高考数学一轮复习 第9章 圆的方程讲义文（全国版）

§9.3圆的方程

【考试要求】1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方

程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

・落实主干知识

【知识梳理】

1.圆的定义和圆的方程

定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆

圆心C(a,6)

标准(^―a)2+(y—Z?)2=r(r>0)

半径为2

方程圆心c3'

一般x+y+Dx+Ey+F=0(Z^+^-^O)

半径r--4?

2.点与圆的位置关系

平面上的一点㈤与圆GG~a)2+(y—6)2=产之间存在着下列关系：

⑴1始＞/-=＞也在圆外,即(於一a)'+(%—6)在圆外；

(2)：MC\=ro也在圆上,即(&-a)"'+(%—在圆上；

(3)\MC\在圆内,即(加一a)'+(%—在圆内.

【常用结论】

1.以4(汨，%),6(次，％)为直径端点的圆的方程为(x—为)(x—质)+(7—%)(y—%)=0.

2.圆心在过切点且与切线垂直的直线上.

3.圆心在任一弦的垂直平分线上.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(I)确定圆的几何要素是圆心与半径.(V)

(2)圆/+/=才的半径为a(X)

(3)方程Ax+Bxy+Cy^-Dx+Ey+F^Q表示圆的充要条件是力=今0,6=0,〃+/一

4"＞0.(V)

(4)若点加施，㈤在圆外，则/+点+〃为+诙+»().(V)

【教材改编题】

1.圆f+/—4x+6y=0的圆心坐标和半径分别是()

A.(2,3),3B.(-2,3),小

C.(-2,-3),13D.(2,-3),y/13

答案D

解析圆的方程可化为(*-2)2+5+3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3),半径

2.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()

A.(X—1)2+(y—1)2=1

B.(x+l)2+(y+l)2=l

C.(x+1)'+(y+1”=2

D.a-l)2+(y-l)2=2

答案D

解析因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径二=归于=蛆，则该圆的方程为(x—

D2+(y-D2=2.

3.若坐标原点在圆(x—而'+3+42=4的内部，则实数卬的取值范围为

答案(一电，啦)

解析,•原点(0,0)在圆(x—向2+(/+加2=4的内部，

(0—ni)"+(0+/??)X4,

解得一帀〈成帀.

■探究核心题型

题型一圆的方程

例1⑴(2022•深圳模拟)已知圆M与直线3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切，圆心在直

线y=-x—4上，则圆"的方程为()

A.(x+3)2+(y-l)2=l

B.(x—3)~+(y+1/=1

C.(x+3”+(y+1)'=1

D.(x-3)2+(y-l)2=l

答案C

解析到两直线3*—4y=0,3x-4y+10=0的距离都相等的直线方程为3x—4y+5=0,

3A~4y+5=0,

联立

,y=—x—4,

x——3>

解得

尸T.

又两平行线间的距离为2,所以圆材的半径为1,从而圆"的方程为(*+3)2+5+1)2=1.

(2)已知圆的圆心在直线x—2y—3=0上，且过点1(2,-3),6(—2,—5),则圆的一般方

程为.

答案f+/+2x+4y—5=0

解析方法一设所求圆的标准方程为(x—aV+Q—6)2=#,

2—a2+—3—6'—r,

由题意得，-2-a2+-5—62=产，

W—26—3=0,

a=-1,

解得｛b=-2,

£=10,

故所求圆的方程为(x+l)2+(y+2)2=10,

即x+y+2%+4y—5=0.

方法二线段47的垂直平分线方程为

2x+y+4=0,

得交点坐标。(一1,-2),

又点。到点/的距离d=瓜,

所以圆的方程为(x+l)2+5+2)2=10,

即x+y+2x+4y-5=0.

【教师备选】

1.已知圆少经过三点力(0,1),8(2,0),以0,-1),则圆K的标准方程为()

答案C

解析方法一(待定系数法)

设圆C的一般方程为*+/+厠+。+尸=0(^+^—4冷0),

1+£+b=0,T，

则由题意得|4+2P+/、=0,解得《

£=0,

、-0,

1户=一1.

3

所以圆£的一般方程为1=0,

方法二(几何法)

因为圆£经过点前0,1),8(2,0),所以圆£的圆心在线段48的垂直平分线y—；=2(x-l)

上.

由题意知圆万的圆心在X轴上,

所以圆£的圆心坐标为(*0).

则圆£的半径为IEB\=«2-計+0-0号

所以圆K的标准方程为(*一|)+/=||.

2.在平面直角坐标系X。中，以点(0,1)为圆心且与直线x—制+26+1=0相切的所有圆中,

半径最大的圆的标准方程为(

A.f+(y—1>=4B.f+(y—1户=2

C.x+(y-l)2=8D.x+(j-1尸=16

答案B

解析由直线x—"+26+1=0可得该直线过定点加一1,2),设圆心为8(0,1),由题意可知

要使所求圆的半径最大，则&=I网=弋T—02+2—1三心,所以半径最大的圆

的标准方程为丁+3—1尸=2.

思维升华(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.

(2)待定系数法

①若已知条件与圆心(a,6)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a,b,r的值；

②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于〃E,尸的方程组，进而求出〃，E,b的值.

跟踪训练1(1)圆心在y轴上，半径长为1,且过点4(1,2)的圆的方程是()

A./+(y—2)2=1

B.V+(y+2)2=l

C.U-l)2+(y-3)2=l

D./+(y-3)2=4

答案A

解析根据题意可设圆的方程为v+(y—6)2=1,因为圆过点水1,2),所以J+(2—6)2=1,

解得方=2,所以所求圆的方程为f+(y-2)2=l.

(2)(2022•长春模拟)若圆，的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x—3y=0和x轴都相

切，则该圆的标准方程是()

A.(x—3"+(7—1>=1

B.(A-2)2+(y-l)2=l

C.(x+2)2+(y-l)2=l

D.(x-2)2+(y+1尸=1

答案B

解析设圆心坐标为(a,8)(a>0,6>0),

由圆与直线4x—3y=0相切，可得圆心到直线的距离d="三切

D

化简得14a—3引=5,①

又圆与x轴相切，可得|引=「=1,解得6=1或6=—1(舍去)，

把Z?=1代入①得4a—3=5或4a—3=-5,

解得a=2或a=-舍去)，

所以圆心坐标为⑵1),

则圆的标准方程为U-2)2+(y-l)2=l.

题型二与圆有关的轨迹问题

例2已知比△/%的斜边为4?,且/(一1,0),8(3,0).求：

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边比'的中点"的轨迹方程.

解(1)方法一设C(x,力，因为4B,C三点不共线，所以产领.

因为丄比；且6G〃1斜率均存在，

所以kac•kix=-1,

又廉二止7'解=言’

所以々.白=_1，

x+1才一3

化简得f+4-2x—3=0.

因此，直角顶点C的轨迹方程为

Y+7—2x—3=0("。).

方法二设4?的中点为〃由中点坐标公式得〃(1,0),由直角三角形的性质知|斷：=*/16|

=2.由圆的定义知，动点。的轨迹是以〃(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于4B,。三点不共

线，所以应除去与x轴的交点).

所以直角顶点C的轨迹方程为(x—l)2+/=4(yN0).

⑵设M(x,y),。(加，㈤，

因为5(3,0),〃是线段理的中点，

由中点坐标公式得x=W±,尸空，

所以xo—2x—3>y<)—2y.

由(1)知，点C的轨迹方程为(才-1)2+/=4(/0),

将x°=2x—3,%=2y代入得(2*-4尸+(2/)2=4,

即(x—2)2+/—1d。).

因此动点"的轨迹方程为

(x—2)?+/=1(/0).

【教师备选】

已知圆/+/=4上一定点力(2,0),6(1,1)为圆内一点，P,0为圆上的动点.

(1)求线段4户中点的轨迹方程；

⑵若NPBQ=90°,求线段图中点的轨迹方程.

解(1)设4户的中点为做x,y),由中点坐标公式可知点尸坐标为(2万—2,2力.

因为点尸在圆f+/=4上，

所以(2X-2)2+(202=4.

故线段/卩中点的轨迹方程为5一1)2+/=1.

(2)设図的中点为Mx,y).

在Rt△隰中，丨网=丨期|.

设0为坐标原点，连接6M图略)，

则ONLPQ,

所以丨阳2=1刎纟+|刚2

=|如2+|則2,

所以x+/+(%—1)"+(y—1)2=4.

故线段图中点的轨迹方程为

x+y—X—y—1=0.

思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：

(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.

(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.

(3)几何法：利用圆的几何性质列方程.

(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.

跟踪训练2(1)当点夕在圆/+?=1上运动时，连接它与定点0(3,0),则线段偌的中点M

的轨迹方程是()

A.(x+3)2+y—1

B.U-3)2+/=1

C.(2A~3)2+4y=l

D.(2x+3)2+4〃=1

答案C

解析设M(x,y),P(x.,jb),

因为制的中点为业

刖+3

x=2

所以

Jb+0

尸丁

\XQ=2,X—3,

所以_n

[yo—2y,

又因为夕在圆x+y=l上，

所以(2万-3)2+4/=1,

所以M的轨迹方程即为(2X—3)2+4/=1.

(2)自圆G(*—3尸+3+4)2=4外一点P(x,力引该圆的一条切线，切点为。，図的长度等

于点尸到原点。的距离，则点产的轨迹方程为()

A.8x-6y—21=0B.8x+6y-21=0

C.6x+8y-21=0D.6x-8y-21=0

答案D

解析由题意得，圆心C的坐标为(3,-4),半径r=2,连接户G8(图略)，

因为PQ\=\PO\,且闾丄8,

所以：如「+/=|闱2,

所以/+/+4=(x—3/+(y+4)z,

即6x-8y-21=0,

所以点夕的轨迹方程为6x—8y-21=0.

题型三与圆有关的最值问题

命题点1利用几何性质求最值

例3已知"(x,。为圆C：/+/—48-14了+45=0上任意一点，且点0(—2,3).

(D求，囲I的最大值和最小值；

⑵求博的最大值和最小值;

⑶求y-x的最大值和最小值.

解(1)由圆。：x+y-4才-14y+45=0,

可得(X—2)2+(y—71=8,

二圆心C的坐标为(2,7),半径r=2木.

又|QC\=72+27-3』啦,

，幽叱=4啦+2/=6啦，

%“=4帀-2m=2帀.

(2)可知曷表示直线，图的斜率k.

设直线)网的方程为y—3=4(x+2),

即攵x—y+24+3=0.

♦・•直线阳与圆。有交点，

,12洋+3£2m,

可得2—4忘“<2+，5,

二曷的最大值为2+小，最小值为2—41

(3)设y—x=b,则x—y+b=0.

当直线y=x+6与圆。相切H寸，截距8取到最值，.〉/27+〃-=2/,

弋1+-1

Ab=9或b=l.

的最大值为9,最小值为1.

命题点2利用函数求最值

例4(2022•湘潭质检)设点P(x,。是圆7+(y-3)2=1上的动点，定点4(2,0),6(一

2,0).则以•的的最大值为—

答案12

解析由题意，得瓦1=(2—3-y),

丽=(一2一3—力，

所以苏•~PB=x+y-\,

由于点P(x,。是圆上的点，故其坐标满足方程9+5—3)2=1,

故f=-(y-3)2+l,

所以広I•^=-(y-3)2+l+y-4

=6y—12.

易知2Wj<4,所以当尸4时，汤•麻)值最大，最大值为6X4—12=12.

延伸探究若将本题改为“设点产(无力是圆(*-31+/=4上的动点，定点力(0,2),6(0,

-2)"，贝lj|反1+成］的最大值为一

答案10

解析由题意，知万1=(一/2一力，

PB=(.—X,—2—y),

所以磁+崩=(一2%-2y),

由于点P(x,y)是圆上的点，

故其坐标满足方程(*—3/+/=4,

故y=—(X—3)2+4,

所以丨PA+PB\川4五4炉=2加一5.

由圆的方程(*-3尸+/=4,

易知1WA<5,

所以当x=5时，|羽+闲I的值最大，最大值为八;6X5—5=10.

【教师备选】

1.已知圆G(x—3)2+(y-4)2=1和两点4(一切,0),B(m,0)(®>0).若圆。上存在点卩，使

得/加3=90°,则小的最大值为()

A.7B.6C.5D.4

答案B

解析•.•在Rt△力阳中，原点。为斜边中点，

AB\=2皿(〃>0),

|OC\一良m=|网W丨g+r,

又C(3,4),r—l,

；.4W|6P|W6,即4W腔6.

2.若点产为圆/+/=1上的一个动点，J(-l,0),6(1,0)为两个定点，财川+阳|的最

大值为()

A.2B.2啦C.4A/2D.4

答案B

解析由已知得线段16为圆的直径.

所以丨川?+|阳|2=4,

由基本不等式得

(/)l-I-Z7M._刃,PB

(2丿、2-2，

所以|用|+|阳区2*,

当且仅当I協1=1阳1=/时，等号成立.

思维升华与圆有关的最值问题的求解方法

(1)借助几何性质求最值：形如口=口t=ax+by,(x-aT+S—O'形式的最值问题.

X-a

(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选

用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.

(3)求解形如|円川+|河(其中照/V均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路:

①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和

转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.

跟踪训练3⑴已知4(-2,0),8(2,0),点尸是圆C：(x-3)2+(y-小产=1上的动点，则

|"「+|朋2的最小值为()

A.9B.14C.16D.26

答案D

解析设。为坐标原点，P1x,力，

则AP\2+|BP\2=U+2)2+/+(%-2)2+/

=2(/+/)+8=2|^|2+8.

圆。的圆心为C(3,小)，半径为r=l,OC=4,

所以的最小值为(OC—二产二(4-1)2=9,

所以|明』团|2的最小值为26.

(2)已知x,y满足丁+7-4/-2"—4=0,则出誓邊的最大值为()

XIJ

172913JT3

A.2B.~^C.-D.—-

答案B

解析由V+/—4x—2y—4=0

得(x-2)2+(y-l)2=9.

2x+3y+3jT

=2+3X=2+3AA

x+3x+3

其中4(—3,1)为定点，点〃(x,y)为圆上一点.

设过定点力的直线厶y—l=A(x+3)与圆相切,

5"3

则近”=3,解得衣=土彳,

33

所以一

*2x+3y+3g曰亠/士丄317

所以一言一的最大值为2+3XT=—

x+344

课时精练

q基础保分练

1.圆/+/+4x-6y-3=0的圆心坐标和半径分别为()

A.(4,-6),16B.(2,-3),4

C.(-2,3),4D.(2,-3),16

答案C

解析将圆的一般方程化为标准方程得(1+2尸+(7-3)2=16,则圆心坐标为(一2,3),半径

为4.

2.圆(x—l)2+(y-2)2=l关于直线尸x对称的圆的方程为()

A.(入-2)2+(y-1尸=1

B.a+l)2+(y-2)2=l

C.(什2)旺(Li)'1

D.U-l)2+(y+2)2=l

答案A

解析已知圆的圆心C(l,2)关于直线尸x对称的点为C'(2,1),

所以圆(x—庁+你一2y=1关于直线尸了对称的圆的方程为(x—2)2+(7—1)2=1.

3.已知圆。的半径为2,圆心在x轴正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆。相切，则圆C的

方程为()

A.x+y—2x—3=0

B.f+/+4x=0

C.x+y+2x—3=0

D.f+/—4彳=0

答案D

3a+413a+4

解析设圆心为(a,0)(a>0)，由题意知圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=

=r=2,解得a=2,所以圆心坐标为(2,0),则圆。的方程为(*-2)2+/=4,化简得/+/

—4x=0.

4.点卩(4,一2)与圆f+/=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()

A.(x-2)2+(y+l)2=l

B.(A—2)2+(y+l)2=4

C.(x+4”+(j—2尸=4

D.U+2)z+(y-l)2=l

答案A

解析设圆上任一点为。(施，％),

国的中点为財(x,y),

C4+选

I*=2

则

—2+为

尸2

XO=2L4,

解得

yo—2y+2.

因为点。在圆「+/=4上，

所以/+/=4,

即(2x—4)?+(2y+2)2=4,

化简得(>-2)?+(y+1)2=1.

5.已知的三个顶点分别为4(-1,2),5(2,1),以3,4),则下列关于的外接圆圆

"的说法不正确的是()

A.圆"的圆心坐标为(1,3)

B.圆M的半径为季

C.圆"关于直线x+y=0对称

D.点⑵3)在圆"内

答案C

解析设△/回的外接圆圆M的方程为f+/+以+0+尸=o,

卩+4—什26+尸=0,%一2,

则,4+1+2什6+6=0,解得|f=-6,

〔9+16+3屏4-0,〔尸=5.

所以△/窮的外接圆圆，”的方程为f+/-2x—6y+5=0,即5—1)2+(y-3)物的圆心坐标

为(1,3),圆M的半径为乖，因为直线x+y=0不经过圆材的圆心(1,3),所以圆“不关于直

线x+y=0对称.因为(2—1/+(3—3)2=1<5,故点⑵3)在圆"内.

6.已知圆GV+/+―+ay—3=0(a,6为正实数)上任意一点关于直线厶x+y+2=0的

13

对称点都在圆江则尹準最小值为()

C.2D.4+24

答案A

解析由圆C：f+/+6x+ay—3=0可得圆心，(一?，一1)，

由题意可得，直线/经过圆的圆心《一次一胃，

b7

则一5—,+2=0,从而a+6=4,

所吟+%/+⑸(H)

屮+*3)由(4+2小)=1+乎，

当且仅当a=2(朮-1),6=2(3—朮)时等号成立.

所以丄+5的最小值为1+坐.

ab2

7.已知圆。的圆心在x轴上，并且经过点4(-1,1),庾1,3),若M5,4)在圆。内，则如

的取值范围为.

答案(0,4)

解析设圆心为C(a,0),由！。1=丨曲

得(a+l)2+『=(a—1y+32,解得a=2.

半径r=丨=72+1

故圆，的方程为(x-2)2+7=10.

由题意知(力L2)?+解得0＜成4.

8.已知4(0,2),点戶在直线x+y+2=0上，点0在圆C：x?+/—4x—2尸。上，贝『必|

+PQ的最小值是.

答案2小

解析因为圆C-./+/—4万—2尸0,

故圆C是以C(2,1)为圆心，半径的圆.

设点/(0,2)关于直线矛+什2=0的对称点为4(m，ri),

f勿+0〃+2

卜2=0,

5=—4

<解得

Z7~2

、加一0'

故4(-4,-2).

连接力。交圆C于。(图略)，由对称性可知

\PA\+\PQ\=\A,P\+PQ\^\A,Q\

=\A'C\-r=2\[5.

9.已知圆心为C的圆经过点/(一I，1)和8(—2,—2),且圆心在直线厶x+y—1=0上.

(1)求圆心为，的圆的标准方程；

⑵设点一在圆C上，点。在直线x-y+5=0上，求丨闻的最小值.

解(1)设圆的标准方程为

(X—a)'+(y—Z?)2=r(r>0),

•••圆经过点/(一1，1)和8(—2,-2),

且圆心在直线7：x+y—1=0上，

(—1-5'+(1—A)z=r,

4-2—a2+(―2—Z?)2=r,

La+6-1=0,

解得a=3,b=—2,r=5,

，圆的标准方程为(x—3)2+(y+2)2=25.

(2)•・•圆心。到直线x~y+5=0的距离为

公卓坦=5m>5,

.•.直线与圆C相离，

；•PQ的最小值为"一「=5小一5.

10.已知点知一3,0),8(3,0),动点已满足|朋=2|關.

(1)若点卩的轨迹为曲线G求此曲线的方程；

⑵若点。在直线厶：x+y+3=0上，直线厶经过点。且与曲线。只有一个公共点必求丨刷

的最小值.

解(1)设点。的坐标为(x,y),

则~x+3_2+y=2yl~%—3~2+y,

化简可得(x—5>+/=16,此方程即为所求.

(2)曲线。是以点⑸0)为圆心，4为半径的圆，如图所示.

由题意知直线厶是此圆的切线，

连接必

则QM=732T飢2=屮°『一］6,

当IQM最小时，丨&|最小，此时CQL厶，

財=罕=4隹

V2

则丨QM的最小值为寸32—16=4.

应技能提升练

11.点1为圆（彳-1）2+/=1上的动点，必是圆的切线，为1=1,则点〃的轨迹方程是（）

A.（x—1y+/=4

B.U-1）2+/=2

C.y—2x

D.y=~2x

答案B

解析♦.•|阳|=1,

点戶和圆心的距离恒为地，

又圆心坐标为（1,0）,设圖x,y）,

.•.由两点间的距离公式，得（X-1）2+/=2.

12.等边△?1比的面积为次及，且△?1%的内心为机若平面内的点A'满足丨网』=1,则法•砺

的最小值为（）

A.—5—2^3B.-5—

C.-6—2y/3D.—6—4^3

答案A

解析设等边州的边长为a,

则面积5=奉/=舶

解得a=6.

以所在直线为x轴，四的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.

由M为図的内心，

则M在勿上，且aif=^oc,

则4(-3,0),6(3,0),C(0,3小)，M(0,m),

由丨网1=1,则点4在以M为圆心，1为半径的圆上.

设N(x,y),则x+(y—^/3)'=1,

即1+/一2弧+2=0,

且4―1WK1+m，

又渤=(—3—x,—y),砺=(3—x,—y),

所以加,帥=(x+3)(x—3)+y

—x+/—9=2^3y—11

224义(镉-1)-11=-5-2小

13.已知圆C过点加1,一2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述不正确的是()

A.满足条件的圆C的圆心在一条直线上

B.满足条件的圆C有且只有一个

C.点(2,—1)在满足条件的圆C上

1).满足条件的圆。有且只有两个，它们的圆心距为4位

答案B

解析因为圆。和两个坐标轴都相切，且过点加1,-2),所以设圆心坐标为(a,-a)(a>0),

故圆心在直线y=-x上，A正确；圆C的方程为(x—a)2+(y+a)z=a2,把点"的坐标代入

可得a2-6a+5=0,解得a=l或a=5,则圆心坐标为(1,-1)或(5,—5),所以满足条件

的圆C有且只有