高考数学新增分大一轮新高考（鲁京津琼）专用讲义 探究课 高考中解析几何问题的热点题型

专题探究课五高考中解析几何问题的热点题型

丫2

1.（2015•全国I卷）在直角坐标系中，曲线C：夕=：与直线/：y=kx+a（a>^

交于A1,N两点，

（1）当左=0时，分别求。在点〃和N处的切线方程；

（2»轴上是否存在点P,使得当左变动时，总有NOPM=NQPN?说明理由.

解（1）由题设可得MQW，。）,N（—2\[a,a）,

或M{—2\/tz,a）,N（2\ja，a）.

又y'=}故产[在x=2〃处的导数值为必C在点（2区0处的切线方程为y

—2\「），

即\[ax-y—a=0.

尸亍在X=-2或处的导数值为一M，。在点（一2必〃）处的切线方程为歹一4=

一而（工+2川）,

即\fajc+y+a=0.

故所求切线方程为\^ax—y—a=0和y!ax+y+a=0.

（2）存在符合题意的点，证明如下：

设P（0,3为符合题意的点，M（xi,切），N（X2,玖），直线尸PN的斜率分别为

k\，ki.

将^=丘+。代入。的方程得,一4代一4a=0.

故x\+工2=4左，x\X2=—^a.

从而偽+左2=2+^

XlX2

2Ax1x2+Qa-b>3+x2）k（a+h）

X]X2a

当b=-a时，有肌+依=0，

则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，

故4OPM=4OPN,所以点尸（0,一。）符合题意.

2.（2016・北京卷）已知椭圆C：（+*=1过点/（2,0）,仇0,1）两点.

（1）求椭圆。的方程及离心率;

(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线山与夕轴交于点M,直线尸8与

x轴交于点M求证：四边形的面积为定值.

(1)解由题意知a=2,b=\.

所以椭圆方程为。+产=1，又0=42_岳=3.

所以椭圆离心率6=£=e.

⑵证明设P点坐标为(xo,yoXxoVO,次VO)，则蟠+4为=4,由8点坐标(0,1)

得直线P8方程为：y一1=当二%—0),

XQ

令夕=0,得％v=_X。一,从而|/N|=2—XN=2H~一独一,

1-yoyo~1

由A点坐标(2,0)得直线PA方程为歹一0=」^。-2),

xo~2

2yo

令x=0,得JM=f

2~xo

从而16M=1-yM=1+2"，

xo~2

所以S四边形XBNM=3⑷V],\BM\

1(2+F+四

yo—UIX0—2J

_斎+切8+4%吵()-4xo-8yo+4

2(xoyo~XQ~2yo+2)

=2¥吵02刈-4歹0+4=2

xoyo-xo-2yo+2

即四边形ABNM的面积为定值2.

3.已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点P(2,3),

且它的离心率e=1.1.

2VV/

(1)求椭圆的标准方程；

(2)与圆(x—1)2+产=1相切的直线/：y=Ax+f交椭圆于M,N两点，若椭圆上一

点C满足南+丽=2沆，求实数2的取值范围.

22

解⑴设椭圆的标准方程为三十9=1(。>6>0),

L

ab乙

[4,3_1

Q，b-

從=8,

由已知得:c_l解得■

a~222=6,

c2=a2—b2,

所以椭圆的标准方程为?+}=1.

86

(2)因为直线/：y=Ax+f与圆。-1)2+产=1相切,

所以指=22%=个样0)，

把y=Ax+f代入5+与=1并整理得:

86

(3+4左2.2,|_8to+(4/2-24)=0,

火kt

设M(x”y\),N(X2,yi),则有xi+x2=---------

3+4疋

y\~\~yi=kx\~\-t~\~kx2~\~t=k[x\+x2)+2f=,

3+4左2

因为4OC=(X1+X2，"+")，

f-8kt6t]

所以d(3+4F)晨(3+4F)J,

又因为点。在椭圆上，所以，

2

8FF।6於_,、12於77^------------

(3+43)2，(3+4庐)2423+4R冃2+丄+]

t2

因为F>0,所以G2+l+lAl,

产

所以OV/l2V2,所以人的取值范围为(一/，0)U(0,/).

4.已知椭圆。的方程为：N+2产=4.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)设。为坐标原点，若点/在直线丁=2上，点8在椭圆。上，且。4丄。以

求线段N8长度的最小值.

解(1)由题意，椭圆。的标准方程为?+苫=1，

所以〃=4,b2=2,从而c2=4—"=2.

因此a=2,C=A/2.

故椭圆。的离心率e=C=坐.

a2

(2)设点一,8的坐标分别为(32),(xo,次)，其中xo#O.

因为0A丄0B,则为•05=0,

=2yo

所以/xo+2yo=O,解得t

xo

又xi+2yi=4,

（I2yo|7

所以|48|2=（乂）一庁+什。一2>=l°xoJ+（yo—2）2

=就+为+彎+4=就+匕®+”与⑥-+4=竝+3+4（0<就・4）

xl2斎2x§

因为M+3»4(0<X6W4),当且仅当蝴=4时等号成立,

2%6

所以|45|2,8.

故线段AB长度的最小值为2s.

2

5.如图，已知椭圆C：差r+产=](心1)的上顶点为右焦点为

a"

F,直线//与圆/：-6x—2y+7=0相切.

(1)求椭圆。的方程；

(2)若不过点/的动直线/与椭圆C相交于「，。两点，且芥•福=0,求证：直

线/过定点，并求出该定点N的坐标.

(1)解将圆A/的一般方程x2+j/2—6x—2j^+7=0化为标准方程为(x—3>+(y—

1)2=3,

圆加的圆心为M(3,1),半径r=3.

由N(0,1),F(c,0)(c=Nq2—1)得直线4F：-+y=l,

c

即x+cy—c=0.

由直线//与圆M相切，得冲:一@=6

，c=/或C=-S(舍去).

.••。=3，.,.椭圆。的方程为号+歹2=1.

⑵证明由办•慫=0,知NP丄N0,从而直线4P与坐标轴不垂直，

由Z(0,1)可设直线AP的方程为y=kx+1,直线40的方程为》=-yx+1(^0),

k

2

将少=自+1代入椭圆C的方程扌r+y=1并整理得：

(l+3F>2+6Ax=0,

6k

解得x=0或x

1+3R'

[6k

因此尸的坐标为IT1+3卢

f6k1—3斤]

即I1+381+3讨.

小-3]

将上式中的左换成一，得F+3」.

k

产一31—3吩/

...直线/的方程为片望父一乐_1_F_3

F+3

F+3+1+3F

A2—11

化简得直线/的方程为N=----x—.

4k2

因此直线/过定点

6.(2015•山东卷)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：*+，=l(a>b>0)的离心

率为坐，且点时‘3在椭圆。上.

(1)求椭圆C的方程；

⑵设椭圆氏看+系=1，°为椭圆C上任意一点，过点尸的直线片"+朗交

椭圆E于1,8两点，射线尸O交椭圆E于点。.

(i)求黑的值；

(ii)求厶/台。面积的最大值.

解(1)由题意知与++=1.又蛆三=*,

出4〃a2

解得层=4,b2=1.

所以椭圆C的方程为?+产=1.

(2)由(1)知椭圆E的方程为W+}=L

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(1)设尸(、0,泗)，^|^^=九由题意知。(一&o,—

因为,+j吊=],

又(一屍)2+(一次°)即4+少"=1,

1644

所以2=2,