2023年新高考数学一轮复习讲义第31讲 平面向量基本定理及坐标表示含解析

2023年新高考一轮复习讲义第31讲平面向量基本定理及坐标表示

学校:姓名：班级：考号：

【基础巩固】

1.（2023•全国•高三专题练习）已知向量”=（2,1）,6=（-2,4）,则，-0（）

A.2B.3C.4D.5

2.（2023•全国•高三专题练习）若a=（2,1）,6=（-1,1）,（2a+b）//（a+mb）,则"?的值为（）

A.~B.2C.-2D.—

22

3.（2022•全国・高三专题练习）如图，在平行四边形A8C。中，对角线4C与B。交于点O,且

EO=2AE,则EB=（）

A.一AB—ADB.—ABH—ADC.—AB—ADD.-AB+-AD

66666666

4.（2023•全国•高三专题练习）在平行四边形ABC。中，设C8=a，CD=b,E为40的中点，CE与BD

交于F,则AF=（）

.a+2b2a+b„a-2b八2a-b

A.------o.-----L.------D.------

3333

5.（2023•全国•高三专题练习）已知。为坐标原点，6尸=-若6（1,2）、鸟（2,-1）,则与OP共线的

单位向量为（）

A.（3,T）B.（3,Y）或（-3,4）

6.（2023,全国•高三专题练习）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆。，P为圆。上任一点，若

AP=xAB+yACt则2x+2y的最大值为（

84

33

一2

7.（2023•全国,高三专题练习）已知在ABC中，AD=-3BD,CD=ACE^AE=^AB+-AC,则4=

（）

A.—B.!C.-D.1

424

8.（2022•广东•高三开学考试）在平行四边形ABC。中，点E、F分别满足。E=；EC,BF=^FD,若

AB=a，AD=b，则EF=（）

53,「115,-133,-195,

A.—a——bB.—a——bC.—a——bD.—a——b

124124124124

9.（多选）（2022•重庆市涪陵高级中学校模拟预测）已知向量

〃2=（cosa,sina）,〃=（cos/7,sin/7）（a/£[0,2;r）,a>/7）—1L〃2+〃=（0,l）,则下列说法正确的是（）

Iiirr>

22

A.m+n=iB.cos（a-）?）=--C.忸一川的值为2D.sin（a+/?）=0

10.（多选）（2022•福建•三明一中模拟预测）已知向量。=（-1,2）,b=（m,m-2）,其中机GR,下列说法

正确的是（）

A.若薪，贝B.若（a+6）_L（a叫，则忖=行

C.若0与b的夹角为钝角，则机<4D.若〃=z2,向量°在b方向上的投影为-1

11.（多选）（2023•全国•高三专题练习）在；A8C中，D为BC中点,且/=2茄，则（）

2111

A.CE=-CA+-CBB.CE=-CA+-CB

3633

C.CE〃（C4+C8）D.CEJ_（CA-C8）

12.（2022•山东•济南市历城第二中学模拟预测）设向量a=（x,2-x）,6=（-1,2）,若〃〃八则工=

13.（2023•全国•高三专题练习）已知向量”=（—1,2）,8=（1,2022）,向量机=“+2人n=2a-kb，若

m//'n,则实数后=.

2

14.（2022•全国•高三专题练习）在边长为4的等边A6c中，已知八。二彳48,点P在线段CO上，且

AP=mAC+^AB,贝lj网=.

15.（2022•浙江大学附属中学高三阶段练习）已知正三角形ABC的边长为2,。是边8c的中点，动点P

满足|P。区1,S.AP=xAB+yAC,其中x+yNl,则2x+y的最大值为.

16.（2022•全国•高三专题练习）平面内给定两个向量二=（3,1）,1=（-1,2）.

⑴求囚+四；

⑵若（。+妨）〃（2。-匕），求实数％的值.

17.（2021•江苏•沛县教师发展中心高三阶段练习）已知A（l,3）,8（2,-2）,C（4,l）.

（1）若AB=C。，求。点的坐标；

（2）设向量”=A8，b=BC，若h-〃与a+36平行，求实数k的值.

12

18.（2022•全国•高三专题练习）如图所示，已知矩形A8C。中，AB=2,AD=1,DM=-DC,BN=-BC,

33

AC与MN相交于点E.

(I)若MN=/IAB+〃AQ,求2和幺的值;

⑵用向量AM,AN表示AE.

【素养提升】

1.（2022•全国•高三专题练习）在A8C中，AB=\,AC=2,N8AC=6O。，P是一43c的外接圆上的一

点，若4P=/w48+“AC，则帆+〃的最小值是（）

A.—1B.—C.—D.—

236

2.（2023•全国•高三专题练习）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上

作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和.现在对直角三角形CDE按上述操作作

图后，得如图所示的图形，若4F=xAB+），AO,则x-y=.

1uun1uun

3.（2022•全国•高三专题练习）如图所示，在AABO中，OC=§OA,OD=-OB,AQ与BC交于点

M.设OA=a，OB=b.

（1）试用向量a，6表示OM;

（2）在线段AC上取点E,在线段8。上取点凡使E尸过点M,设OE=/IOA,OF=pOB,其中2,

〃eR.证明：£为定值,并求出该定值.

第31讲平面向量基本定理及坐标表示

学校:姓名：班级：考号：

【基础巩固】

1.(2023•全国•高三专题练习)已知向量”=(2,1),6=(-2,4),则卜-0()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】先求得然后求得以斗

【详解】因为。-6=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以,_0=j42+(_3)2=5.

故选：D

2.(2023・全国•高三专题练习)若a=(2,1),6=(-1,1),(2a+h)//(a+mb),则用的值为()

A.7-B.2C.—2D,—

22

【答案】A

【分析】根据题意得到2a+〃=(3,3),a+mb=(2-m,i+m)>结合(2a+0)//(a+〃力)，列出方程，即可求解.

【详解】由题意，向量a=(2,l),/>=(-1,1),

可得2a+b=(3,3),a+mb=(2-m,\+m),

因为(2。+人)〃(。+，"6),可得3X(1+,W)=3*(2-/M),解得机=；.

故选：A.

3.(2022•全国•高三专题练习)如图，在平行四边形ABC。中，对角线AC与8。交于点O,且

EO=2AE,则砌=()

DC

EO

AB

A.-AB--ADB.-AB+-ADC.-AB--ADD.-AB+-AD

66666666

【答案】C

［分析］根据平面向量线性运算法则计算可得；

【详解】解：因为EO=2AE,所以AE=2A0=，AC=1（A8+A£））,

366、>

所以=A3-AE=43」（AB+A0=』AB」AD.

6'766

故选：C.

4.（2023•全国•高三专题练习）在平行四边形ABC。中，设C8=q,CD=b，E为4。的中点，CE与BD

交于F,则AF=（）

.a+2b2a+b„a-2b八2a-b

A.---------DD.----------C.----------LJ.---------

3333

【答案】B

【分析】根据题意得AF=g（AC+A。），再分析求解即可.

【详解】如下图所示，连接AC与8。交于O,则。为AC的中点，因为E为AD的中点,

所以厂为三角形AC©的重心，所以AF=g（AC+AD）=；（-=

故选:B.

5.（2023•全国•高三专题练习）已知。为坐标原点，RP7Ppi,若爪1,2）、^（2,-1）,则与OP共线的

单位向量为（）

A.（3T）B.（3,Y）或（一3,4）

【答案】C

【分析】求出。尸的坐标，除以|。耳，再考虑方向可得.

【详解】由6尸=—2P6得［P+2理=0,即66+%=0,=

OP2-OP{=OP-OP2,

OP=20Pl-=2(2,-1)-(1,2)=(3,-4),

|OP|=732+(-4)2=5,

OP,34、34

与OP同向的单位向量为面=,反向的单位向量为(--三).

故选：C.

6.(2023•全国•高三专题练习)如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆。，P为圆。上任一点，若

AP=xAB+yAC,则2x+2y的最大值为()

84

A.-B.2C.-D.1

33

【答案】A

【分析】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决.

作8c的平行线与圆相交于点尸，与直线A8相交于点E,与直线AC相交于点R

i^AP=AAE+^AF,则；1+〃=1,

AFAF4

VBC//EF,・••设——=—=&,则

ABAC3

AE=kAB,AF=kACfAP=AAE+JLIAF=AkAB+jukAC

/.x-2k,y=冰

Q

：.2x+2y=2(2+〃)k=2k<-

故选：A.

2

7.(2023•全国,高三专题练习)已知在43c中，AD=-3BD，CD=ACE,AE=^AB+-AC,则〃=

()

I3

A.—B.—■C.-D.I

424

【答案】A

【分析】根据AO=-38。，AE=juAB+^AC,得到4后=#40+|4。，再根据C£)=4CE求解.

【详解】解：因为4。=-38。，

4

所以A8=]A。，

2

因为AE=pAB+—AC,

所以AE=9AD+2AC,

33

又8=疣£，

1

所以AE=-AO+——AC,

1?

y^AE=-AD+-ACt

所以

2-12

------——

23

得〃=；.

4

故选：A

8.（2022•广东•高三开学考试）在平行四边形43CO中，点£、尸分别满足OE=；EC,BF=；FD,若

AB=a»AD=b，则EF=()

A.£3c1157-133,-19

B•—a—bC.—a—bD.—a--b

124124124124

【答案】A

【分析】结合向量加法法则与减法法则运算求解即可.

【详解】解：因为在平行四边形ABC。中，点E、尸分别满足OE=；EC,BF=-FD,

3

1-11/)=#-")，

所以E/=A/—AE=(A3+8/)一(4D+OE),BF=-BD=-(AD-AB

44、

所以EF=a+—(b—a\h+—a"b

43124

故选：A

9.（多选）（2022•重庆市涪陵高级中学校模拟预测）已知向量

tn=(cosa,sin«),n=(cos/?,sin/?)(«,/?G[0,2TT),a>p),且机+〃=(0,l),则下列说法正确的是()

A2,2B.cos(a_/)=_g

m+n=1C."?一〃的值为2D.sin(«+y?)=O

【答案】BD

【分析】先根据向量加法，可直接求出。=9S77，4=731.

66

对选项A,直接求出向量加和n的模，然后验证即可;

对选项B,直接求出余弦值;

对选项C,直接求出向量机-〃的模;

对选项D,直接求出正弦值.

cosa+cos£=0

【详解】根据向量的加法可得:

sine+sin夕=1

根据诱导公式及同角三角函数的关系，且c«0,2万）,月目0,2万）M>£,解得：a==

6O

对选项A,m=l,n2=1，则有：机2十九2=2,故选项A错误;

2nI

对选项B,则有：cos（cif—/?）=cos-^-,故选项B正确;

对选项C,m=[--楙则有：机-"=（-&，0）

故有：卜-〃卜G#2,故选项C错误；

对选项D,则有：sin（a+/?）=sin（乃）=0,故选项D正确.

故选：BD.

10.（多选）（2022•福建•三明一中模拟预测）已知向量。=（-1,2）,b=（m,m-2）,其中机eR,下列说法

正确的是（）

A.若：〃力，贝=|B.若（a+6）_L（a-b）,则忖=石

C.若a与b的夹角为钝角，则机＜4D.若旭=2,向量“在b方向上的投影为-1

【答案】ABD

【分析】利用共线向量的坐标表示可判断A选项；利用向量垂直结合向量的模长公式可判断B选项；由已

知a2＜0且°、％不共线，求出”的取值范围，可判断C选项；利用平面向量的几何意义可判断D选项.

【详解】对于A选项，若；〃力，贝!12nl=2-m，解得=A对；

对于B选项，若（〃+〃）_1_（。一〃），则（。+力）・（〃一。）=/一//=0,

所以，W=H=后，B对；

对于C选项，若4与b的夹角为钝角，则。2=-机+2（机—2）=〃?-4v0,可得/”4,

22

且a与匕不共线，则加工§，故当4与。的夹角为钝角，则机＜4且相。C错；

a'b-2

对于D选项，若加=2,则6=（2,0）,所以，向量a在分方向上的投影为下|-=5=-1,D对.

故选：ABD.

11.（多选）（2023•全国福三专题练习）在中，。为3c中点，且花=2茄，则（）

A.CE=-CA+-CBB.CE=-CA+-CB

3633

C.CE//（CA+CB）D.CEl（CA-CB）

【答案】BC

【分析】由已知条件可得点E为°ABC的重心，然后由三角形的重心的性质逐个分析判断即可

【详解】因为髭=2防，则AE,。三点共线，且朋=2,斗

又因为AO为中线，所以点E为_A8C的重心，

连接CE并延长交A3于F，则尸为A3的中点,

22111

所以CE=-CF=-x—(G4+C8)=-C4+-CB,

33233

所以CE〃(CA+C8)

故选：BC.

12.(2022•山东•济南市历城第二中学模拟预测)设向量a=(x,2-x),。=(-1⑵，若°〃人则犬=

【答案】-2

【分析】根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求得答案.

【详解】因为〃〃/?,所以2x+2—x=0,解得x=-2,

故答案为：—2.

13.(2023•全国•高三专题练习)已知向量4=(-1,2),6=(1,2022),向量根=4+26，〃=2〃-幼，若

m//'n,则实数上=.

【答案】-4

【分析】根据题意可知“，b不共线，若M〃；?，则m/leR,使得*=£，代入结合向量相等运算.

【详解】根据题意可知a，b不共线

若二〃“，则三义eR,使得机=2”，gpa+26=A.{2a—kb^=2Aa—kAb

(1=24=-

则可得%「，解得《2

2=-kA.,.

1k=-4

故答案为：-4.

、.2

14.（2022•全国•高三专题练习）在边长为4的等边二ABC中，己知=,点P在线段8上，且

AP=mAC+^AB,则,耳=.

【答案】不

3I11

【分析】根据题意得AP=,〃AC+=A£>,求出m==,所以AP=±AC+：AB,即

4442

|AP|=,求解即可，

231

【详解】因为AD=§A8,所以48=54短，又AP=〃?AC+5A8,

13

即4尸=〃?AC+5A8=wAC+；AO,因为点P在线段8上，

所以P,C,。三点共线，由平面向量三点共线定理得，%+==1,即m=9，

44

所以AP=；AC+，B,又；ABC是边长为4的等边三角形，

所以网2=（；4。+3.）=^|AC|2+^|AC||AB|cos60+；网2

=—xl6+—x4x4xi+ixl6=7,故%尸|=五.

1642411

故答案为：41.

15.（2022•浙江大学附属中学高三阶段练习）已知正三角形ABC的边长为2,。是边3c的中点，动点P

满足|P。区1,且AP=xAB+），AC,其中x+yNl,则2x+y的最大值为.

【答案】|

_[a=tcosO

【分析】构建以。为原点，8C,AO为小），轴的直角坐标系，确定相关点坐标并设P（4〃）且心.0

[h=tsin0

（-1</<1）.由向量线性关系的坐标表示列方程得到2尤+y关于，，。的三角函数式，应用正弦型函数性质求

最大值.

【详解】由题设，P在以。为圆心，1为半径的圆上或圆内，

构建以。为原点，8C,A£>为小y轴的直角坐标系，如下图示：

y

A

srD\

所-以A（。,r回-B（-1,八O）,C（1,O八）,令A",）且%\a=八tcos尸O《小），

所以”=（06-扬，AB=（-1,-73）,AC=（1,-扬，

又”=xAB+yAC,即（〃,b-扬=x•（-1,-扬+y•（1,一百），

y-x=a

所以＜yf3b9而2«¥+/=二。+），）—（y—x）=--------b—a，

x+y=\-------22222

3

贝iJ2x+y=--1（^-sin—cos0）=--fsin（04--）,

22226

IT5

故当rsin（6+：）=-l时，2x+y有最大值；.

62

故答案为：y

16.（2022•全国•高三专题练习）平面内给定两个向量二=（3,1）,U（-l,2）.

⑴求忸+2小

⑵若（4+筋）〃（2"-匕），求实数上的值.

解：（1）由已知3〃+»=3（3,1）+2（-1,2）=（7,7）,因此，\ia+2t\=yj2xl2=7^.

（2）由已知a+M=（3,l）+Z（-l,2）=（3-匕1+2%）,27=2（3,1）-（-1,2）=（7,0）,

因为（〃+助〃（2。叫，则1+2女=0,解得（=_/.

17.（2021•江苏•沛县教师发展中心高三阶段练习）已知4（1,3）,8（2,-2）,C（4,l）.

（1）若43=C£＞，求。点的坐标；

（2）设向量“=A8,6=BC,若版-6与a+36平行，求实数%的值.

解：⑴设D（x,y）,又因为A（1,3）,5（2,-2）,C（4,1）,

所以A8=(l,_5),CD=(x_4,y_l),

因为A8=C£＞，

x-4=l,x=5

所以…4得

y=-4，

所以。（5,-4）.

(2)由题意得,a=(1,-5),b=(2,3),

所以%-6=伏-2,-54-3),a+36=(7,4),

因为ka-6与£+3〃平行,

所以4伏-2）-7（-5"3）=0,解得％=_；.

所以实数％的值为

!?

18.（2022•全国•高三专题练习）如图所示，已知矩形ABC。中，AB=2,AD=1,DM=^DC,BN=#，

AC与MN相交于点E.

⑴若MN=/IA8+〃A£),求4和〃的值;

⑵用向量AM,AN表示AE.

解：（1）以A点为原点，A8所在直线为x轴，AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则

0(0,1),8(2,0),M(|,l),N(2,|

所以MN=(才一g),A8=(2,0),AD=(0,1)

所以MN==4AB+/M£)=(2；l,〃)，

2A=-

3

所以

1

〃=-

3

21

解得w，〃=_§

⑵设AE=tAC,AC=m\M+nAN,

因为AM=(|,1),AN=(2,|),AC=(2,1)

所以AC=(2,1)=(|■机+2〃,,〃+g”).解得加=—=',

即AC=±AM+?AN,所以AE=fAC=±fAM+?fAN,

7777

又因为M,E,N三点共线，所以，+*=l/=],

【素养提升】

1.（2022•全国•高三专题练习）在，ABC中，AB=\,AC=2,NBAC=60。，P是ABC的外接圆上的一

点，若4P=wMB+〃4C，则机+〃的最小值是（）

A.-1B.--C.--D.--

236

【答案】B

【分析】先解三角形得到二ABC为直角三角形，建立直角坐标系，通过AP=〃?A8+〃AC表示出机+〃，借

助三角函数求出最小值.

【详解】由余弦定理得Be?=AB2+AC2—2A8-AC-COSNB4C=l+4-2*l*2xcos60=3,所以

BC=43,所以AB2+BC2=AC2,所以以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标

系，易得A（-1,0）,C（1,0）,BT'号’设尸的坐标为（cos仇sin，），所以43=（；岑），

%疔

AC=（2,0）,4尸=（cos。+1,sin。），XAP=mAB+nAC>所以（cos6+l,sin0）=，"+

7

〃(2,0)=^-+2n,—^-m,所以,〃=冬叵$山9,w=+!-3^sin6,所以加+〃

(22J3226

2G.cos。16.〃>/3cos01.(A,吟，1、i,11%目E%

=---sino®+----+------sin®=—smd+----+-=sin0+—+->-1+—=一一,当且仅当

3226222161222

sin(e+£|=_l时，等号成立.

故选：B.

2.（2023•全国•高三专题练习）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上

作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和.现在对直角三角形C£>£按上述操作作

图后，得如图所示的图形，^AF=xAB+yAD,则.

【答案】-:

【分析】建立平面直角坐标系，标出各个点的坐标，利用平面向量的坐标运算即可得解.

【详解】如图，以A为原点，分别以48,4。为X，〉轴建立平面直角坐标系，

设正方形A5CD的边长为2a,则正方形。的边长为Ga,正方形EFGC边长为a

可知A（0,0）,B（2a,0）,D（0,2a）,£>F=（G+l）a

则勺=（6+1）4・COS30,yF=f>/3+lja-sin30+2a,即尸

5+6

r（2a,0）+y（0,2a）=（2ax2ay）

又AF=xAB+yAD,~2~09

2ax=2

2口3+65+石,化简得x_y=_；

即f-,即2ax—lay—-----a-------a

5+V322

2ay=-----a

2

iuuniuun

3.(2022•全国•高三专题练习)如图所示，在△ABO中，0c=§OA,OD=-OB,与BC交于点

M.设OA=Q，OB=b.

(1)试用向量4，b表小OM;

(2)在线段AC上取点E,在线段8。上取点尸，使即过点M,设OE=/IQA,OF=piOB,其中2,

〃eR.证明：2为定值，并求出该定值.

解：（1）设。加=nui+nb^m^R,/2GR）,

由A,M,。三点共线，可知存在a（acR,且aw—1）,使得

则0M-04=a（00-0M）,

uuwJuun1a

因为前=万。8,所以°用=/"而丁，

1

m-----

1+a

由平面向量基本定理得，@,即机+2〃=1,①

n=-------

2（l+a）

同理，由B,M,C三点共线，可知存在夕（£eR,且分H-1）,使得CM=0WB,

则OM-OC=/3[OB-OMy

VOC=-OA,所以°M=-~-a+—^—b,

乂3,切以3（夕+1）1+0'

1

m--.----,

3(1+4…

由平面向量基本定理得J即3机+〃=1,②

n=----,

1+0

19

由①②得〃i=g,«=-,

故0M=1+|°；

(2)由于E,M,尸三点共线，则存在实数/(/eR,且yw-1)使得EM=/MF,即

OM-OE=y[OF-OM^,

h曰八〃OE+yOF

于是。M=------＜一,

1+/

又OE=2OA,OF=JLIOB,

g、i40A+4yoB2-///.

所以OM=--------———=------a+

1+y1+/1+/

1_2

51+7

由平面向量基本定理得2_"消去九

51+y

得产=5,

X卜I

12....2±/古邛

故+/彳+—为定值，该定值为5c.

第32讲平面向量的数量积及应用举例

学校:姓名：班级：考号：

【基础巩固】

1.（2022•全国•高考真题（文））已知向量a=（2,1）,6=（-2,4）,则卜彳（）

A.2B.3C.4D.5

2.（2022•辽宁•大连市一0三中学模拟预测）已知单位向量0,满足卜-0=6k+匕|,贝必与％的夹角为

（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

3.（2022•全国•高考真题（理））已知向量满足止石,|。-26|=3,则〃山=（）

A.-2B.-1C.1D.2

4.（2022•山东潍坊•模拟预测）定义：=同Wsin®,其中9为向量0与人的夹角.若同=2,|可=5,

“力=-6,则林,4等于（）

A.6B.-6C.-8D.8

5.（2022•江苏•南京市天印高级中学模拟预测）已知平面向量满足”=2,加卜1,且“与。的夹角为

y,贝!!卜+。卜（）

A.73B.y/5C.币D.3

6.（2022•湖南•长沙县第一中学模拟预测）已知△ABC中，ZA=60,AB=4,AC=6,且CA/=2MB，

AN=NB,则AC-NM=（）

A.12B.14C.16D.18

7.（2022•北京•高考真题）在ABC中，AC=3,8C=4,NC=90。.P为二ABC所在平面内的动点，且

PC=1,则的取值范围是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

8.（2022•江苏无锡•模拟预测）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常

绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八

角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，具有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较

长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的松泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹星

纹.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形为等腰直角三角形，中间阴影部分是正方形

UUUUUU

且边长为2,其中动点尸在圆。上，定点A、B所在位置如图所示，则ABQP最大值为（）

D.IOG

9.（多选）（2022•湖北•天门市教育科学研究院模拟预测）已知向量。=（-2,1）力=（T,f）,则下列说法正确

的是（）

A.若“，八则f的值为-2

B.若。〃力贝"的值为g

C.若0<f<2,则“与人的夹角为锐角

D.若(a+6)J_(a-Z>),贝!]——-=1

10.(多选)(2022•山东聊城•三模)在平面四边形ABCO中，M=|M=|C4=D4QC=1,

BABC=；,则()

A.|AC|=IB.|CA+CD|=|CA-CD|

C.AD=42BCD.BDCD=^^-

2

11.(2022•全国•高考真题(文))已知向量。=(肛3),5=(1,m+1).若则优=

12.（2022•全国•高考真题（理））设向量a,b的夹角的余弦值为:，且%|=1,忖=3,贝l］（2a+8“=

13.（2022•湖南株洲•一模）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉

力分别是耳，鸟，且耳，鸟与水平夹角均为45。，|凰=|闾=1（）夜N,则物体的重力大小为N.

14.（2022•山东青岛•二模）若ABC是边长为2的等边三角形，A。为BC边上的中线，M为A。的中点,

则MA（MB+MC）的值为.

15.（2022•浙江省杭州学军中学模拟预测）已知|a-2e|=g-ebl,|e|=l,则向量d2的范围是

JTJT

16.（2022•广东佛山•高三期末）菱形A8CD中，AB=\,Ae,点E,尸分别是线段A。,8上的动点

（包括端点），AE=CF,则（AE+CF）-AC=,的最小值为.

17.（2022•全国•高三专题练习）在，ABC中，设BCCA=C4AB.

（1）求证：ABC为等腰三角形：

（2）若慢+蜀=2且Be,求BA.BC的取值范围.

【素养提升】

1.（多选）（2022•全国•高三专题练习）点。在△4BC所在的平面内，则以下说法正确的有（）

（UlUUUMA

uunuurADAr

A.若动点p满足。尸=。4+几m——+70»——Q＞。），则动点P的轨迹一定经过^A3C的垂心;

ABsinBACsinC

uuuuuuiiiniuu

B.若OA?(p»pTttatr)=°,则点。为△ABC的内心;

ACR\AB\

C.若(OA+OB)-AB=(OB+OCABC=0,则点。为△ABC的外心；

/umuum、

umuur40\c

D.若动点P满足0P=0A+4TO------+-a>0),则动点尸的轨迹一定经过△ABC的重心.

JAB|cosB|AC|cosC)

2.（2022•江苏•常州高级中学模拟预测）设直角ABC,4是斜边AB上一定点.满足=则对

于边A8上任一点P,恒有PB.PCZ68/C,则斜边AB上的高是.

3.（2022•浙江•模拟预测）3知平面向量&,5,e,d满足|。|=仍|=2,&_1.瓦循+2C|=2,若

（d-a）-（d+2b）＜4,贝I」Ic+4|的最大值是.

4.（2022•湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABC。中，EF是CD边上长为6的可移动的线段,

AD=4,A8=8后，BC=12,则8尸的取值范围为.

AD

5.（2022•天津市第四中学模拟预测）如图，已知8,。是直角C两边上的动点，ADVBD,|AD|=^,

NBAD="CM=g（C4+C8）,CN=^（CD+CA）,则CiCN的最大值为.

A

6.（2022•浙江温州•二模）已知“，b，c