高中数学选择性必修三：6-2-4 组合数（教案）

第六章计数原理

课时6.2.2排列与组——组合组合数

本节目标

1.理解组合的概念，掌握组合数公式及组合数性质.

2.正确认识组合与排列的区别与联系.

3.能应用组合数公式解决一些简单的实际问题。

基础过关练

题组一对组合概念的理解

1.从2,3,5,7,11,13,17,19这八个数中任取两个,则下列问题是组合问题的为()

A.相加，可以得到多少个不同的和

B.相乘,可以得到多少个不同的积

C.相减,可以得到多少个不同的差

D.相除,可以得到多少个不同的商

2.判断下列问题是组合问题还是排列问题.

(1)若集合A={a,b,c,d},则集合A的含有3个元素的子集有多少个？

(2)某铁路线上有4个车站,则这条铁路线上需准备多少种车票？

⑶从7本不同的书中取出5本给某同学；

(4)三个人去做5种不同的工作,每人做1种,有多少种分工方法？

(5)把3本相同的书分给5个学生,每人最多得一本,有多少种分配方法？

题组二组合数公式及其性质的应用

3.若C歹2=c∕-ι,贝!∣X=()

A.-lB.4

CT或4D.1或5

4.已知球+「C后=以,则n=()

A.14B.15C.13D.12

5.(多选)(2020山东德州高二下月考)下列关系中，能成立的是()

n

A.CyC如B.Cy=f；,,

C∙m!普D.AWnA”=A机

6.不等式7⅛4*的解集为____________.

C%LXCx

7.Ci+Cf+∙∙∙+C20=.

8.(1)求值瑞F+C*V

⑵已知⅛r⅛=τ⅛,求管.

vɪeV<61LUL7

9.证明:篇∙C骏=C4％.

题组三无限制条件的组合问题

10.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法

共有（）

A.60种B.70种

C.75种D.150种

IL从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖,2名二等奖,3名三等奖，则可能的决赛结果共有

种.（用数字作答）

12.已知集合A=B=（0,1,2,9},f:A-B为从集合A到集合B的一个函数,那么该函数的值域的不同情况

有种.

13.平面内有12个点,其中有4个点共线,此外再无3点共线，以这些点为顶点,可以得到多少个不同

的三角形（位置不同的三角形视为不同的三角形）?

题组四有限制条件的组合问题

14.从3名教师和5名学生中选出4人参加“我和我的祖国”快闪活动.要求至少有一名教师入选,

且入选教师人数不多于入选学生人数,则不同的选派方案的种数是（）

Λ.20B.40C.60D.120

15.某市为了提高整体教学质量,在高中率先实施了市区共建“1+2”合作体,现某市直属高中学校选

定了6名教师和2名中层干部去2所共建学校交流学习，若每所共建学校需要派3名教师和1名中层

干部,则共有多少种选派方法（）

A.160B.80C.40D.20

16.正方体A1B1C1D-ABCD中,P.（i=l,2,••∙（12）是棱的中点,在任意两个中点的连线中，与平面AiClB平

行的直线有（）

A.36条B.21条D.6条

17.如图,机器人亮亮沿着单位网格从A地移动到B地,每次只移动一个单位长度,则亮亮从点A移动

到点B最近的走法共有种.

18.将7个大小、材质完全相同的小球分别编号为1,2,4,5,6,9,10,现从中取出3个,则它们的编号

之和为奇数的取法共有种.

19.蓝天救援队有男救援员8名，女救援员4名，现选派5名救援员参加一项救援.

(1)若男救援员甲与女救援员乙必须参加,共有多少种不同的选法？

(2)若救援员甲、乙均不能参加,共有多少种不同的选法？

(3)若至少有一名男救援员和一名女救援员参加,共有多少种不同的选法？

能力提升练

题组一有限制条件的组合问题

L（*?）安排A,B,C,D,E,F共6名义工照顾甲，乙,丙三位老人,每两位义工照顾一位老人,考虑到义工

与老人住址距离问题,不安排义工A照顾老人甲，且不安排义工B照顾老人乙,则不同的安排方法共有

（）

Λ.30种B.40种C.42种D.48种

2.（、*?）若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的

箱子里,并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张,恰有1人摸到自己写的卡片的种数为（）

ʌ.20B.90C.15D.45

3.（多选）（*?）从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营,规定男、女生至少各有1人参加,则不同

的选法总数应为（)

ʌ.GCKKB∙Gc升&熊+Gcg

rr4_p4_p4

v.LI2'-*7ŋʒD.G玛(C∣+CjC⅛+C∣)

4.（#?）现有6名学生,其中3人只会唱歌,2人只会跳舞,剩下1人既会唱歌又会跳舞,选出2人唱

歌,2人跳舞,共有种不同的选法.（请用数学作答）

5.（*）作家马伯庸小说《长安十二时辰》中,靖安司通过长安城内的望楼传递信息.同名改编电视剧

中，望楼传递信息的一种方式如下：如图所示,在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴

影代表紫色）之间变换,从而一共可以有512种不同的颜色组合,即代表512种不同的信息.现要求每

一行,每一列上至多有一个紫色小方格（如图所示即满足要求）.则一共可以传递一种信息.（用数字

作答）

6.（#?）一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球.

⑴从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种？

（2）若取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有多少种？

题组二排列与组合的综合问题

7.（*?）从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数

为（）

A.300B.216C.180D.162

8.（#?）甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上,若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站

的位置,则不同的站法总数是（）

A.90B.120C.210D.216

9.（、*?）如果一个四位数的各位数字互不相同,且各位数字之和等于10,则称此四位数为“完美四位

数”（如1036）,则由数字0,1,2,3,4,5,6,7构成的“完美四位数”中,奇数的个数为（）

A.12B.44C.58D.76

10.（#?）如图,一个地区分为5个区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色.现有4种颜

色可供选择,则不同的着色方法共有种.

11.（*）某部门共有4名员工,某次活动期间,周六、周日的上午、下午各需要安排一名员工值班,

若规定同一天的两个值班岗位不能安排给同一名员工,则该活动值班岗位的不同安排方式有多少种？

答案全解全析

6.2.3组合

6.2.4组合数

基础过关练

1.B判断一个问题是不是组合问题,关键是看该问题是否与顺序有关，由于减法与除法不满足交换

律,取出的两个数就与顺序有关,因此不是组合问题,故C、D不是组合问题;加法与乘法满足交换律,

与取出的两个数的顺序无关,但是由于给出的8个数中,5+11=3+13,11+19=13+17等,故相加,可以得

到多少个不同的和这个问题不是纯粹的组合问题，只有相乘,可以得到多少个不同的积这个问题是组

合问题,故选B.

2.解析(1)因为集合Λ的任一个含3个元素的子集与元素顺序都无关,所以它是组合问题.

(2)因为车票与起点、终点顺序有关,例如“甲一乙”与“乙一甲”的车票不同,所以它是排列问题.

(3)因为从7本不同的书中取出5本给某同学,取出的5本书并不考虑书的顺序,所以它是组合问题.

(4)因为从5种不同的工作中选出3种,按一定顺序分给三个人去做,所以它是排列问题.

(5)因为3本书是相同的,把3本书无论分给哪三个人都不需要考虑顺序,所以它是组合问题.

OQ.D∙∙∙r∙χ-2--1∩92x-l，

χ-2=2χ-l或χ-2+2χ-l=9,

解得X=-I或x=4.

经检验,只有x=4符合题意，.∙.x的值是4.

故选B.

4.D由题知,诔+以=鬣+1，由组合数的性质知,喘+以=鬃+1，

所以废+1=Cz+1，所以6+7=n+l,得n=12.

故选D.

5.BCD对于A,令n=3,m=l,可得等式玛不成立,故A错误；

对于B,由组合数的计算公式知C普丁故B正确；

对于C,由排列数与组合数的定义知暮一大X∙6m”一!故C正确；

对于D,A附mA5ΓF⅛T+湍MT=7≤+AM∣,故D正确•

故选BCD.

6.答案{5,6,7,8,9,10,11}

解析将原不等式化简得

624/240

x(x-l)(χ-2)X(X-I)(χ-2)(χ-3)X(χ-l)(x-2)(x-3)(χ-4)'

易知x25,整理得X2-11X-12<0,Λ5≤X<12.

又∙.∙χ∈N*,.∙.原不等式的解集为{5,6,7,8,9,10,11}.

7.答案165

解析由组合数的性质可得，

CM卜•••+%=中髭+•••+%=中鬃+…+/=吟啜翳=165.

5-n≤ni

n

θ^J°'1解得4≤n≤5,∙,∙n∈N*,Λn=4或n=5.

9-n<n÷1,

{9-∏≥0,

当n=4时,原式=己+Cg=5;当n=5时,原式=Cg+C[=16.

(2)由题意可知in的取值范围为{m∣0WmW5,m∈N},

山已知得?n!(5-m)!_m!(6-m)!7m!(7-m)!

5!6!10x7∙

即10m=(7~m)(6~m),

整理得m2-23πι+42=0,解得m=21(舍去)或m=2,ΛCgl=C∣=28.

9证明Ck∙crnΛ=———•____(n-k);_______—_______

,nn-kk!(n-k)!(m-k)!(n-m)!fc!(m~k)!(n-m)!,

n

cm.Ck-'.m!一n!

nmml(n-m)!k!(m-k)!kl(n-m)!(m-k)!,

所以CQC峻=优•哈.

10.C从6名男医生中选出2名男医生有髭种选法,从5名女医生中选出1名女医生有玛种选法,所

以不同的选法有髭玛=15X5=75种,故选C.

11.答案60

解析分三步:第一步,一等奖有玛种可能的结果;第二步,二等奖有髭种可能的结果;第三步,三等奖

有◎种可能的结果,故共有玛髭髭=60种可能的结果.

12.答案15

解析因为f:A-B为从集合A到集合B的一个函数，

所以该函数的值域可能包含1个,或2个,或3个,或4个元素，

因此值域的不同情况有禺+C>G+以=15种.

13.解析第一类:从共线的4个点中选取2个点，另外8个点中选1个点作为三角形的顶点,共有

鬃玛=48个不同的三角形；

第二类:从共线的4个点中选取1个点,另外8个点中选2个点作为三角形的顶点,共有最CAlI2个

不同的三角形；

第三类:共线的4个点不选,仅从另外8个点中选3个点作为三角形的顶点,共有喘=56个不同的三角

形.

由分类加法计数原理,知不同的三角形共有48+112+56=216个.

14.C由题意可分成两类：

(1)1名教师和3名学生,共CKA30种方案；

(2)2名教师和2名学生,共鬃髭=30种方案.

故不同的选派方案的种数是30+30=60.

故选C.

15.C先派3名教师和1名中层干部去其中一所学校,有自G种选派方法,剩余的3名教师和1名中

层干部直接去另一所学校,只有1种方法,所以共有以0=40种选派方法.故选C.

16.B与平面A1CiB平行的平面有平面PRP8,平面PIOPIIP6,平面P9P5P2P3PvPi2,

.∙.从这3个平面上任取两个棱的中点的连线均与平面A1C1B平行，.∙.共有髭+G+C=21条直线与平面

A1C1B平行.故选B.

17.答案80

解析分三步:①从A到C,亮亮要移动两步,一步是向右移动一个单位,一步是向上移动一个单位,此

时有最种走法；

②从C到D,亮亮要移动六步,其中三步是向右移动,三步是向上移动,此时有髭种走法；

③从D到B,由①可知有禺种走法.

由分步乘法计数原理可知,共有GC式户80种不同的走法.故答案为80.

18.答案19

解析由题知,7个小球中编号为奇数的小球有3个,编号为偶数的小球有4个，

所以取出的3个小球的编号之和为奇数有以下两类：

第一类,3个小球的编号中有1个为奇数,2个为偶数,对应的不同取法共有W鬣=3X6=18和I

第二类,3个小球的编号中有3个为奇数,0个为偶数,对应的不同取法共有CK刃1X1=1种.

根据分类加法计数原理,三个小球的编号之和为奇数的取法共有18+1=19种.

19.解析(1)共有12名救援员，若甲、乙必须参加，则再从剩下的10名中选3名即可,有量o=12O种

不同的选法.

(2)若甲、乙两人均不能参加,则从剩下的10名中选5名即可,有底o=252种不同的选法.

(3)由总的选法数减去5名都是男救援员的选法数,得到的就是至少有一名男救援员和一名女救援员

参加的选法数，即有C%-源=736种不同的选法.

能力提升练

1.C6名义工照顾三位老人,每两位义工照顾一位老人,共有髭鬃=90种安排方法，

其中义工A照顾老人甲的安排方法有玛鬣=30种，

义工B照顾老人乙的安排方法有心鬣=30种，

义工A照顾老人甲，同时义工B照顾老人乙的安排方法有禺禺=12种，

所以符合题意的不同的安排方法有90-30-30+12=42种.故选C.

2.D根据题意,分2步：

第一步,先从5个人里选1人恰好摸到自己写的卡片,有心种选法，

第二步,对于剩余的4人,因为每个人都不能选自己写的卡片,所以第一个人有3种选法,卡片被选走

的那个人也有3种选法,剩下的2人选法唯一,所以不同的选法有禺X禺XC/45种.

故选D.

3.BC(1)分三类:3男1女,2男2女,1男3女,所以男、女生至少各有1人参加的选法总数为

C玛+C犯＞G熊.

(2)任选4人的方法数为C&减去其中全部为男生或全部为女生的方法数第+禺,故不同的选法总数

应为CA-C齐禺.经检验,A,D不正确，

故选BC.

4.答案12

解析根据题意,分三种情况：(1)既会唱歌又会跳舞的人未选中，有髭C歼中选法；(2)选中既会唱歌又

会跳舞的人唱歌,有禺第种选法；(3)选中既会唱歌又会跳舞的人跳舞,有C犯专种选法.

故选法总数为C犯尹禺C＞髭的=12.

5.答案34

解析显然,紫色小方格最多有3个.分类讨论：

(1)若无紫色小方格,则只有1种结果；

(2)若有且只有1个紫色小方格,则有玛=9种结果；

(3)若有且只有2个紫色小方格，先选出有紫色小方格的那两行，有髭=3种选法,这两行的排法有

CK齐6种,此种情况下共有18种结果；

(4)若有且只有3个紫色小方格,则有禺©*=6种结果.

综上,一共有34种结果,即一共可以传递34种信息.

6.解析(1)从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法可分为三类:红球4个,红球3个和白球

1个,红球2个和白球2个.

若取出的为4个红球,则取法有1种；

若取出的为3个红球和1个白球,则取法有第X(⅛=24种；

若取出的为2个红球和2个白球,则取法有鬣X髭=90种.

根据分类加法计数原理,红球的个数不比白球少的取法有1+24+90=115种.

(2)使总分不少于7分有三种情况,4个红球和1个白球,3个红球和2个白球,2个红球和3个白球.

若取出的为4个红球和1个白球,则取法有以禺=6种；

若取出的为3个红球和2个白球,则取法有第X髭=60种；

若取出的为2个红球和3个白球,则取法有鬣Xa=I20种.

根据分类加法计数原理,总分不少于7分的取法有6+60+120=186种.

7.C根据题意,分两类:当偶数取2,4时,组成的四位数有鬣A£=72个;当偶数取0,2或0,4时,考虑

首位,只有三个数可排,故组成的四位数有2釐Ag*=108个.

因此共有72+108=180个没有重复数字的四位数.故选C.

8.C因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上,且每级台阶最多站2人，

所以可分为两类:第一类，甲、乙、丙各自站在一级台阶上,共有以A,=120种站法；

第二类,有2人站在同一级台阶上,剩余1人独自站在一级台阶上,共有釐髭A,=