以平均变化率孚=卓=19.2.

Ax0.1

(3)

在⑴中，"JE)一/㈤J⑸寸⑷,

∆xx2-X15-4

它表示曲线上两点用(4,39)与爪5,60)所在直线的斜率;

”=Z⅛k⅛l1(41)一八4)

在(2)中,

∆xx2-Xx4.1-4

它表示曲线上P.(4,39)与P2(4.1,40.92)所在直线的斜率.

22.若一物体运动方程如下(位移单位：〃?，时间单位：S)

3r+2,/..3

=/(')=.求:

29+3”3)2,0,,t<3>

⑴物体在fe[3,5]内的平均速度;

(2)物体的初速度％；

(3)物体在f=1时的瞬时速度.

【答案】(l)24m∕s

(2)-18m∕s

(3)-12m∕s

【分析】(I)计算时间变化量为加，其位移变化量为加，即可求出物体在“[3,5]内的平均速度；

(2)求物体的初速度％,即求物体在Z=O时的瞬时速度，求出物体在f=0附近位移的平均变化率，再利用

极限的思想求出瞬时速度；

(3)求出物体在f=l附近位移的平均变化率，再利用极限的思想求出瞬时速度；

(1)

解：由已知在fw[3,5]时，其时间变化量为Δ∕=2,

其位移变化量为加=/⑸-"3)=3χ25+2-(3χ9+2)=48,

故所求平均速度为字=f=24m∕s；

Ar2

(2)

解：求物体的初速度%,即求物体在f=0时的瞬时速度.

因为物体在f=0附近位移的平均变化率为

氐/(0+Δr)-∕(0)29+3(0+Δ∕-3)2-29-3(0-3)23

----=------------------------=------------------------------------------------=JZV-Io18

ZΔ/Δ/

Ac

所以物体在f=0处位移的瞬时变化率为limz=lim(34-18)=-18,

Δf→Oʌ/Δ∕→0\/

即物体的初速度%=T8m∕s.

(3)

解：因为物体在r=l附近位移的平均变化率为

AS/(l+Δ∕)-∕(l)29+3(1+4-3)2-29-3(1-3)2

—=----------------------=-----------------------------------------------=5Δ∕—IZ,

加4Af

故物体在/=1时的瞬时速度为Iim竺=Iim(34-12)=-12,即物体在t=1时的瞬时速度为-12m∕s.

23.已知某化学物质在溶液中反应时的浓度随时间变化而变化(温度不变)，下表记录了某温度下该化学

物质在溶液中反应时不同时刻t的浓度C⑺.

t02468

c(f)0.08000.05700.04080.02950.0210

试根据上表求下列时间段内的平均反应速率:

(l)2≤r≤6；

⑵2≤f≤4;

⑶0≤r≤2.

【答案】(1)0.006875

(2)0.(X)81

(3)0.0115

C

【分析】根据平均速率V=—计算即可求解.

..t

(1)

240.0570-0.02950.0275

由题意，V=-------——-------=---=0.006875,

6-24

即在2≤f≤6时间段内的平均反应速率为0.006875.

⑵

0.0570-0.04080.0162

由题意,V=---------------------------=0.0081

4-22

即在2≤∕≤4时间段内的平均反应速率为0.0081.

⑶

0.0800-0.05700.0230

由题意,V=---------------------------=0.0115

2-02

即在0≤l≤2时间段内的平均反应速率为0.0115.

24.已知两曲线y=Y+必和y=f+灰+°都经过点p0,2),且在点P处有公切线.

⑴求α,b,C的值；

(2)求公切线所在的直线方程；

⑶若抛物线y=f+⅛r+c上的点"到直线y=4x-5的距离最短，求点M的坐标和最短距离.

【答案】(l)a=l,b=2,C=-I

(2)4x-y-2=0

⑶M(1,2),噜

【分析】(1)对已知两个函数求导数，由公切线得斜率相等，再把P点坐标代入两个函数式，可解得a,。,。；

(2)由(2)得切线斜率，从而得公切线方程；

(3)由抛物线的导数值等于4可得〃点坐标，再由点到直线距离公式可得结论.

(1)

根据导函数定义可知，两个函数的导函数分别是

,∆y,.(X+ΔX)3+<Z(Λ+ΔX)-(X3+OT)

y∣=ɪim—=Iim-----------------------------------------=3x+a•

-ArAETO∆χ

,.Ay.(-^+ʌv)2+⅛(x+∆x)+c-(x2+hx+c^

“^→oMΔ*→OʌɪXb

将P(l,2)分别代入两曲线方程得到2=l+α,2=l+b+c.

2,j

Xy[=3X+a,y2=1xt-by则3+α=2+/?,解得α=l,b=2,C=-I.

(2)

由(1)知V=/+',y[=3x2÷1；当x=l时，X=4,故切线方程

为y=4(x—1)+2,BP4x-y-2=0.

由(1)知y=12+2x-l,%=2x+2,当x=l时，%=4,故切线方程为y=4(x—1)+2,即4x—y—2=0.

综上所述，公切线所在的直线方程为以一丁-2=0.

(3)

要使抛物线y=X2+bx+c上的点M到直线y=4x-5的距离最短，则抛物线在点M处

的切线斜率应该与直线y=4x-5相同，

则y,=Iim包=Iim>2Fa+词+~(炉+如C)=2/2=4，

ArTO∆XAs。∆X

解得x=l.又因为点M在抛物线上，解得M(1,2),

所以最短距离即d为点M到直线y=4x-5的距离，

,∣4-2-5∣3717ɜ/p

代入点到直线的距离公式得"=厂(二#=下"•即最短距离为尊.

25.己知函数"x)=gx3-2χ2+3x(xeR)的图象为曲线C.

(1)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线(均不与X轴垂直)，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标

的取值范围；

(2)证明：不存在与曲线C同时切于两个不同点的直线.

【答案】⑴(—2-0卜(1,3)U[2+&,可；

(2)证明见解析.

【分析】(1)利用互相垂直的切线(均不与X轴垂直)的斜率互为负倒数，

切点处的导数值为曲线切线的斜率，及一元二次方程有解求切点横坐标的范围；

(2)利用切点处的导数值为曲线切线的斜率，求出两切点处的两条直线的方程，利用斜率相等和纵截距相

等求得的结果与已知矛盾，得证.

(1)

∕,(X)=X2-4X+3,由题，

设其中一条切线的斜率为火(&wθ),则另一条切线的斜率为

K

由题意得了'U)=々①与r(x)=—；②均有解，

若①有解，即/_4工+3_%=0有解，贝IJ(T)2-4(3-%)20,

解得&N-1,若②有解，即Y-4x+3+,=0有解，

K

则(-4)2-4(3+£|20,解得女<0或左≥1.

所以T4%<0或A≥l,即一l≤χ2-4χ+3<0或χ2-4x+3Wl,

解得X[—8,2—U(L3)u[2+>∕Σ,+oo).

⑵

证明：假设存在在点A(AX)的切线与曲线C同时切于两点，

另一切点为3(%,丫2乂工户马),

则切线方程是ʃ-[ɪX；-2x；+3XJ=(X；-4x,+3)(x-xl),

化简得V=储-4玉+3)Λ∙+(-∣M+2寸.

同理可得过B(A⅛,%)的切线方程是y=(x"4x2+3)x+(-∣*

由于两切线是同一直线，故片-4%+3=考-4々+3,

2