江西省上饶市2022-2023学年高一年级下册学期期末教学质量测试数学试卷（含答案）

江西省上饶市2022-2023学年高一下学期期末教学质量测试数学试卷

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

1、已知a,》eR，i是虚数单位，若a+2i与1+"互为共粗复数，则。一人=()

A.lB._iC.3D.-3

2、已知角。的始边在x轴的非负半轴上，终边经过点(-3,4)，则cosa=()

A.iB.-C.--D.--

5555

3、设/是直线，a，尸是两个不同的平面，下列命题中正确的是(

A.若/J_a,/_!_/?，则allpB.若a_L0,则/_L/?

c.若〃/&,////?,则a///?D.若gJ_0,〃/a，则/，尸

3A/5

4、已矢口sina+cosa------,则tana+―--=()

5tana

A.--B.-c.-lD.-

5254

5、双塔公园，位于上饶市信州区信江北岸.“双塔”指五桂塔和奎文塔，始建于明清年

间，是上饶市历史文化遗存的宝贵财富。某校开展数学建模活动，有建模课题组的学

生选择测量五桂塔的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，五桂塔垂直于水平面，

他们选取了与王桂塔底部。在同一水平面上的两点，测得跖=17米，在48两点

观察塔顶C点，仰角分别为45。和30。，ZADB=30°>则五桂塔的高度8是()

A.10米B.17米C.25米D.34米

6、函数/(x)=sin(s+0,>O,冏的部分图象如图所示，则下列结论正确的是

()

C.f（x）的图象关于点（"J对称D.〃x）的图象关于直线x=_：对称

7、如图，已知棱长为近的正方体A3CO-A4GA中，点M在正方体的棱C3、

CG、6上运动，W平面Agn，垂足为M则点N形成图形中的各线段长度之

C-2百D.百

71

在a,a+一上单调，而函数g（a）=sin<ixz（0>O）有最

6

大值1,则下列数值可作为勿取值的是（）

A.lB.lC.lD.2

42

二、多项选择题

9、复数z=l+2i，i是虚数单位，则以下结论正确的是（）

A.|z|=^5B.z>1+i

C.z的虚部为2D.z在复平面内对应点位于第一象限

10、如图，点P在正方体ABCO-AAGA的面对角线BG上运动，则下列四个结论一

定正确的有（）

A.4PHA,DB.gP〃平面ADD,A

C.AD,//平面BDPD.三棱锥A-D.PC的体积为恒定值

11、已知函数f(x)=2sin(2x+g］的图象向右平移网加>0)个单位得到函数g(x)的图

象，函数g(x)为偶函数，则m的值可以是()

A,-B.—C.—D,—

631212

12、在平面直角坐标系中，已知a=(cosa,sina)，Z?=(cos/7,2cos/?)，则下列结论正确

的是()

A.W的取值范围是［0,6］

B.当6/0时，在〃方向上的投影数量的取值范围是［0,1］

C.Ja-可的最大值是2+后

D.若c=x“+y/?，x2+5y2=2>则卜|最大值为2

三、填空题

13、如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形A9CZ/，且

O'A!HB'C»O,C=2>/2»A3,=2，则该平面图形的高为.

O'A'x

sinaH——ccG0,一

14、已知I12/5,I6九则cos2cr=.

15、如图，长方体A5C£>—A4GR中，6C=CC1=CO+1=2,则四面体的外

接球的体积为.

16、已知aABC是边长为2的等边三角形.如图，将△ABC的顶点A与原点重合，AB

在x轴上，然后将三角形沿着x轴正方向滚动，每当顶点A再次回落到x轴上时，将相

邻两个点A之间的距离称为“一个周期”，则完成“一个周期”时，顶点A的路径长度为

四、解答题

17、已知“=(加,2)，b=(—2,l)，c=(3,2)•

(1)若a〃仅+2c),求实数加的值；

(2)若(a-b)_Lp+c),求实数的值.

18、设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,"c,已知

(a-2Z?)(cosAcosB-sinAsinB)=ccosA.

(1)求角C；

(2)已知&=2，》=3，点。是AB边上的点，求线段CD的最小值.

19、如图，正四棱台ABC。—AgCQ中，24月=3AB,4后=：44，。吠=：£>6.

(1)证明：4。〃平面3CFE；

（2）若r>A=A0=2,求异面直线。2与所成的角的余弦值.

20、如图，四棱锥。一ABC。中，尸4,平面488,四边形ABCO为菱形，且

45=2，/BAO=60。，PA=?6E是棱PC上的一点，PE=3EC.

（1）证明：PCJ_平面EB。；

（2）求三棱锥E-QBZ）的体积.

21、筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得

到使用（图1）.如图2,现有一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转1

圈，筒车的轴心。距离水面的高度为2米，若以盛水筒P刚浮出水面在点A处时为初

始时刻，设经过f秒后盛水筒尸到水面的距离为/（/）（单位：米）（在水面下则/（/）

为负数）.筒车上均匀分布着12个盛水筒，假设盛水筒在最高处时把水倾倒到水槽

上。

（1）求函数/⑺的表达式；

（2）求第一筒水倾倒的时刻「和相邻两个盛水筒倾倒的时间差；

（3）若某一稻田灌溉需水量为100立方米，一个盛水筒倾倒到水槽的水约为0.01立

方米，求需要多少小时才能完成该稻田的浇灌。（精确到01小时）

图1图2

22、已知函数/(x)=J^sirtrcosx-J5cos2》+1-

(1)求函数/(x)的单调递增区间；

(2)若g(x)=/(x)+/(x+：)一/(x)./x+(),存在x-weR,对任意xwR,有

g(xj〈g(x)wg(x2)恒成立，求|西-目的最小值；

(3)若函数尸(%)=_/21+1)+0[/[+1)+2—3在(0,祝)(〃eN+)内恰有2023个

零点，求。与〃的值.

参考答案

I、答案：c

解析：因为a+2i与1+4互为共胡复数，所以a=l，b=-2,所以a-A=3.故选C.

2,答案：D

3

解析：由已知得，cosc=/一土故选D.

T3)2+42

3、答案：A

解析：根据线面垂直的性质可知A正确.故选A.

4、答案：B

解析：因为sina+cosa=^^，'(sina+cosaf=2，

575

BPsin2a+2sinacosa+cos2a=—，/.sinacosa=—»tana+-—=------------=—•故选

55tanasinacosa2

B.

5、答案：B

解析：设cr>=x，在△AC£>中，NCZM=90。，NC4D=45。，则4)=x，在△BCD

中，/C£)B=90。，NC8D=30。，则因为ZAO5=30。，所以由余弦定理

得：X?+3x?-2x.百xcos30。=17?，整理得：%2=172»解得x=17.故选B.

解析：由图象可得，/(x)=sin(2x\J,可知A正确.故选A.

7、答案：C

解析：点N形成图形是棱C8、CCrCD在平面A40上的射影线段构成的，由于平

行线段在同一平面内的射影长度是相等的，所以CB、CC,.CO在平面上的射

影线段长度分别等于棱44在平面AAA上的射影线段长度.正方体

ABCD-棱长为友,.•.△ABQ是边长为2的等边三角形,

:.HA+HB、+HD[=3x36=26("是△ABQ的中心).故选C.

解析：由余弦函数的性质可知,当〃x）在外«+2上单调时,

2。a—兀、2k/u

6kn7ikit5兀

(ZeZ),得ae—+—,一+—

,71,212212

2。+—W%兀+兀

6

由于选项中0取1,1,2,其区间端点的前缀分别是如，竺,竺,也，区间

42842

角的终边呈周期性变化，因此只需考虑存在ZeZ，使得

71kitnAkit5兀、66

—E------1--&>,------1---<---®|,ZGZ,则左取非负整数,且

2212J(21276k+56人+1

666_6_6_666

kwZ，co的取值区间是…，选项中

71，7万'百2351929525

只有0=2适合，故选D.

9、答案：ACD

解析：由复数的有关概念可知，ACD正确.故选ACD.

10、答案:BCD

解析：显然A错误，B正确；平面BDP与平面8DG是同一个平面，C正确；三棱锥

A-RFC换底成三棱锥P-A〃C,则底面积为定值，而因为BQ〃平面AQC,可知尸

到平面AD,的距离也是定值，D正确.故选BCD.

11、答案：CD

解析：由已知得g(x)=2sin2(x-m)+^,又函数g(x)为偶函数，则

—2m+—=lat+—>keZ，m————■—,《wZ，CD正确，故选CD.

32212

12、答案:ACD

解析：问=G|cos尸|e[o,石],A正确；设Q4=a，OB=b(0为坐标原点)，由于

|r/|=1»b的坐标满足丁=2X(XG[-1,1])，则点A在以。为圆心的单位圆上运动，点、B

在线段上运动，由投影数量的几何意义可知其取值范围是[-1,1],B错误；结合|2a-0

的几何意义或利用囚-小阿+欠=2+6可知C正确；

|c|<|^|+|y/?|<|x|+V5|y|<2，D正确.故选ACD.

13、答案：472

解析：该平面图形是直角梯形0ABe其高为℃=4及・

14、答案：3百+4

10

解析：由得,

XVsinfa+—>1=—»则cos2'a+—=1-2sin2(a+—=-»

I12)5I12jI12)5

.(兀]4(7C)Tl

sin2a+——|=—，cos2a=cos|21aH----------

I12j5[I12j6

TT(ITA7T3百41373+4

cos—+sin2a-\——sin——x—+—X—=---------

61⑵6525210

15、答案：史

2

解析：C£>=1，CC,=2,BC=2,四面体A用〃C的外接球与长方体的外接球是同一

个球，其半径为2,其体积为弓兀［31=史.

23⑶2

16、答案：皿

3

解析：顶点A先以2为半径绕点B顺时针旋转型弧度,再以2为半径绕点。顺时针

3

旋转型弧度，其路径长度为2X@X2=^

(2)-5

解析：(1)由已知得，Z?+2c=(4,5)，

a〃(8+2c)，.•.5/篦=8，

8

m=—

5

(2)由已知得,=(加+2,1),Z?+c=(l,3)

(a-〃)_L(〃+c),/.m+2+3=0

m=—5

18、答案：(1)-

3

(2)国

7

解析：(1)由(a-2/?XcosAcos8-sinAsinB)=ccosA得,(a-2。)cos(A+8)=ccosA

A+3+C=7i，cos(A+B)=-cosC

/.(2Z?-6r)cosC=ccosA

又由正弦定理，得(2sinB-sinA)cosC=sinCcosA，即

2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC，

2sinBtosC=sin（A+C），

A+B+C—TC.，

.*.sin（A+C）=sinB,即2sinBcosC=sinB,

0v5VTl，

「.sinBwO，

/.cosC=—，

2

•.0VCV7T，

:.c=-.

3

（2）由已知及余弦定理可得，。2=/+。2一2必85。=4+9-6=7，c=币.

方边为最大边，，角8为最大角，

而4+。2>》2，.公46。为锐角三角形，

.•.。。最小时为43边上的高4，

S》Bc=ga"sinC=；c%

6sin—=A/7/Z>h-

37

•••CD的最小值为逑1.

7

19、答案：（1）证明见解析

⑵-

8

解析：（1）证明：正四棱台ABC。一45GA中，24月=3AB,A.BJ/AB

22

:.AB=-A,B,，又=

.•.AB=AE，.•・四边形AAgB为平行四边形

A4,//BE，又.A41a平面BCFE,BEu平面BCFE,

/.AAJ/平面BCFE

AD/IBC»AD<Z平面8CFE,BCu平面BCFE,

ADU平面BCFE

又A4,\AD=A,A41U平面A£)AA，ADu平面ADD^，

.1.平面ADDAH平面BCFE

AQu平面AZ)AA

A\DH平面BCFE

(2)在等腰梯形AOAA中作。例〃A41交AQ于点M,由(1)知，AA.HBE

BE//DM，

；.NMDQ就是异面直线DD,与EB所成的角,

DD\=AD=2,2^0,=3AD,

:./\MDD,中，DM=DD[=2,如=1,

DM?+DD；-MD；7

cos/MDD1=

2DM•DD、8

异面直线D5与所成的角的余弦值为1.

20、答案：（1）证明见解析

⑵-

2

解析：（1）证明：连接AC交8。于点。，取PC中点F,连接OF,0E,

p

El,平面ABC。，瓦)u平面ABC。，

:.PA1BD>

四边形ABC。是菱形，：.BD_LAC，

又PACAC=A，PA.ACu平面网C，

平面PAC,

:.BDLPC

AO=OC，PF=FC，

0F=-PA=43

2

AB=AD=2，BAD=60°>：.CO=AO=^

P£=』PC且尸为PC中点，为FC中点，

4

又CO=FO，

:.OE±PC

OE、3。匚平面8。石，OEBD=O,

二PC_L平面BDE；

(2)^E-PBD=~1^C-PBD~~1^P-BCD=TXTX^X^ABCD=^-X—x2V3x—x2x^3=-^

,I-rtJIJ乙乙

21、答案：⑴/0=4sin(舒-扑2

(2)5(秒)

(3)13.9小时

解析：(1)由已知可得43=巴，

盛水筒运动的角速度勿=0=二,

6030

秒后盛水筒转过的角度为2/，

30

此时可得以OP为终边的角』_一四

306

（2）当第一筒水到达最高位置时，是第一次取得最大值，此时工”巴=工，得f=20

3062

（秒），

相邻两个盛水筒倾倒的时间差为名+4=5（秒），

1230

（3）完成该稻田的浇灌需倾倒此=10000筒水，所需时间为

0.01

20+（10000-1）x5=50015秒，约为13.9小时.

22、答案：（1）「一工+也,型+E］（keZ）

88Jv'

（2）—

8

、3

（3）々=4，n=2023>或。=—，n=1012

2

解析：（1）/（x）=V^silLXcosx-V2COS2X+

rr

令-色+2E<2x——<-+2kK(keZ)，^--+kn<x<—+kit(keZ)

2488v'

函数的单调递增区间为-2+E,里+E(^eZ).

88

⑵g(x)=/(x)+/(x+"—/(x)4+：)

=sin2x-：)+cos(2x-：J-sin2x-jcos(2x-：]

☆sin12x-；1+cos(2x-：)=/,=>/^sin2xG[-5/^,V^]),则

sinfzx-->Icosf2%--^=-——-

I4jI4j2

g^x)=h(t)=~t2+t+^=~(t-1f+l

可得，当％=1即sin2冗时，g(%)=1；

2\/max

当f=_夜即sin2x=-l时，g(x)mm=-&-；

,存在X],x2eR,对任意xeR，有g(xjWg(x)Wg(w)恒成立，