第06讲无理方程二元二次方程组列方程解应用题（十大题型）（原卷版）

第06讲无理方程二元二次方程组列方程解应用题（十大题型）1、理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念.2、经历探索无理方程解法的过程，领会无理方程“有理化”的化归思想.3、知道解无理方程的一般步骤，知道解无理方程必须验根，并掌握验根的方法.4、知道二元二次方程的概念和二元二次方程组的概念，能够判定给定的方程和方程组是否是二元二次方程或二元二次方程组；5、了解二元二次方程（组）的解的概念，能判别给定的数值是否是方程（组）的解；6、掌握由“代入法”解由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组；7、掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组；8、会熟练的列出方程组解应用题.并能根据具体问题的实际意义，检查结果是否合理.知识点一、无理方程方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.要点：简单说，根号下含有未知数的方程，就是无理方程．知识点二、有理方程整式方程和分式方程统称为有理方程.知识点三、代数方程有理方程和无理方程统称为代数方程.要点： 代数方程的共同点是：其中对未知数所涉及的运算是加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算.知识点四、解无理方程的一般步骤1.含有一个根式（根式内有未知数的）的无理方程的解题步骤：①移项，使方程左边是含未知数的根式，其余都移到另一边；②两边同时乘方（若二次根式就平方，三次根式就立方）得整式方程；③解整式方程；④验根；⑤写答案.要点：解简单无理方程的一般步骤，用流程图表示为：2.含有两个根式（根式内含有未知数）的无理方程的解题步骤：①移项，使方程等式的左边只含一个根式，其余移到另一边；②两边同时平方，得到只含有一个根式的无理方程；以下与1步骤相同.要点：解无理方程的关键在于把它转化为有理方程，转化的基本方法是对方程两边同时乘方从而去掉根号，对于简单的无理方程，可通过“方程两边平方”来实施。知识点五、代数方程分类整式方程整式方程有理方程有理方程分式方程分式方程代数方程无理方程无理方程知识点六、二元二次方程1.定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程.要点：（a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不为零），其中叫做这个方程的二次项，a、b、c分别叫做二次项系数，叫做这个方程的一次项，d、e分别叫做一次项系数，f叫做这个方程的常数项.2.二元二次方程的解能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解.要点：二元二次方程有无数个解；二元二次方程的实数解的个数有多种情况.知识点七、二元二次方程组1.概念：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，这样的方程组叫做二元二次方程组.要点诠释：不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，也是二元二次方程组.2.二元二次方程组的解:方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解.知识点八、二元二次方程组的解法代入消元法代入消元法解“二·一”型二元二次方程组的一般步骤：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；

②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；

③解这个一元二次方程，求得未知数的值；

④把所求得的未知数的值分别代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解；⑥写出原方程组的解.要点：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组；（2）“二·一”型方程组最多有两个解，要防止漏解和增解的错误.2、因式分解法(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解.(2)当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解.知识点九、方程（组）的应用应用二元二次方程组解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设未知数（2个）；（3）列二元二次方程组；（4）解方程组；（5）检验是否是方程的解以及是否符合实际；（6）写出答案.要点：一定要检验一下结果是否符合实际问题的要求.题型1：无理方程【典例1】．下列方程中，属于无理方程的是（

）A． B． C． D．【典例2】．下列方程中，无理方程是（

）A． B．C． D．【典例3】．下列方程中，无理方程是（

）A． B． C． D．题型2：解无理方程【典例4】．解方程：．【典例5】．．【典例6】．．题型3：无理方程有解问题【典例7】．下列关于的方程中，一定有实数根的是（

）．A． B． C． D．【典例8】．下列方程没有实数根的个数是（

）（1），（2），（3），（4）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【典例9】．下列方程有实数解的是（

）A． B． C． D．题型4：根据无理方程有无实数根求参数【典例10】．如果关于x的无理方程没有实数根，那么m的取值范围是．【典例11】．关于x的方程有两个不相等的实数解，则k的范围为．【典例12】．如果关于的方程无实数解，那么的取值范围是．题型5：二元二次方程【典例13】．将二元二次方程化为二个二元一次方程为．【典例14】．请写出一个解是的二元二次方程，这个方程可以是．【典例15】．可以根据方程的特点把它化成两个二元一次方程，它们分别是，．题型6：二元二次方程组【典例16】．下列方程中，是二元二次方程组的是（

）A． B．C． D．【典例17】．下列方程组中，属于二元二次方程组的是（

）A． B． C． D．【典例18】．下列方程组是二元二次方程组的是（

）A． B．C． D．题型7：二元二次方程组的解法【典例19】．解方程组：．【典例20】．解方程组.【典例21】．解方程组：【典例22】．解方程组：．题型8：二元二次方程组有解问题及求参数范围【典例23】．方程组有实数解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例24】．二元二次方程组的解的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【典例25】．方程组的实数解的个数是（）A．4 B．2 C．1 D．0【典例26】．方程组有四组不同的实数解，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．，且题型9：分式方程的应用【典例27】．“十一”黄金周，几名同学乘坐一辆客车前去“方特欢乐世界”游玩，客车的车费为180元，出发时，又增加了两名同学，结果每个同学比原来少分摊了3元车费，若设实际参加游览的学生共有人，则所列方程为（

）A． B． C． D．【典例28】．、两地相距48，一艘轮船从地顺流航行至地，比从地逆流航行至地少用，已知水流速度为，求该轮船在静水中的航行速度是多少?若设该轮船在静水中的速度为，则可列方程（

）A． B．C． D．【典例29】．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A． B．C． D．【典例30】．斑马线前“礼让行人”，不仅体现着对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段“A﹣B﹣C”横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12米，在绿灯亮时，小敏共用20秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.5倍，求小敏通过AB时的速度．设小敏通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列方程为．题型10：二元二次方程的应用【典例31】．小亮利用8个同样大小的长方形小木块拼成下面两个图形，经测量得知图②中的小正方形（阴影部分）的面积为，则一个长方形小木块的周长为.【典例32】．某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲，乙两种货车运货情况如下表：第一次第二次甲种货车（辆）25乙种货车（辆）36累计运货（吨）1328（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？（2）若某货主共有20吨货物，计划租用该公司的货车，正好（每辆货车都满载）把这批货物运完，则该货主有________种租车方案？（3）王先生要租用该公可的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费是甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？一、单选题1．下列方程中，是无理方程的是（

）A． B． C． D．2．已知下列关于x的方程：①；②+1=0；③+2x=7；④﹣7=0；⑤+=2；⑥﹣=．其中，是无理方程的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．下列方程中，有实数根的是（

）A． B．C． D．4．已知方程组把（2）代入（1）得到正确的方程是（）A．x2+2（1﹣x）=1B．x2+2（x﹣1）=1C．x2+（1﹣x2）=0D．x2+（1﹣x）2=15．方程x3﹣2x2=1的实数根的情况是（）A．仅有一正根B．仅有一负根C．一正根一负根D．无实数根6．下列方程组中，属于二元二次方程组的为（）A． B． C． D．7．如果是方程组的一组解，那么这个方程组的另一组解是（

）A． B． C． D．8．甲乙两班同学参加种花美化校园活动，已知甲班每小时比乙班多种4株，甲班种160株所用时间与乙班种120株所用时间相同，若甲班每小时种x株花，则根据题意列出方程正确的是（）A． B． C． D．9．为贯彻落实习近平总书记关于黄河流域生态保护和高质量发展的重要讲话精神，某学校组织初一、初二两个年级学生到黄河岸边开展植树造林活动．已知初一植树棵与初二植树棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树棵．求初一年级平均每小时植树多少棵？设初一年级平均每小时植树棵，则下面所列方程中正确的是（

）A． B． C． D．10．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0).如果，，且q>0，则=（

）.A．4 B．8 C． D．6二、填空题11．方程的解是．12．如果关于的无理方程有实数根，那么的值为．13．如果关于x的方程＝2﹣3a无实数根，那么a的取值范围是．14．写出一个由二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，使它的解是和．15．方程组的解只有一组，则的取值范围是．16．关于x、y的方程组有实数解，则m的取值范围是．17．“端午食粽”是节日习俗之一甲、乙两人每小时共包个粽子，甲包个粽子所用的时间与乙包个粽子所用的时间相等，若设甲每小时包个粽子，则可列方程为．18．阳阳是一个有爱心的同学，经常帮助同学，如下图，阳阳家到学校的路程是，到小明家的路程是．阳阳原来是步行上学，为让小明每天准时到学校上课，他坚持骑小三轮车接送小明，已知阳阳骑小三轮车的速度是他步行速度的3倍，接送小明上学要比他自己步行上学多用，求阳阳步行速度和骑车速度各是多少？如果设阳阳步行的速度为，根据题意，可列方程为．三、解答题19．解方程：20．解方程：．21．已知a＞1，解方程：＝x．22．解方程：4x2﹣10x+=17．23．下列方程组中，哪些是二元二次方程组？（1）（2）（3）（4）24．（1）解方程组：；（2）解方程组：．25．对于任意实数，方程总有一个根1．（1）求实数，；（2）当时，求方程的另一个根．26．有一直立杆，它的上部被风吹折，杆顶着地处离杆脚20dm，修好后又被风吹折，因新断处比前次低5dm，故杆顶着地处比前次远10dm，求此杆的高度．27．新冠肺炎疫情期间，某口罩厂为生产更多的口罩满足疫情防控需求，决定拨款560万元购进A，B两种型号的口罩机共30台．两种型号口罩机的单价和工作效率分别如表：单价/万元工作效率/（只/h）A种型号162500B种型号203000（1）求购进A，B两种型号的口罩机各多少台；（2）现有200万只口罩的生产任务，计划安排新购进的口罩机共15台进行生产．若工厂的工人每天工作10h，则至少购进B种型号的口罩机多少台才能在5天内完成任务？28．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1，所以y＝﹣1代入①得x＝4，∴方程组的解为，请你解决以下问题：（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组，（2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2的值与xy的值；（3）在（2）的条件